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TangDou/AcWing_TiGao/T1/LIS/1010.md

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 问题一 套用 $LIS$ 模型即可求解。由 $Dilworth$ 定理，问题二等价于 另一个 $LIS$ 长度
 
 #### 贪心法
-对于每个数，既可以把它接到已有子序列后面，也可以建立一个新序列。要使子序列数最少，应尽量不建立新序列。此外，应让每个子序列的末尾尽可能大，这样能接的数更多。因为一个数若能接到小数后面，必然能接到大数后面，反之则不成立。根据这些想法，可总结出如下贪心流程：
+![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/202403041334201.png)
 
->从前往后扫描每个数，对于当前数
-> - 若现有子序列的结尾都小于它，则创建新子序列
-> - 否则，将它放到结尾大于等于它的最小数后面
+我们用两个贪心的证明方法来证明：
+![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/202403041346994.png)
 
-##### 证明 （最优解 = 贪心解）
+![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/202403041346474.png)
 
-假设存在一个最优解，他在考虑第 $i$ 个数放入的下降子序列组中，选择了贪心解方案的后面的一个位置
-
-具体如图所示：（绿色部分，更新了$q[i+1]$后为保证递增顺序，交换了$q[i]$和$q[i+1]$，这一步省略了）
-![](https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/06/03/55909_ffc9a769c4-IMG_43104A5A0544-1.jpeg)
-
-可以观察到，该最优策略使得当前局面差于贪心策略，即能接在$(q[i],q[i+1])$范围的子序列少了一个,即 **贪心解** ≤ **最优解**
-
-同理可证，**最优策略** 在考虑第 $i$ 个数放入的下降子序列组中，选择了贪心解方案的后面的第 $k$ 个位置 也有结论 **贪心解** ≤  **最优解**
-
-此外，由于**贪心解** 是 **合法解**，所以必然 **贪心解** ≥ **最优解**
-
-于是有 **贪心解** = **最优解**
 
 #### $Code$  
 朴素作法 $O(N^2)$

TangDou/AcWing_TiGao/T1/LIS/1010_TanXin.cpp

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+#include <sstream>
+#include <iostream>
+#include <algorithm>
+
+using namespace std;
+
+const int N = 1010;
+
+int n;
+int h[N], f[N], q[N];
+
+int main() {
+    string line;
+    getline(cin, line);
+    stringstream ssin(line);
+    while (ssin >> h[n]) n++;
+
+    int res = 0, cnt = 0;
+    for (int i = 0; i < n; i++) {
+        f[i] = 1;
+        for (int j = 0; j < i; j++)
+            if (h[i] <= h[j])
+                f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
+        res = max(res, f[i]);
+
+        int k = 0;
+        while (k < cnt && q[k] < h[i]) k++;
+        if (k == cnt)
+            q[cnt++] = h[i];
+        else
+            q[k] = h[i];
+    }
+
+    printf("%d\n", res);
+    printf("%d\n", cnt);
+    return 0;
+}

TangDou/AcWing_TiGao/T1/LIS/1016.md

@@ -86,3 +86,6 @@ int main() {
 
 **[题解传送门](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/17510484.html)**
 
+### 五、关键字
+- 魔改$LIS$
+- 最大上升子序列和