diff --git a/TangDou/AcWing_TiGao/T3/Floyd/344_1.cpp b/TangDou/AcWing_TiGao/T3/Floyd/344.cpp similarity index 100% rename from TangDou/AcWing_TiGao/T3/Floyd/344_1.cpp rename to TangDou/AcWing_TiGao/T3/Floyd/344.cpp diff --git a/TangDou/AcWing_TiGao/T3/Floyd/344.md b/TangDou/AcWing_TiGao/T3/Floyd/344.md index 18ad9d4..15b72de 100644 --- a/TangDou/AcWing_TiGao/T3/Floyd/344.md +++ b/TangDou/AcWing_TiGao/T3/Floyd/344.md @@ -1,7 +1,7 @@ ## [$AcWing$ $344$. 观光之旅](https://www.acwing.com/problem/content/346/) ### 一、题目描述 -给定一张无向图，求图中一个 **至少包含 $3$ 个点** 的环，环上的节点不重复，并且环上的边的长度之和最小。 +给定一张无向图，求图中一个至少包含 $3$ 个点的环，环上的节点不重复，并且环上的边的长度之和最小。 该问题称为 **无向图的最小环问题**。 @@ -15,154 +15,138 @@ **输出格式** 输出占一行，包含最小环的所有节点（按顺序输出），如果不存在则输出 `No solution.`。 -**数据范围** -$1≤N≤100,1≤M≤10000,1≤l<500$ +### 二、$floyd + dp$求最小环模板题 -**输入样例**： -```cpp {.line-numbers} -5 7 -1 4 1 -1 3 300 -3 1 10 -1 2 16 -2 3 100 -2 5 15 -5 3 20 -``` - -**输出样例**： -```cpp {.line-numbers} -1 3 5 2 -``` +**最优化问题**，**从集合角度考虑($DP$)**，**将所有环按编号最大的点** 分成 $n$ 类，**求出每类最小**，最后在类间取 $min$ -### 二、算法思路 +分类的标准是 **可重、不漏**。（对于求数量的问题，分类的标准是 **不重不漏**） -> 环上的节点不重复，并且环上的边的长度之和最小。 -**解释**： -![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/202401031636536.png) -> 如果存在一个环，则上图中$k$出现多次，那么，如果去掉$k$身上的那个环，$a \rightarrow k \rightarrow b \rightarrow a $这个环的长度肯定是最小的。 -最优化问题，可以从集合角度来思考，从集合角度来思考的一个好处就是：不容易丢东西。 +#### 集合划分 +![](https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/08/08/52559_50494c4bf7-%E5%B1%8F%E5%B9%95%E6%88%AA%E5%9B%BE-2021-08-08-101518.jpg) -![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/202401031639098.png) +对于最大编号是 $k$ 的所有环，记点 $k$ 逆时针方向的前一点为 $i$，顺时针方向的下个点为 $j$。由于 $dis[i,k]=g[i,k], dis[k,j]=g[k,j]$ 为定值，要使整个环最小，就要使 $dis[i,j]$ 最小。 -按 **环上编号最大点的编号** 为分类依据，分完类之后，只需要分别求一个每一类的最小值，然后求$min$所有最小值就是答案。 -每一类的最小值怎么求呢？我们来回顾一下$floyd$的过程： +$floyd$ 第一层循环到 $k$ 时的 $dis[i,j]$ 恰好是中间点只包含 $1\sim k−1$ 的最短距离。因此第 $k$ 类最小值可在此时得到。 -```cpp {.line-numbers} -for(int k=1;k<=n;k++) //K是要插入的点,dis[i][j]数组相当是知道了i~j的只经过1~k-1这些点的最小路径 - //此时在这个地方可以求第k类。从某个点连接到k - for(int i=1;i<=n;i++) - for(int j=1;j<=n;j++){ - ... - } -``` -![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/202401031648374.png) -枚举一下所有的点对$(i,j)$,固定了$(i,j)$之后，那么$i \rightarrow k$,$k \rightarrow j$的长度都是固定的。 -而左边那个弧的长度，就是$i \rightarrow j$在只有$1 \sim k-1$号点帮助下可以取得的最短距离，而这个距离恰好被保存在 **当前** 的$dis[i][j]$中。 +#### 状态表示 +![](https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/08/08/52559_1791f992f8-5.png) -也就是说，在正常进行$floyd$算法的第一层 -```cpp {.line-numbers} -for (int k = 1; k <= n ; k++){ - //这里需要加上一些DP的动作，利用floyd进行dp转移 - for (int i = 1; i < k; i++) - for (int j = i + 1; j < k; j++) - if (g[i][k] + g[k][j] < ans - dis[i][j]) // 减法防止爆INT - ans = dis[i][j] + g[i][k] + g[k][j]; - for (int i = 1; i <= n; i++) - for (int j = 1;j <=n; j++){ - .... - } -} -``` +#### 求方案 +$DP$ 求方案一般要 **记录转移前驱的所有维**。但 $floyd$ 转移方程中的 $k$ 表示路径的中间点，由于路径可以被两端和中间点覆盖，只要记下中间点，就能递归出路径。 -![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/202401031650078.png) - -本题还有一个难点，就是$floyd$需要记录方案，其实就是求一下$d[i][j]$是由哪个中间点转移过来的。 -**** - -#### $Code$ +### 三、$floyd+dp+$递归输出路径 ```cpp {.line-numbers} -#include +#include +#include using namespace std; const int N = 110, INF = 0x3f3f3f3f; int n, m; -int g[N][N], dis[N][N]; -vector path; +int g[N][N], d[N][N]; +int path[N], idx; int mid[N][N]; -int ans = INF; -// i->j之间的最短路径中途经点有哪些 void get_path(int i, int j) { - int k = mid[i][j]; // 获取中间转移点 - if (!k) return; // 如果i,j之间没有中间点，停止 - get_path(i, k); // 递归前半段 - path.push_back(k); // 记录k节点 - get_path(k, j); // 递归后半段 + int k = mid[i][j]; //获取中间转移点 + if (!k) return; //如果i,j之间没有中间点，停止 + get_path(i, k); // i->k + path[idx++] = k; //记录k节点 + get_path(k, j); // k->j } int main() { - // n个顶点，m条边 cin >> n >> m; - // 初始化邻接矩阵 memset(g, 0x3f, sizeof g); - for (int i = 1; i <= n; i++) g[i][i] = 0; // 邻接矩阵，自己到自己距离是0 + for (int i = 1; i <= n; i++) g[i][i] = 0; while (m--) { int a, b, c; cin >> a >> b >> c; - g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c); // 求最短路之类，(a,b)之间多条边输入只保留最短边 + g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c); } - // 把原始地图复制出来到生成最短距离dis - memcpy(dis, g, sizeof dis); - - for (int k = 1; k <= n; k++) { // 枚举每一个引入点k来连接缩短i,j的距离 + int ans = INF; + memcpy(d, g, sizeof d); + for (int k = 1; k <= n; k++) { + //插入DP计算 /* - Q1:为什么循环的时候i和j都需要小于k? - A:为了避免经过相同的点，比如i == k时，三个点就变成两个点了。 + Q:为什么循环的时候i和j都需要小于k啊，Floyd不是只需要经过的点小于k就可以了吗 + A:只是为了避免经过相同的点，比如i == k时，三个点就变成两个点了。 其实循环到n也是可以的，不过当i, j, k中有两个相同时就要continue一下 - - Q2:为什么非得把DP的这段代码嵌入到Floyd的整体代码中，不能先Floyd后再进行DP吗？ - A:是不可以的。因为在进行插入节点号为k时，其实dis[i][j]中记录的是1~k-1插点后的最小距离， - 而不是全部插入点后的最短距离。 */ for (int i = 1; i < k; i++) for (int j = i + 1; j < k; j++) - if (g[i][k] + g[k][j] < ans - dis[i][j]) { // 减法防止爆INT - ans = dis[i][j] + g[i][k] + g[k][j]; - // 找到更小的环，需要记录路径,并且要求: 最小环的所有节点（按顺序输出） - // 顺序 - // 1. 上面的i,j枚举逻辑是j>i,所以i是第一个 - // 2. i->j 中间的路线不明，需要用get_path进行查询出i->j的最短路径怎么走,当然，也是在i,所以i是第一个 + // 2. i->j 中间的路线不明，需要用get_path进行探索 + // 3. 记录j + // 4. 记录k + idx = 0; + path[idx++] = i; + get_path(i, j); // i是怎么到达j的？就是问dist[i,j]是怎么获取到的，这是在求最短路径过程中的一个路径记录问题 + path[idx++] = j; + path[idx++] = k; } - // 正常floyd + //正常的floyd for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = 1; j <= n; j++) - if (dis[i][j] > dis[i][k] + dis[k][j]) { - dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j]; - mid[i][j] = k; // 记录路径i->j 是通过k进行转移的 + if (d[i][j] > d[i][k] + d[k][j]) { + d[i][j] = d[i][k] + d[k][j]; + mid[i][j] = k; //记录路径i->j 是通过k进行转移的 } } if (ans == INF) puts("No solution."); else - for (int i = 0; i < path.size(); i++) cout << path[i] << ' '; + for (int i = 0; i < idx; i++) cout << path[i] << ' '; return 0; } -``` \ No newline at end of file +``` + +### 四、关于三个$INF$相加爆$INT$的应对之道 +$Q1$：为什么这里是用$ans-dis[i,j]$,而不是写成 $ans> dis[i,j]+g[j,k]+g[k,i]$? +$A$: $g[j][k],g[k][i] ∈ l$,$l$是小于$500$的,所在 $g[j][k]+g[k][i]<1000$,肯定没问题 + $dis[i,j]$的初始值是$INF$，$g[i,j]$的初始值也是$INF$,如果都写在左边，如果$i,j,k$三者之间没有边，就是三个$INF$,累加和会爆掉$INT$,就会进入判断条件，错误. 而两个$INF$相加不会爆$INT$(想想松弛操作~) + +$Q2:(LL) dis[i][j] + g[j][k] + g[k][i] < ans$ 为什么是正确的？而 + $(LL) (dis[i][j] + g[j][k] + g[k][i]) < ans$为什么就是错误的？ +$A$: + `INT_MAX = 2147483647` + `LONG LONG MAX=9223372036854775807ll` + + `INF = 0x3f3f3f3f = 1061109567` + `INF * 3 =1061109567 * 3 = 3183328701` 大于`INT_MAX`，即会爆`INT`，需要开`LONG LONG` + + `(LL)a + b + c` 将`a`转为`LL`,然后再加`b`加`c`,都是`LL+int`,在`LL`范围内，结果正确 + `(LL)(a + b + c)` 是先计算`a+b+c`,先爆`INT`，再转换`LL`,结果错误。 + +$Q3$: 所有数据全开$LL$为什么一样不对呢？ +$A:$ +```c++ +memset(q, 0x3f, sizeof q); +cout << q[0] << endl; // 4557430888798830399 +cout << q[0] * 3 << endl; //-4774451407313060419 +``` + +因为问题出在$LL$的初始$memset$上，比如`memset(q,0x3f,sizeof q);` +此时，每个数组位置上的值是：$4557430888798830399$ +如果$i,j,k$三者之间没有关系，就会出现 类似于 `g[i,k]+g[k,j]+d[i,j]=3* 4557430888798830399`的情况，这个值太大，$LL$也装不下，值为`-4774451407313060419`,而此时$ans$等于$INF$,肯定满足小于条件，就进入了错误的判断逻辑。 + + +解决的办法有两种： +* `g[j][k] + g[k][i] < ans - dis[i][j]` 以减法避开三个$INF$相加,两个$INF$相加是$OK$的，不会爆$INT$ +* 将运算前的$dis[i][j]$转为$LL$,这样，三个$INF$不会爆$LL$ \ No newline at end of file diff --git a/TangDou/AcWing_TiGao/T3/Floyd/344_2.cpp b/TangDou/AcWing_TiGao/T3/Floyd/344_2.cpp deleted file mode 100644 index 9e501a0..0000000 --- a/TangDou/AcWing_TiGao/T3/Floyd/344_2.cpp +++ /dev/null @@ -1,70 +0,0 @@ -#include -using namespace std; -const int N = 110; -#define INF 0x3f3f3f3f -/** -分析:模板题，理解floyd 的在 i , j 路径中没有包含k（因为此时k未用来更新），即可写出最小环 -*/ -int n, m; -int g[N][N]; -int dis[N][N]; // dp结果数组 -int path[N][N]; -int ans[N]; -int cnt; -int res = INF; -void floyd() { - for (int k = 1; k <= n; k++) { - // dp - for (int i = 1; i < k; i++) { - for (int j = i + 1; j < k; j++) { // i,j,k序号由小到大 - if (res - dis[i][j] > g[i][k] + g[k][j]) { // 减法防溢出 - res = dis[i][j] + g[i][k] + g[k][j]; - - int x = i, y = j; - cnt = 0; // 以前有过的路径也清空 - while (x != y) { - ans[cnt++] = y; - y = path[i][y]; - } - ans[cnt++] = x; - ans[cnt++] = k; // 序号最大的节点k - } - } - } - // floyd - for (int i = 1; i <= n; i++) - for (int j = 1; j <= n; j++) - if (dis[i][j] > dis[i][k] + dis[k][j]) { - dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j]; - path[i][j] = path[k][j]; // 这咋还和我理解的不一样呢？ - } - } -} - -int main() { - while (cin >> n >> m) { - // 邻接矩阵初始化 - for (int i = 1; i <= n; i++) - for (int j = 1; j <= n; j++) { - dis[i][j] = g[i][j] = INF; - path[i][j] = i; // 这里也是不一样，需要思考与整理 - } - - // 读入边 - while (m--) { - int a, b, c; - cin >> a >> b >> c; - g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c); - dis[a][b] = dis[b][a] = g[a][b]; - } - - floyd(); - - if (res == INF) { - puts("No solution."); - continue; - } - for (int i = 0; i < cnt; i++) printf("%d%s", ans[i], (i == cnt - 1) ? "\n" : " "); - } - return 0; -} \ No newline at end of file diff --git a/TangDou/AcWing_TiGao/T3/Floyd/344_3.cpp b/TangDou/AcWing_TiGao/T3/Floyd/344_3.cpp deleted file mode 100644 index cf3bcab..0000000 --- a/TangDou/AcWing_TiGao/T3/Floyd/344_3.cpp +++ /dev/null @@ -1,70 +0,0 @@ -#include -using namespace std; -const int N = 110; -#define INF 0x3f3f3f3f -/** -分析:模板题，理解floyd 的在 i , j 路径中没有包含k（因为此时k未用来更新），即可写出最小环 -*/ -int n, m; -int g[N][N]; -int dis[N][N]; // dp结果数组 -int path[N][N]; -int ans[N]; -int cnt; -int res = INF; -void floyd() { - for (int k = 1; k <= n; k++) { - // dp - for (int i = 1; i < k; i++) { - for (int j = i + 1; j < k; j++) { // i,j,k序号由小到大 - if (res - dis[i][j] > g[i][k] + g[k][j]) { // 减法防溢出 - res = dis[i][j] + g[i][k] + g[k][j]; - - int x = i, y = j; - cnt = 0; // 以前有过的路径也清空 - while (x != y) { - ans[cnt++] = y; - y = path[i][y]; - } - ans[cnt++] = x; - ans[cnt++] = k; // 序号最大的节点k - } - } - } - // floyd - for (int i = 1; i <= n; i++) - for (int j = 1; j <= n; j++) - if (dis[i][j] > dis[i][k] + dis[k][j]) { - dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j]; - path[i][j] = path[k][j]; // 这咋还和我理解的不一样呢？ - } - } -} - -int main() { - while (cin >> n >> m) { - // 邻接矩阵初始化 - for (int i = 1; i <= n; i++) - for (int j = 1; j <= n; j++) { - dis[i][j] = g[i][j] = INF; - path[i][j] = i; // 这里也是不一样，需要思考与整理 - } - - // 读入边 - while (m--) { - int a, b, c; - cin >> a >> b >> c; - g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c); - dis[a][b] = dis[b][a] = g[a][b]; - } - - floyd(); - - if (res == INF) { - puts("No solution."); - continue; - } - for (int i = 0; i < cnt; i++) printf("%d%s", ans[i], (i == cnt - 1) ? "\n" : " "); - } - return 0; -} diff --git a/TangDou/Topic/【Floyd专题】.md b/TangDou/Topic/【Floyd专题】.md index 9c9ec72..2929523 100644 --- a/TangDou/Topic/【Floyd专题】.md +++ b/TangDou/Topic/【Floyd专题】.md @@ -27,7 +27,7 @@ void floyd() { - 遍历所有可能连接上的两个不在同一连通块中的点，尝试连接上这两个点后，得到可以获得到的最小直径。 - 原始直径与遍历尝试的所有可能直径$PK$，谁大谁是答案。 -### 三、判负环 +### 四、判负环 眼尖的人儿可能发现邻接矩阵 $g$ 中， $g[i][i]$并没有赋初值$0$，而是 $inf$。并且计算后 $g[i][i]$的值也不是 $0$，而是 $g[i][i]=g[i][u]+……+g[v][i]$，即从外面绕一圈回来的最短路径，而这正 **用于判断负圈**，即 $g[i][i]<0$。 @@ -101,7 +101,7 @@ int main() { } ``` -### 四、打印路径 +### 五、打印路径 #### [$HDU-1385$ $Minimum$ $Transport$ $Cost$](http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1385) @@ -192,7 +192,7 @@ int main() { } ``` -### 五、最小环 +### 六、最小环 #### [$HDU$-$1599$ $find$ $the$ $mincost$ $route$](https://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1599) **类型: 最小环** @@ -272,7 +272,7 @@ signed main() { } } ``` -### 六、传递闭包 +### 七、传递闭包 #### [$HDU$-$1704$ $Rank$](https://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1704) @@ -319,9 +319,13 @@ int main() { return 0; } ``` +练习题 +#### [$AcWing$ $343$. 排序](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/16029054.html) -### 七、变形 +这个更麻烦些，还需要输出大小的顺序。 + +### 八、变形 #### [$HDU$-$3631$ $Shortest$ $Path$](https://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3631) **题意** @@ -390,7 +394,7 @@ int main() { } ``` -### 八、其它习题 +### 九、其它习题 #### $SSL-1760$（商店选址） **题目**