'commit'

TangDou/AcWing_TiGao/T5/GameTheory/1319.md

@@ -43,6 +43,7 @@ win
 
 ### 二、解题思路
 
+#### 1、$SG$函数
 首先定义 $mex$ 函数，这是施加于一个集合的函数，返回　**最小的不属于这个集合的非负整数**
 
 例：$mex({1,2})=0,mex({0,1})=2,mex({0,1,2,4})=3$
@@ -59,7 +60,53 @@ $SG(4)=mex({SG(5),SG(3)})=mex({0,1})=2$
 $SG(2)=mex({SG(3)})=mex({1})=0$
 $SG(1)=mex({SG(2),SG(4)})=mex({0,2})=1$
 
-#### 本题思路
+#### 2、本题和 $SG$ 函数有什么关系？
+下面先说本题做法，再证明该方法正确性。
+
+**做法**：求出每个棋子所在的点的 $SG$ 函数值，将所有值异或起来。若异或值不为 $0$，则输出$win$，否则输出$lose$
+
+**证明**：
+首先，由于这是一张有向无环图，所以游戏最后一定会结束，也就是说每个棋子最后都会移动到一个点上，且该点没有任何能到达的点。
+那么根据定义，结束状态的所有点的 $SG$ 函数值异或起来为 $0$，做法对于结束状态可行。
+所以接下来，只要证明出
+
+- ① 任何一种每个棋子所在点的 $SG$ 函数值异或起来非 $0$ 的情况，一定能通过一次移动棋子，到达一个 每个棋子所在点的 $SG$ 函数值异或起来为 $0$ 的情况
+
+- ② 任何一种每个棋子所在点的 $SG$ 函数值异或起来为 $0$ 的情况，一定不能通过一次移动棋子，到达一个每个棋子所在点的 $SG$  函数值异或起来为 $0$ 的情况
+
+那么做法就是对的
+
+
+**证明** $1$：
+设每个棋子所在点的 $SG$ 函数值分别为 $a_1,a_2,⋯,a_n$
+设 $x=a_1 XOR a_2 XOR ⋯ XOR a_n$，设 $x$ 的最高位为第 $k$ 位，那么在 $a_1,a_2,⋯,a_n$ 中，一定有一个值的第 $k$ 位为 $1$。
+
+设该值为 $a_i$，那么由于 $x$ 的第 $k$位和 $a_i$ 的第 $k$ 位都是 $1$，且第 $k$ 位是 $x$ 的最高位，所以 $a_i XOR x$ 一定小于 $a_i$
+
+又因为 $a_i$ 是其中一个棋子所在点的 $SG$ 函数值，那么根据 $SG$ 函数值的定义，该点能到达的所有点中，一定存在一个点的 $SG$ 函数值为 $a_i XOR x$
+
+那么我们就可以将该点上的棋子，移到一个 $SG$ 函数值为 $a_i XOR x$ 的点上去
+
+移完之后，原来每个棋子所在点的 $SG$ 函数异或值就变为了 $a_1 XOR a_2 XOR ⋯ XOR a_{i−1} XOR (a_i XOR x) XOR a_{i+1} ⋯ XOR a_n$
+
+$=(a_1 XOR a_2 XOR ⋯ XOR a_n) XOR x=x XOR x=0$
+
+① 证毕
+
+
+**证明** $2$：
+反证法，设将点 $u$ 上的棋子移动到点 $v$ 上后，每个棋子所在点的 $SG$ 函数值仍然为 $0$
+那就说明 $SG(u)=SG(v)$，不符合 $SG$ 函数的定义，不成立
+② 证毕
+
+所以做法是正确的。
+
+那么如何求出每个点的 $SG$ 函数值呢？
+记忆化搜索就好啦~
+每层记忆化搜索中，如果该点的 $SG$ 函数值已经被计算出，那就直接返回该值。否则用一个 $set$ 记录每个点能到的所有点的 $SG$ 函数值集合，然后从 $0$ 开始遍历，找到第一个 $set$ 里面没有的数，将该值记录在该点上并返回。
+
+
+#### 3、回到本题
 - 如果只有一个棋子（棋子位置是$s$）：
 先手必胜 $\Leftrightarrow $ `sg(s)!=0`