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TangDou/Topic/PrefixAndSuffix/P1115.cpp

@@ -0,0 +1,21 @@
+#include <bits/stdc++.h>
+using namespace std;
+const int N = 1e6 + 10;
+const int INF = 0x3f3f3f3f;
+int n, a[N], s[N], ans[N];
+
+int main() {
+    cin >> n;
+    for (int i = 1; i <= n; i++)
+        cin >> a[i], s[i] = s[i - 1] + a[i]; // 前缀和
+
+    int mi = 0;
+    for (int i = 1; i <= n; i++) {
+        ans[i] = s[i] - mi;
+        mi = min(mi, s[i]);
+    }
+    int res = -INF;
+    for (int i = 1; i <= n; i++) res = max(res, ans[i]);
+    cout << res << endl;
+    return 0;
+}

TangDou/Topic/PrefixAndSuffix/P3397.cpp

@@ -0,0 +1,28 @@
+#include <bits/stdc++.h>
+using namespace std;
+
+const int N = 1010;
+int b[N][N], s[N][N];
+int n, m;
+
+int main() {
+    cin >> n >> m;
+    while (m--) {
+        // 从0开始构建差分数组
+        int x1, y1, x2, y2;
+        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
+        b[x1][y1] += 1; // 进行子矩阵的加减，差分
+        b[x2 + 1][y1] -= 1;
+        b[x1][y2 + 1] -= 1;
+        b[x2 + 1][y2 + 1] += 1;
+    }
+    // 还原为原始数组
+    for (int i = 1; i <= n; i++) {
+        for (int j = 1; j <= n; j++) {
+            s[i][j] = b[i][j] + s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1]; // 把之前的加减结果进行求和
+            printf("%d ", s[i][j]);                                          // 注意输出格式，每个数带一个空格
+        }
+        printf("\n"); // 结束一行的输出输出一个换行符号
+    }
+    return 0;
+}

TangDou/Topic/前缀和和差分洛谷题单总结.md

@@ -0,0 +1,103 @@
+## 前缀和和差分洛谷题单总结
+
+[参考文献](https://blog.csdn.net/piqihaoshaonian/article/details/127515000)
+
+### 一、公式
+#### 前缀和的公式
+一维：$s[i] = a[i] + s[i-1]$
+
+二维：$s[i][j] = a[i][j] + s[i-1] [j] + s[ i] [j-1] - s[i-1][j-1]$
+
+#### 差分的公式
+一维：$b[i] =s[i] - s[i-1]$
+
+二维：$b[i] = s[i][j] - s[i-1][j]-s[i][j-1]+s[i-1][j-1]$
+
+### 二、题单
+#### [$P1115$ 最大子段和](https://www.luogu.com.cn/problem/P1115)
+![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/202312170827397.png)
+
+**分析**
+先求每个位置的前缀和（某个区间求和前缀和可以说是最快的），然后去找该位置前前缀和的最小值，如果要求一段和最大，就要用这段和减去前面最小的值。
+
+```cpp {.line-numbers}
+#include <bits/stdc++.h>
+using namespace std;
+const int N = 1e6 + 10;
+const int INF = 0x3f3f3f3f;
+int n, a[N], s[N], ans[N];
+
+int main() {
+    cin >> n;
+    for (int i = 1; i <= n; i++)
+        cin >> a[i], s[i] = s[i - 1] + a[i]; // 前缀和
+
+    int mi = 0;
+    for (int i = 1; i <= n; i++) {
+        ans[i] = s[i] - mi;
+        mi = min(mi, s[i]);
+    }
+    int res = -INF;
+    for (int i = 1; i <= n; i++) res = max(res, ans[i]);
+    cout << res << endl;
+    return 0;
+}
+```
+
+#### [$P3397$ 地毯](https://www.luogu.com.cn/problem/P3397)
+![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/202312170847131.png)
+
+**分析**
+看到这里的时候，我就想到了一个矩阵的某个子矩阵进行加减，瞬间想到二维差分和二位前缀和,二位差分的公式为：
+
+![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/202312170848375.png)
+
+由差分算的二位前缀和公式：
+![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/202312170849629.png)
+
+```cpp {.line-numbers}
+#include <bits/stdc++.h>
+using namespace std;
+
+const int N = 1010;
+int b[N][N], s[N][N];
+int n, m;
+
+int main() {
+    cin >> n >> m;
+    while (m--) {
+        // 从0开始构建差分数组
+        int x1, y1, x2, y2;
+        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
+        b[x1][y1] += 1; // 进行子矩阵的加减，差分
+        b[x2 + 1][y1] -= 1;
+        b[x1][y2 + 1] -= 1;
+        b[x2 + 1][y2 + 1] += 1;
+    }
+    // 还原为原始数组
+    for (int i = 1; i <= n; i++) {
+        for (int j = 1; j <= n; j++) {
+            s[i][j] = b[i][j] + s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1]; // 把之前的加减结果进行求和
+            printf("%d ", s[i][j]);                                          // 注意输出格式，每个数带一个空格
+        }
+        printf("\n"); // 结束一行的输出输出一个换行符号
+    }
+    return 0;
+}
+```
+
+### [$P3406$ 海底高铁](https://www.luogu.com.cn/problem/P3406)
+![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/202312170857701.png)
+
+**分析**
+① 每一段的最小费用加起来则总体费用最小。
+
+② 这里的区间是线段而不是一个具体的数，所以我们需要以一个统一的标准进行区间段的区分：于是我们想到了以每个区间的左端点值进行整个线段的记录。
+
+③ 节约时间可以对某段区间做同样的加减数的方法：想到的就是差分（当然有差分就会有由差分求前缀和）。
+
+④ 最后用得到的线段数比较两种购买方案。
+
+
+**注意**
+当然代码中还有很多需要记录的细节！！！例如：线段数是站点数-1，同时差分和前缀和的循环最好是从1开始（涉及边界问题）