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TangDou/Topic/SpareTire.cpp

@@ -1,67 +1,49 @@
-#include <cstdio>
-#include <algorithm>
-#include <cstring>
+#include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
-
-typedef long long LL;
+#define int long long
+#define endl "\n"
 const int maxn = 10000;
-const LL Six = 166666668; /// 6，2关于mod的乘法逆元
-const LL Two = 500000004;
-const LL mod = 1e9 + 7; /// 尽量这样定义mod ，减少非必要的麻烦
-
-bool book[maxn];
-int pri[1300], cnt; /// 素数表
-int factor[130];    /// 因子表
+const int Six = 166666668; /// 6，2关于mod的乘法逆元
+const int Two = 500000004;
+const int mod = 1e9 + 7; /// 尽量这样定义mod ，减少非必要的麻烦
 
-void Prime() {
-    memset(book, 0, sizeof(book));
-    cnt = 0;
-    book[0] = book[1] = 1;
-    for (int i = 2; i < maxn; i++) {
-        if (!book[i])
-            pri[cnt++] = i;
-        for (int j = 0; j < cnt && pri[j] * i < maxn; j++) {
-            book[i * pri[j]] = 1;
-            if (i % pri[j] == 0)
-                break;
-        }
-    }
-}
-
-inline LL Mod(LL a, LL b) {
+inline int Mod(int a, int b) {
     return (a % mod) * (b % mod) % mod;
 }
-inline LL F(LL k, LL n) { /// 求(k*n)^2+k*n
+inline int F(int k, int n) { /// 求(k*n)^2+k*n
     return (Mod(k, k) * Mod(Mod(n, n + 1), Mod(n + n + 1, Six)) % mod + Mod(Mod(1 + n, n), Mod(k, Two))) % mod;
 }
-int main() {
-    LL n, m;
 
-    Prime();
-    while (~scanf("%lld%lld", &n, &m)) {
-        int fac_cnt = 0; /// 素数因子的个数
+vector<int> p; // 将m拆分成的质数因子序列p
+
+signed main() {
+#ifndef ONLINE_JUDGE
+    freopen("SpareTire.in", "r", stdin);
+#endif
+    int n, m;
 
-        for (int i = 0; i < cnt; i++) {
-            if (pri[i] > m) break;
-            if (m % pri[i] == 0) {
-                factor[fac_cnt++] = pri[i];
-                while (m % pri[i] == 0) m /= pri[i];
+    while (cin >> n >> m) {
+        int sum = F(1, n), ans = 0; /// 计算总和sum
+
+        int t = m; // 复制出来
+        for (int i = 2; i * i <= t; i++) {
+            if (t % i == 0) {
+                p.push_back(i);
+                while (t % i == 0) t = t / i;
             }
         }
-        if (m > 1) factor[fac_cnt++] = m;
-
-        LL sum = F(1LL, n), ans = 0; /// 计算总和sum
+        if (t > 1) p.push_back(t);
 
-        LL item = 1 << fac_cnt; /// 开始容斥
+        int item = 1 << p.size(); /// 开始容斥
 
-        /// 例如有3个因子，那么item=1<<3=8(1000二进制)
-        /// 然后i从1开始枚举直到7(111二进制），i中二进制的位置1表式取这个位置的因子
-        /// 例如i=3(11二进制) 表示去前两个因子，i=5（101）表示取第1个和第3个的因子
+        // 例如有3个因子，那么item=1<<3=8(1000二进制)
+        // 然后i从1开始枚举直到7(111二进制），i中二进制的位置1表式取这个位置的因子
+        // 例如i=3(11二进制) 表示去前两个因子，i=5（101）表示取第1个和第3个的因子
         for (int i = 1; i < item; i++) {
             int num = 0, x = 1;
 
-            for (int j = 0; j < fac_cnt; j++) {
-                if (1 & (i >> j)) num++, x *= factor[j];
+            for (int j = 0; j < p.size(); j++) {
+                if (1 & (i >> j)) num++, x *= p[j];
             }
 
             if (num & 1)
@@ -72,5 +54,4 @@ int main() {
 
         printf("%lld\n", ((sum - ans) % mod + mod) % mod);
     }
-    return 0;
 }

TangDou/Topic/SpareTire.in

@@ -0,0 +1 @@
+4 4

TangDou/Topic/容斥原理.md

@@ -930,7 +930,73 @@ int main() {
 
 
 #### 解题思路
-根据递推式，易求得$a[n]=n*n+n$，那么易得前$n$项和为 $Sn=n*(n+1)(2*n+1)/6+n*(n+1)/2$;我们直接求与$m$互质的数较难，所以我们可以换个思路，求与 $m$不互质的数，那么与$m$不互质的数，是取$m$的素因子的乘积（因为根据唯一分解定理，任意个数都可看作的素数积），那么我们将$m$分解质因数，通过容斥定理，就可以得道与$m$不互质的数，总和$sum$减去这些数对应的$a$的和就是答案了。
+
+**结论**：递推式 $\large a_n = \frac{3a_{n-1} - a_{n-2}}{2} + n + 1$ 的通项公式为 $a_n = n^2 + n$。
+
+可以使用数学归纳法来证明这个结论。
+
+**初值条件**
+当 $n = 1$ 时，$a_1 = 1^2 + 1 = 2$,符合通项公式 $a_n = n^2 + n$。
+当 $n = 2$ 时，$a_2 = 2^2 + 2 = 6$,符合通项公式 $a_n = n^2 + n$。
+
+**归纳假设**
+假设对于所有的 $n \leq m$，递推式 $a_n = \frac{3a_{n-1} - a_{n-2}}{2} + n + 1$ 的通项公式成立，即 $a_n = n^2 + n$。
+
+**归纳步骤**
+我们需要证明当 $n = m+1$ 时，通项公式 $a_n = n^2 + n$ 仍然成立。
+
+根据递推式 $a_n = \frac{3a_{n-1} - a_{n-2}}{2} + n + 1$，我们有：
+
+$a_{m+1} = \frac{3a_m - a_{m-1}}{2} + m + 1+1 $
+
+根据归纳假设，将 $a_m$ 和 $a_{m-1}$ 替换为 $(m^2 + m)$ 和 $((m-1)^2 + (m-1))$，得到：
+
+$a_{m+1} = \frac{3(m^2 + m) - ((m-1)^2 + (m-1))}{2} + m + 1+1 \rightarrow$
+$a_{m+1}=\frac{3m^2+3m-(m^2-2m+1)-m+1}{2}+m+1+1 \rightarrow$
+$a_{m+1}=\frac{3m^2+3m-m^2+2m-1-m+1}{2}+m+1+1 \rightarrow$
+$a_{m+1}=\frac{2m^2+4m}{2}+m+1+1 \rightarrow$
+$a_{m+1} = m^2 + 2m +m+1+ 1 \rightarrow $
+$a_{m+1} = m^2 + 2m +1+m+1 \rightarrow $
+$a_{m+1}= (m+1)^2 + (m+1) $
+
+因此，当 $n = m+1$ 时，通项公式 $a_n = n^2 + n$ 仍然成立。
+
+综上所述，根据数学归纳法，递推式 $a_n = \frac{3a_{n-1} - a_{n-2}}{2} + n + 1)$ 的通项公式为 $a_n = n^2 + n$
+
+费了牛劲，终于求得$a_n=n*n+n$，那么前$n$项和$S_n$是多少呢？
+即$S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n \rightarrow$
+$S_n=1^2+1+2^2+2+3^2+3+...+n^2+n$
+拆开来看:
+① $1,2,3,...,n$很显然是一个等差数列，$S_n'=(1+n)*n/2$
+② $1^2,2^2,3^2,...,n^2$这个序列的求和公式是多少呢?
+这是自然数平方求和数列,有公式：
+$$\large S_n''=n*(n+1)(2*n+1)/6$$;
+
+这个东西是怎么来的呢?
+
+**推导过程**
+$2³-1³=3×1²+3×1+1$
+$3³-2³=3×2²+3×2+1$
+$4³-3³=3×3²+3×2+1$
+... ...
+$(n+1)³-n³=3n²+3n+1$
+
+以上$n$个式子相加，得
+$(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+...+n²)+3(1+2+3+...+n)+(1+1+1+...+1)$
+即$(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+...+n²)+3[n(n+1)/2]+n$
+
+令$S''=1²+2²+3²+...+n²$
+$3S''=(n+1)³-1-3n(n+1)/2-n$
+$3S''=(n+1)³-3n(n+1)/2-(n+1)$
+$3S''=(n+1)((n+1)^2-3n/2-1)$
+$S''=(n+1)(n^2+2n+1-3/2n-1)/3$
+$S''=(n+1)(n^2+n/2)/3$
+$S''=(n+1)(2n^2+n)/6$
+∴$S''=n(n+1)(2n+1)/6$。
+
+> **更多推导方法，看 [《具体数学》学习笔记: $4$.四种方法推导平方和公式](https://blog.csdn.net/ajaxlt/article/details/86161674)**
+
+我们直接求与$m$互质的数较难，所以我们可以换个思路，求与 $m$不互质的数，那么与$m$不互质的数，是取$m$的素因子的乘积（因为根据唯一分解定理，任意个数都可看作的素数积），那么我们将$m$分解质因数，通过容斥定理，就可以得道与$m$不互质的数，总和$sum$减去这些数对应的$a$的和就是答案了。
 
 $Sample$ $Input$
 ```cpp {.line-numbers}