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## 图论-多源最短路径（$Floyd$算法）
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### 一、$Floyd$
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$Floyd$算法是一次性求所有结点之间的最短距离，能处理负权边的图，程序比暴力的$DFS$更简单，但是复杂度是$O(n^3)$，只适合 $n < 200$的情况。
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$Floyd$运用了 **动态规划** 的思想，求 $i 、 j$两点的最短距离，可分两种情况考虑，即经过图中某个点 $k$的路径和不经过点 $k$ 的路径，**取两者中的最短路径**。
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- 判断负圈
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眼尖的人儿可能发现邻接矩阵 $mp$ 中， $mp[i][i]$并没有赋初值$0$，而是 $inf$。并且计算后 $mp[i][i]$的值也不是 $0$，而是 $mp[i][i]=mp[i][u]+……+mp[v][i]$，即从外面绕一圈回来的最短路径，而这正 **用于判断负圈**，即 $mp[i][i]<0$。
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相关变形结合题目讲，如：负圈、打印路径、最小环、传递闭包
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记录坑点：**重复边**，保留最小的那个。
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### 二、模板
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```cpp {.line-numbers}
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void floyd() {
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for (int k = 1; k <= n; k++)
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for (int i = 1; i <= n; i++)
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if (g[i][k] != inf) //优化
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for (int j = 1; j <= n; j++)
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if (g[i][j] > g[i][k] + g[k][j])
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g[i][j] = g[i][k] + g[k][j];
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}
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```
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### 三、例题
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#### [$POJ-3259$ $Wormholes$](https://link.juejin.cn/?target=https%3A%2F%2Fvjudge.net%2Fproblem%2FPOJ-3259)
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**类型**
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判负环
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**题意**
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- 正常路是$m$条双向正权边
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- 虫洞是$w$条单向负权边
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- 题目让判断是否有负权回路
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**办法**
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利用$Floyd$找两点间花费的最短时间，判断从起始位置到起始位置的最短时间是否为负值（判断负权环），若为负值，说明他通过虫洞回到起始位置时比自己最初离开起始位置的时间早。
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**代码实现**:
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在第二重循环，求完第$i$个结点后判断。$i$到$i$之间的最短距离是一个负值，说明存在一个经过它的负环。
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```cpp {.line-numbers}
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#include <cstdio>
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#include <cstring>
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#include <algorithm>
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#include <iostream>
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using namespace std;
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const int INF = 0x3f3f3f3f;
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const int N = 502;
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int n, m, w;
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int g[N][N];
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// floyd判断是否存在负圈
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bool floyd() {
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for (int k = 1; k <= n; k++)
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for (int i = 1; i <= n; i++)
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if (g[i][k] != INF) { // 优化
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for (int j = 1; j <= n; j++)
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if (g[i][j] > g[i][k] + g[k][j])
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g[i][j] = g[i][k] + g[k][j];
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if (g[i][i] < 0) return true; // 发现负圈
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}
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return false;
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}
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int main() {
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int T;
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cin >> T;
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while (T--) {
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cin >> n >> m >> w;
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memset(g, INF, sizeof g); // 初始化邻接矩阵
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// 双向正值边
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while (m--) {
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int a, b, c;
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cin >> a >> b >> c;
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// 注意坑：重边
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g[a][b] = g[b][a] = min(c, g[a][b]);
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}
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// 单向负值边
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while (w--) {
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int a, b, c;
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cin >> a >> b >> c;
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g[a][b] = -c; // 负值边
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}
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if (floyd())
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puts("YES");
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else
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puts("NO");
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}
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return 0;
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}
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```
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#### [$HDU-1385$ $Minimum$ $Transport$ $Cost$](http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1385)
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**类型**
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打印路径
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**题意**
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给你所有城市到其他城市的道路成本和经过每个城市的城市税，给你很多组城市，要求你找出每组城市间的最低运输成本并且输出路径，如果有多条路径则输出字典序最小的那条路径。**注意**，起点城市和终点城市不需要收城市税。
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**分析**
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输出路径，多个答案则输出字典序最小的，无法到达输出$-1$。
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读入邻接表， $cost[]$记录每个城市额外费用， $path[][]$记录路径，比如 $path[i][j]=k$ 表示 $i$到 $j$的路径是 $i$先到 $k$，再从 $k$到 $j$，$floyd()$里维护即可。然后处理下输出(比较恶心)。
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https://juejin.cn/post/6935691567696969764
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