python/TangDou/AcWing/Section/479.cpp

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 50;

int n;
int w[N];    // 权值数组
int f[N][N]; // DP数组 : i,j区间内的最大得分
int g[N][N]; // 路径数组：i,j区间内的最大得分，是在k这个节点为根的情况下获得的

// 前序遍历输出路径
void out(int l, int r) {
    /*
    其实，最后一个可以执行的条件是l=r,也就是区间内只有一个节点
    当只有一个节点时,g[l][r] = l = r ①，此时继续按划分逻辑划分的话：
    就是： [l,g[l][r]-1],[g[l][r]+1,r] ②
    将①代入②，就是[l,l-1],[r+1,r]，很明显，当出现前面比后面还大时，递归应该结束了
    */
    if (l > r) return;

    cout << g[l][r] << " "; // 输出根结点,前序遍历
    out(l, g[l][r] - 1);    // 递归左子树
    out(g[l][r] + 1, r);    // 递归右子树
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &w[i]);

    /* DP初始化
       ① 因为左、右子树为空时，返回1，这其实也是为计算公式准备前提，按返回1计算时，无左右子树的点
      ,也就是叶子节点时，得分就是w[i]
       ② 此时，记录的辅助路径数组，g[i][i]表示的就是从i到i的区间内，根是谁，当然是i
       Q:为什么一定要记录g[i][i]=i,不记录不行吗？一个点的区间为什么也要记录根是谁呢？
       答：因为这是递归的出口，如果不记录的话，那么out输出时就会找不到出口，导致死循环，TLE或者MLE
    */
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        f[i][i] = w[i], g[i][i] = i;

    // 区间DP
    for (int len = 2; len <= n; len++)           // 单个节点组成的区间都是初值搞定了，我们只讨论两个长度的区间
        for (int l = 1; l + len - 1 <= n; l++) { // 枚举左端点
            int r = l + len - 1;                 // 计算右端点
            // 枚举根节点k, 两个区间：[l,k-1],[k+1,r],根节点k也占了一个位置
            // 注意：k是可以取到r的，原因论述见题解
            for (int k = l; k <= r; k++) {
                // 根据题意特判
                int ls = k == l ? 1 : f[l][k - 1]; // 左子树为空，返回1
                int rs = k == r ? 1 : f[k + 1][r]; // 右子树为空，返回1
                // 得分计算公式
                int t = ls * rs + w[k];
                // 记录取得最大值时的根节点k
                if (f[l][r] < t) {
                    f[l][r] = t;
                    g[l][r] = k; // 记录l~r区间的最大得分是由哪个根节点k转化而来
                }
            }
        }
    // 输出
    cout << f[1][n] << endl;

    // 利用递归，输出字典序路径
    out(1, n);

    return 0;
}