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TangDou/AcWing/BeiBao/6.md

@@ -178,22 +178,27 @@ int main() {
 ```
 
 ### 七、疑问解答　
-#### $Q1$:为什么可以引入单调队列对多重背包进行优化？
-$A$:因为朴素版本三层循环，太慢了，要想办法优化？怎么优化的呢？因为发现每个新值要想更新$f[i][j]$值，第$i$件物品，最多有$s_i$件，我们可以选择$0 \sim s_i$个，同时，由于$i$物品的体积是$v_i$,也就是我们在拿物品$i$时，有一个关系
 
-<div class="center">
+#### $Q_1$:原理解析
+多重背包:物品个数是复数个，但又不是无限个。
+- 当作$01$背包来理解，$s$个物品当成$s$次$01$背包操作。然后优化的话通过 **二进制** 来优化。
+- 当作完全背包来理解，就是有数量限制的完全背包，而这个数量限制就可以理解成 **滑动窗口的长度**,然后优化通过 **单调队列** 来优化。
 
-|      | 拿$0$个     | 拿$1$个         | 拿$2$个             | ... | 拿$s$个             |
-| ---- | ----------- | --------------- | ------------------- | --- | ------------------- |
-| 体积 | $k$         | $k-v$           | $k-2*v$             | ... | $k-s*v$             |
-| 价值 | $f[i-1][k]$ | $f[i-1][k-v]+w$ | $f[i-1][k-2*v]+2*w$ | ... | $f[i-1][k-s*v]+s*w$ |
-</div>
+队列的单调性就是基于
+$$f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v] + w,.....,f[i - 1][j - k * v] + k * w$$
+
+要将前$i - 1$个物品的方案基础上不停尝试放入第$i$个物品，遍历取最大值。
+$f[i - 1][j - k*v] + k *w$表示，总空间是$j$，有且仅有$k$个物品$i$，其余空间通过前$i - 1$个物品填充的最大价值。
+
+多重背包因为有数量限制，向前遍历的个数$k$是受到数量$s$限制的。
+
+所以要将$max$中的每个元素$f[i - 1][j], f[i - 1][j - v] + w,.....,f[i - 1][j - k * v] + k * w$，通过维护单调队列，来获得当前窗口宽度$s$范围内的最大值。
+
+并且在$j = j + v$后，队列中所有元素对应状态与当前背包空间差增加了$v$，可以多放一个物品$i$，每个元素对应的价值增加$w$，全部都加一个$w$，所以单调性不发生任何变化。
 
-**总结**：
-* 往前最多看$s$个
-* $f[i][j]$ <font color='red' size=4><b> 跳跃性依赖 </b></font>于$f[i-1][j - x * v]$,想要求什么呢？求离我距离最多$s$个数的最大值。这数不用每次现去查找，可用单调队列动态维护来优化查询。
+两种优化可以理解成两种思路的进化路线。
 
-#### $Q2$:单调队列中装的是什么？
+#### $Q_2$:单调队列中装的是什么？
 $A$:是体积，是$f[i][j]$可以从哪些 **体积** 转移而来。比如当前$i$物品的体积是$v_i=2$,个数是$3$，那么$f[i][j]$可以从
 $$
 \large \left\{\begin{array}{l}
@@ -205,7 +210,7 @@ $$
 $$
 转移而来，当然，还需要判断一下是不是你的背包能装下那么多，一旦装不下了就别硬装了。
 
-#### $Q3$:只记录体积怎么计算最大价值？
+#### $Q_3$:只记录体积怎么计算最大价值？
 $A$:只记录了所关联的体积，最大价值是现用现算的，办法是
 $$\large f[i][k] = f[i - 1][q[hh]] + (k - q[hh]) / v * w$$