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TangDou/Topic/mobius.cpp

@@ -4,9 +4,9 @@ using namespace std;
 
 typedef long long LL;
 const int N = 1e5 + 10;
-int n = 27;
+int n = 20;
 
-//筛法求莫比乌斯函数(枚举约数)
+// 筛法求莫比乌斯函数(枚举约数)
 LL mu[N], sum[N];
 int primes[N], cnt;
 bool st[N];
@@ -31,7 +31,7 @@ void get_mobius2(LL n) {
     for (LL i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + mu[i];
 }
 
-//最简筛法求莫比乌斯函数(枚举倍数)
+// 最简筛法求莫比乌斯函数(枚举倍数)
 void get_mobius1(LL x) {
     mu[1] = 1;
     for (LL i = 1; i <= x; i++)
@@ -39,42 +39,43 @@ void get_mobius1(LL x) {
             mu[j] -= mu[i];
 }
 
-//单个数的莫比乌斯函数
+// 单个数的莫比乌斯函数
 int getmob(LL x) {
     int sum = 0;
-    for (LL i = 2; i <= x / i; i++) { //从2开始，一直到 sqrt(x),枚举所有可能存的小因子
+    for (LL i = 2; i <= x / i; i++) { // 从2开始，一直到 sqrt(x),枚举所有可能存的小因子
         int cnt = 0;
-        if (x % i == 0) {                     //如果x可以整除i
-            while (x % i == 0) cnt++, x /= i; //计数，并且不断除掉这个i因子
-            if (cnt > 1) return 0;            //如果某个因子，存在两个及以上个，则返回0
-            sum++;                            //记录因子个数
+        if (x % i == 0) {                     // 如果x可以整除i
+            while (x % i == 0) cnt++, x /= i; // 计数，并且不断除掉这个i因子
+            if (cnt > 1) return 0;            // 如果某个因子，存在两个及以上个，则返回0
+            sum++;                            // 记录因子个数
         }
     }
-    if (x != 1) sum++;         //如果还存在另一个大因子，那么因子个数+1
-    return (sum & 1) ? -1 : 1; //奇数个因子，返回-1,否则返回1
+    if (x != 1) sum++;         // 如果还存在另一个大因子，那么因子个数+1
+    return (sum & 1) ? -1 : 1; // 奇数个因子，返回-1,否则返回1
 }
 
 int main() {
-    //筛法求莫比乌斯函数
-    get_mobius1(n);
+    // 计算单个数字的莫比乌斯函数
+    for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%2d ", getmob(i));
+    cout << endl;
+    for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%2d ", i);
 
-    for (int i = 1; i <= n; i++) {
-        //计算单个数字的莫比乌斯函数
-        cout << "mu1[" << i << "]=" << getmob(i) << endl;
-        cout << "mu1[" << i << "]=" << mu[i] << endl;
-        cout << "========================================" << endl;
-    }
-    //清空一下，继续测试
-    memset(mu, 0, sizeof mu);
+    // 筛法求莫比乌斯函数
+    // get_mobius1(n);
+    // for (int i = 1; i <= n; i++)
+    //     cout << "mu1[" << i << "]=" << mu[i] << endl;
 
-    //测试枚举约数的筛法
-    get_mobius2(n);
+    // //清空一下，继续测试
+    // memset(mu, 0, sizeof mu);
 
-    for (int i = 1; i <= n; i++) {
-        //计算单个数字的莫比乌斯函数
-        cout << "mu2[" << i << "]=" << getmob(i) << endl;
-        cout << "mu2[" << i << "]=" << mu[i] << endl;
-        cout << "========================================" << endl;
-    }
+    // //测试枚举约数的筛法
+    // get_mobius2(n);
+
+    // for (int i = 1; i <= n; i++) {
+    //     //计算单个数字的莫比乌斯函数
+    //     cout << "mu2[" << i << "]=" << getmob(i) << endl;
+    //     cout << "mu2[" << i << "]=" << mu[i] << endl;
+    //     cout << "========================================" << endl;
+    // }
     return 0;
 }

TangDou/Topic/莫比乌斯函数.md

@@ -34,16 +34,22 @@ https://www.cnblogs.com/letlifestop/p/10262757.html
 
 #### 2. 定义
 
-莫比乌斯函数是以$19$世纪的数学家亚当·莫比乌斯的名字命名的。它是数论中的一个重要函数，通常用符号 $μ(n)$ 表示。
+![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/202312151650942.png)
 
-**莫比乌斯函数的返回值有三种情况**：
+莫比乌斯函数是个分段函数,它的意思:
+- ① 当$n=1$时,莫比乌斯函数值为$1$
+- ② 当$n$为可以分解为许多素数并且这些质因子的次数都是$1$时,莫比乌斯值就是$-1$的 **质数因子个数的幂次方**
+- ③ 除了这些情况剩余的情况莫比乌斯函数值都是$0$
 
-* ① 若$n=1,μ(n) =1$
-  
-* ② 若$n$存在有大于$1$方数因数（如$4$($2$平方)，$9$($3$的平方)，$27$($3$的立方），则$μ(n) =0$ 
-  
-* ③ $μ(n)$ 的结果取决于$n$根据 **算数基本定理** 分解的 **质因数个数的奇偶性** 来判断。比如$n=3，5，7$就只有一个质因数所以为$μ(n)=-1$，$n=6,15,21$，$μ(n)$就为$1$。
+前五十个数的莫比乌斯值.
+![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/202312151653968.png)
 
+打印前$20$个数字的莫比乌斯函数值
+
+```cpp {.line-numbers}
+函数值 1 -1 -1  0 -1  1 -1  0  0  1 -1  0 -1  1  1  0 -1  0 -1  0 
+数 字: 1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
+```
 #### 3. 求单个数字的莫比乌斯函数值
 
 ```cpp {.line-numbers}