diff --git a/TangDou/AcWing_TiGao/T3/Floyd/344_3.cpp b/TangDou/AcWing_TiGao/T3/Floyd/344_3.cpp index 9e501a0..cf3bcab 100644 --- a/TangDou/AcWing_TiGao/T3/Floyd/344_3.cpp +++ b/TangDou/AcWing_TiGao/T3/Floyd/344_3.cpp @@ -67,4 +67,4 @@ int main() { for (int i = 0; i < cnt; i++) printf("%d%s", ans[i], (i == cnt - 1) ? "\n" : " "); } return 0; -} \ No newline at end of file +} diff --git a/TangDou/Topic/HDU1385.cpp b/TangDou/Topic/HDU1385.cpp index b0440f2..c04c083 100644 --- a/TangDou/Topic/HDU1385.cpp +++ b/TangDou/Topic/HDU1385.cpp @@ -1,64 +1,54 @@ #include using namespace std; + +const int N = 110; const int INF = 0x3f3f3f3f; +// Floyd+记录起点后继 +int n; +int g[N][N], w[N]; +int path[N][N]; // 记录i到j最短路径中i的后继 -const int N = 1003; -int g[N][N]; // 邻接矩阵 -int n; // n个点 -int w[N]; // 额外费用 -int path[N][N]; // i->j 可能存在多条路线，我要找最短的。如果有多条最短的，我要字典序最小的。现在路线唯一了吧！比如这条路线最终是 -// i->a->b->c->d->j,则path[i][j]=a,也就是第一个后继节点。 void floyd() { for (int k = 1; k <= n; k++) for (int i = 1; i <= n; i++) - if (g[i][k] != INF) // floyd优化 - for (int j = 1; j <= n; j++) { - if (g[i][j] > g[i][k] + g[k][j] + w[k]) { // w[k]:点权 - g[i][j] = g[i][k] + g[k][j] + w[k]; // k的加入，使得i->j的路径变短 - path[i][j] = path[i][k]; // 如果i->k->j使得i->j更近，那么根据定义path[i][j]就是这条最短路径中距离i最近的那个点，而这个点由于是出现在i->k的必经之路上，而且是i->k的首席弟子，所以，也必然是i->j的首席弟子。 - } - // 处理字典序 - if (g[i][j] == g[i][k] + g[k][j] + w[k]) { // 如果存在多条最短路径，也就是，除了k还有其它k1,k2使得i->j距离一样小 - if (path[i][j] > path[i][k]) path[i][j] = path[i][k]; // 字典序，谁更小就留下谁 - } + for (int j = 1; j <= n; j++) { + if (g[i][j] > g[i][k] + g[k][j] + w[k]) { + g[i][j] = g[i][k] + g[k][j] + w[k]; + path[i][j] = path[i][k]; // i->j这条最短路径上，i后面第一个节点，是i->k路径上第一个节点 } + // 相同路径下选择后继更小的(为了字典序) + if (g[i][j] == g[i][k] + g[k][j] + w[k]) + if (path[i][j] > path[i][k]) + path[i][j] = path[i][k]; + } +} + +// 递归输出路径 +void print(int s, int e) { + printf("-->%d", path[s][e]); // 输出s的后继 + if (path[s][e] != e) // 如果不是直连 + print(path[s][e], e); // 递归输出后继 } + int main() { - while (cin >> n && n) { - for (int i = 1; i <= n; i++) { + while (cin >> n, n) { + for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = 1; j <= n; j++) { - path[i][j] = j; // 路径初始化,记录整条路径上，离i节点最近的，最短路径上的下一个点，只有i->j时，下一个点可不就是j - cin >> g[i][j]; // 不管是不是有边，都先录进来 - if (g[i][j] == -1) g[i][j] = INF; // 如果题目中给出的是无边，那么设置为正无穷。此时，有些记录的path[i][j]就是没用的，但没事，后面会被其它代码替换掉path[i][j]。 + cin >> g[i][j]; + if (g[i][j] == -1) g[i][j] = INF; + path[i][j] = j; } - } - for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> w[i]; // 读入点权 - // 多源最短路径 + for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> w[i]; floyd(); - // 处理询问 - int x, y; - while (cin >> x >> y) { - if (x == -1 && y == -1) break; - printf("From %d to %d :\n", x, y); - printf("Path: %d", x); - int u = x, v = y; - // 理解路径思路: - // (1) 从起点x出发,用循环打印路径,最后一个打印的肯定是y - // (2) 从起点x出发,第二个点应该是离x最近的，并且是最短路径上的那个点,这个点就是path[x][y]! - // path[x][y]：从起点x出发，到终点y有多条最短路径，我们选择字典序最小的那条最短路径，然后path[x][y]就是从x出发，离x最近的这条最短路径上的点。 - while (x != y) { - printf("-->%d", path[x][y]); // 输出距离x最近的那个点 - x = path[x][y]; // 更换x概念，向y逼近，让循环跑起来 - } + int s, e; - puts(""); - if (g[u][v] < INF) - printf("Total cost : %d\n", g[u][v]); - else - puts("-1"); - puts(""); + while (cin >> s >> e, ~s && ~e) { + printf("From %d to %d :\n", s, e); + printf("Path: %d", s); + if (s != e) print(s, e); // 起点与终点不同开始递归 + printf("\nTotal cost : %d\n\n", g[s][e]); } } return 0; diff --git a/TangDou/Topic/【Floyd专题】.md b/TangDou/Topic/【Floyd专题】.md index a764ef4..c9a9199 100644 --- a/TangDou/Topic/【Floyd专题】.md +++ b/TangDou/Topic/【Floyd专题】.md @@ -106,21 +106,21 @@ $floyd$ 算法求最短路（边权可为负）很优美，四行代码就搞定 开一个 $path$数组，$path[i][j]$ 表示：更新从 $i$ 到 $j$ 的最短路径时，经过的一个中转点。 ```cpp {.line-numbers} -void floyd(){ - for(int k=1;k<=n;k++) - for(int i=1;i<=n;i++) - for(int j=1;j<=n;j++) - if(dis[i][j]>dis[i][k]+dis[k][j]){ - dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j]; - path[i][j]=k; - } +void floyd() { + for (int k = 1; k <= n; k++) + for (int i = 1; i <= n; i++) + for (int j = 1; j <= n; j++) + if (dis[i][j] > dis[i][k] + dis[k][j]) { + dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j]; + path[i][j] = k; //记录i->j是通过k转移的 + } } ``` ![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/202401050754691.png) 在这个图中，很容易看出，从 $1$ 到 $6$ 之间的最短路径是标红的那几条边。 -二重循环所有点，我们输出 $path$ 数组： +二重循环所有点，输出 $path$ 数组： ```cpp {.line-numbers} 0 0 0 3 4 5 0 0 0 0 4 5 @@ -129,7 +129,7 @@ void floyd(){ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ``` -可以看出，$path[1][6]$ 是 $5$，$path[1][5]$ 是 $4$，$path[1][4]$ 是 $3$。那么，最终 $path[i][j]$ 中存的就是 **从$i$到$j$的最短路径中的最后一个点**。 +可以看出，$path[1][6]$ 是 $5$，$path[1][5]$ 是 $4$，$path[1][4]$ 是 $3$。那么，最终 $path[i][j]$ 中存的就是 **从$i$到$j$的最短路径中的靠近$j$的最后一个点**。 而我们最终输出路径的思路就是，不断分段最短路径！ 最后输出所有的点。 > **原理：由 $i$ 到 $j$ 的最短路径中的一点 $k$，将最短路径分段为从 $i$ 到 $k$ 的最短路径 和 从 $k$ 到 $j$ 的最短路径，最短路径就为从$i$到$k$的最短路径+从$k$到$j$的最短路径，一直分段，直到分到 $i$ 和 $j$ 为同一点，停止** @@ -137,31 +137,32 @@ void floyd(){ 可能现在你有些迷糊，我们直接看代码吧！ ```cpp {.line-numbers} -void get_path(int i,int j){//path[i][j]:从i到j最短路径中经过的一点k - if(i==j) return; //分段到同一点，停止 - if(path[i][j]==0) cout<dist[i][k]+dist[k][j]){ - dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j]; - pass[i][j]=k; - } +void floyd() { + for (int k = 1; k <= n; k++) + for (int i = 1; i <= n; i++) + for (int j = 1; j <= n; j++) + if (dis[i][j] > dis[i][k] + dis[k][j]) { + dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j]; + path[i][j] = k; + } } -void print(int i,int j){ - if(i==j) return; - if(pass[i][j]==0) cout<