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TangDou/AcWing_TiGao/T5/GameTheory/1321.md

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 ##[$AcWing$ $1321$. 取石子](https://www.acwing.com/problem/content/description/1323/)
 
-**[参考题解](https://www.cnblogs.com/ZJXXCN/p/11068490.html)**
-
 ### 一、题目描述
 $Alice$ 和 $Bob$ 两个好朋友又开始玩取石子了。
 
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  必败态 $\Rightarrow$ 选择任何路线 $\Rightarrow$ 必胜态
  </b></font>
 
-### 三、简单情况
-为什么会想到讨论简单情况呢？我们来思考一下：如果某一堆石子只有$1$个，随着我们执行拿走$1$个的操作，它的堆就没了，这样石子个数变了，堆数也变了，两个变量，问题变复杂了，我们上来就想难题，怕是搞不定。
-
-既然这样，我们就思考一下 **子空间** ：只考虑所有个数大于等于$2$的那些堆，其它可能存在石子数等于$1$的，等我们想明白这个简单问题再研究扩展的事，由易到难。
-
-同时，我们需要思考博弈的胜负与什么因素相关呢？因为只有两种操作：**拿走一个石子、合并两堆**，很显然，**两个关键因素：石子个数、堆数**
-
-同时，两个操作同一时间只能执行一个，所以可以理解为拿走一个石子对结果影响一下，合并两堆石子对结果也是影响一下，初步考虑应该堆个数与石子总数的加法关系相关。
-
+### 三、本题题解
 
+先来考虑 **简单情况**：所有堆的石子个数 $>1$
 
-**子空间：当每堆的石子个数都是大于等于$2$时**
+设 $b$ = 堆数 + 石子总数 $− 1$
 
-<font size=5 color='red'><center><b>设$b$ = 堆数 + 石子总数 - $1$</b></center></font>
-<font size=5 color='red'><center><b>结论:$b$是奇数⟺先手必胜,$b$是偶数⟺先手必败</b></center></font>
+可以推出: **先手必胜 $\Leftrightarrow$ $b$是奇数**
 
-**证明：**
+**证明**：考虑以下结论：
 
-1、边界：当我们只有一堆石子且该堆石子个数为$1$个时，$b=1$，先手必胜。
+$α$. 任意一个是奇数的情况 **可以** 被转换成一个偶数的情况 (一定存在一个偶数后继)
 
-2、当$b$为奇数，一定可以通过某种操作将$b$变成偶数
-* 如果堆数大于$1$，合并两堆让$b$变为偶数
-* 如果堆数等于$1$，从该堆石子中取出一个就可以让$b$变为偶数
+$β$. 任意一个是偶数的情况 **一定** 会被转换成一个奇数的情况 (所有后继都是奇数)。
 
-3、当$b$为偶数，无论如何操作，$b$都必将变为奇数
-* 合并两堆，则$b$变为奇数
-* 从某一堆中取走一个石子:
-  * 若该堆石子个数大于$2$，则$b$变为奇数，且所有堆石子数量严格大于$1$
-  * 若该堆石子个数等于$2$，取一个石子后，$b$变为奇数，该堆石子个数变为$1$个,此时就再是子空间范围内了，因为出现某堆的石子个数为$1$，而不是每一堆都大于等于$2$了!需要继续分类讨论:
-
-####　特殊情况  
-此时为了保证所有堆的石子个数大于$1$，**足够聪明的对手** 可以进行的操作分为两类：
-  ① 如果只有这一堆石子，此时 **对手必胜**
-  ② 如果有多堆石子，可以将这一个石子合并到其他堆中，这样每对石子个数都大于$1$
-  
-  **$Q$:对手为什么一定要采用合并的操作，而不是从别的堆中取石子呢?**
-    我来举两个简单的栗子：
-    
-  * **只有一堆石子**
-    石子个数是$2$个。你拿走一个，对手直接拿走另一个，游戏结束，**对手赢了**！你也是足够聪明的，你会在这种情况下这么拿吗？不能吧~，啥时候可能遇到这个情况呢？就是你被 **逼到** 这个场景下，也就是一直处于必败态！
- 
-  * **两堆石子**
-    每堆石子个数是$2$个。**我是先手**，可以有两种选择：
-    
-    (1)、从任意一堆中拿走$1$个, 现在的局面是$\{2,1\}$    
-    $$\large 后手选择(对手) \Rightarrow 
-     \left\{\begin{matrix}
-     从2中取一个 &  \Rightarrow  \{1,1\}  & \Rightarrow 
-     \large \left\{\begin{matrix}
-   先手合并 \Rightarrow \{2\}& 剩下一个一个取，先手胜 \\ 
-  先手后手一个一个取 \Rightarrow 先手败 & 
-  \end{matrix}\right.  
-      \\ 
-     从1中取一个&  \Rightarrow \{2,0\} &  剩下一个一个取，先手败\\
-     合并两堆 & \Rightarrow \{3\}  & 剩下一个一个取，先手胜 \\
-    \end{matrix}\right.
-    $$
-    指望对手出错我才有赢的机会，人家要是聪明，我就废了!
-    
-    我是先手，我肯定不能把自己的命运交到别人手中！我选择合并两堆，这样我保准赢！
-  
-    (2)、把两堆直接合并，现在的状态$\{4\}$
-    这下进入了我的套路，你取吧，你取一个，我也取一个；你再取一个，我也再取一个，结果，没有了，**对手必败**。
-  
-  上面的例子可能不能描述所有场景，我现在$b$是奇数，我在必胜态，我不会让自己陷入到$b$可能是偶数的状态中去，如果我选择了 
-  - 合并操作减少$1$个堆
-  - 拿走操作减少$1$个石子
-    都会把$b-1$这个偶数态给对方
 
-  我不会傻到一个操作，即可能造成堆也变化，让石子个数也变化，这样就得看对方怎么选择了，而他还那么聪明，我不能犯这样的错误。
+先来考虑结论 $α.$
+- 如果堆数 $>1$，可以合并其中两堆石子，这样 $b$ 就会变成偶数
+- 如果堆数 $=1$，就可以拿掉 $1$ 个石子，这样 $b$ 也会变成偶数
 
-### 四、本题情况
-本题中可能存在一些堆的石子个数等于$1$:
-* 假设有$a$堆石子，其中每堆石子个数为$1$
-* 剩余堆的石子个数都严格大于$1$
+再来考虑结论 $β$.
+- 合并其中的两堆石子：显然，$b$ 会变成奇数
+- 取了一个石子：
+  (1) 取得堆中石子个数 $>2$：石子个数 $− 1$，$b$ 会变成奇数
+  (2) 取得堆中石子个数 $=2$：石子个数变成了 $1$(继续分情况讨论)：
+    1) 只有一堆：$b$ 是奇数，对手必胜
+    2) 多于一堆：$b$ 是奇数，对手可以把剩下的一个石子放到其他的堆里面去，对手同样必胜
 
-根据这些数量大于$1$的堆的石子可以求出上述定义出的$b$，我们使用$f(a, b)$表示此时先手必胜还是必败,因为博弈论在本质上是可以递推的，我们可以想出起点，再想出递推关系，就可以递推得到更大数据情况下的递推值，也就是博弈论本质上是$dp$。
+这样，我们成功的证明除了: **先手必胜 $\Leftrightarrow $ ($b$ 是奇数)**
 
-<center><img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/05/15/61813_30ead721b5-image-20210515211400052.png'></center>
 
-<font color='red' size=4><b>相关疑问</b></font> 
-$Q1:$**情况**$3$**为什么是两个表达式？**
-答： 
-①当右侧存在时，合并左边两堆石子，则右侧多出一堆石子，并且，石子个数增加$2$,也就是$b+=3$
+接下来考虑一般情况：有些堆的石子个数可能 $=1$
+假设石子个数 $=1$ 的堆数为 $a$，$b$ 仍然表示剩余石子的 **操作数**，即 (堆数 $+$ 石子总数 $− 1$)
+把所有石子分成两个区域，一区域的数量 $=1$ (对应 $a$)，二区域的数量都 $>1$ (对应 $b$).
 
-②当右侧一个都没有的时候，左边送来了一堆，两个石子，按$b$的定义，是堆数+石子个数$-1=2$，即$b+=2$
+那么可以写出以下转移：
 
-$Q2$：**为什么用一个奇数来描述简单情况的状态，而不是用偶数呢？**
-答：因为要通过递推式进行计算，最终的边界是需要我们考虑的:
-
-- 如果用奇数，那么边界就是$b=1$,表示只有$1$堆，石子数量只有$1$个，此时当然必胜。
-
-- 如果用偶数，比如边界是$b=0$,表示目前$0$堆，$0$个石子，这都啥也没有了，还必胜态，不符合逻辑，说不清道不明。
-
-- 那要是不用$b=0$做边界，用$b=2$呢？表示只有$1$堆，石子数量只有$1$个，这个应该也是可以，但没有再仔细想了。
-
-$Q3:$**情况**$2$**从右边取一个石子，如果此时右侧存在某一堆中石子个数是$2$,取走$1$个后，变成了$1$,不就是右侧减少了一个堆，减少了两个石子，即$b-=3$；同时，此堆石子个数变为$1$，左侧个数$a+=1$，为什么没有看到这个状态变化呢？**
-
-答：<font color='red' size=4><b>这是因为聪明人不会从右侧某个石子数量大于$2$的堆中取走石子!</b></font>
-
-看一下 **讨论简单情况** 中第$3$点后面的 **特殊情况**:
-  - 如果右侧只有一堆，石子数量为$2$，拿走$1$个，剩$1$个，一堆一个，对方必胜，此为必败态
-  
-  - 如果右侧大于一堆，某一堆只有$2$个石子，拿走$1$个，剩$1$个，对手足够聪明，会采用右侧两堆合并的办法，此时 石子数量减$1$,堆数减$1$，对$b$的影响是减$2$,对$b$的奇偶性没有影响,换句话说，如果你现在处在必败态，你这么整完，还是必败态
-
-
-### 五、时间复杂度
-这里因为$a$最大取$50$，$b$最大取$50050$，因此计算这些状态的计算量为$2.5×10^6$，虽然有最多$100$次查询，但是这些状态每个只会计算一遍，因此不会超时。
+$f(a,b)$:
+ 
+① 从 $a$中取 $1$个 $→f(a−1,b)$
+② 从 $b$中取 $1$个 $→f(a,b−1)$
+③ 合并 $b$中的 $2$个 $→f(a,b−1)$
+④ 合并 $a$中 $2$个 ($b$堆石子数 $+2$,堆数 $+1$) $→f(a−2,b+3)$
+⑤ 合并 $a$中 $1$个 $b$中 $1$个 ($b$堆石子数 $+1$, $a$个数 $−1$)$→f(a−1,b+1)$
 
 
-### 六、实现代码 
+#### $Code$
 ```cpp {.line-numbers}
 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;