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##[$AcWing$ $902$. 最短编辑距离](https://www.acwing.com/problem/content/description/904/)
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### 一、题目描述
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给定两个字符串 $A$ 和 $B$，现在要将 $A$ 经过若干操作变为 $B$，可进行的操作有：
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1. 删除–将字符串 $A$ 中的某个字符删除。
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2. 插入–在字符串 $A$ 的某个位置插入某个字符。
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3. 替换–将字符串 $A$ 中的某个字符替换为另一个字符。
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现在请你求出，将 $A$ 变为 $B$ 至少需要进行多少次操作。
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**输入格式**
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第一行包含整数 $n$，表示字符串 $A$ 的长度。
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第二行包含一个长度为 $n$ 的字符串 $A$。
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第三行包含整数 $m$，表示字符串 $B$ 的长度。
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第四行包含一个长度为 $m$ 的字符串 B。
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字符串中均只包含大小写字母。
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**输出格式**
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输出一个整数，表示最少操作次数。
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**数据范围**
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$1≤n,m≤1000$
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**输入样例**：
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```cpp {.line-numbers}
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10
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AGTCTGACGC
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11
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AGTAAGTAGGC
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```
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**输出样例**：
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```cpp {.line-numbers}
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4
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```
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### 二、解题思路
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与$LCS$（最长公共子序列）问题的状态表示是很接近的。
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#### 状态表示
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$f[i,j]$：$a[1..i]$变成$b[1..j]$的操作步数。
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现在要求的是：两个字符串的最短编辑距离，由于我们不知道最短编辑距离是多少，就希望知道 **当前状态是从哪些状态转移过来**，前面的状态可以通过 **增加、删除、修改转移过来** 。
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#### 属性
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操作数的最小值，$min$。
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#### 状态计算
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按题意划分为删除，增加，修改,相等四种情况
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- 删除：把$a[i]$删掉之后$a[1\sim i]$和$b[1\sim j]$匹配.所以没删除之前，就有$a[1 \sim i-1]$与$b[1 \sim j]$匹配
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$$\large f[i][j]=f[i-1][j] + 1$$
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- 插入：插入之后$a[i]$与$b[j]$完全匹配，所以插入的就是$b[j]$,那填之前$a[1\sim i]$和$b[1\sim (j-1)]$匹配
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$$\large f[i][j]=f[i][j-1] + 1$$
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- 替换：把$a[i]$改成$b[j]$之后想要$a[1\sim i]$与$b[1\sim j]$匹配,那么修改这一位之前，$a[1\sim (i-1)]$应该与$b[1\sim (j-1)]$匹配
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$$\large f[i][j]=f[i-1][j-1] + 1$$
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- 相等：如果本来$a[i]$与$b[j]$这一位上就相等，那么不用改，即
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$$\large f[i][j]=f[i-1][j-1]$$
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**结论**
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$$f[i][j] = min(f[i-1][j]+1,f[i][j-1]+1,f[i-1][j-1]+(a[i] == b[j]?0:1))$$
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#### 初始化
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细节问题：初始化怎么搞
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先考虑有哪些初始化嘛
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- $f[0][i]$:如果$a$初始长度就是$0$，那么只能用插入操作让它变成$b$
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- $f[i][0]$:如果$b$的长度是$0$，那么$a$只能用删除操作让它变成$b$
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- $f[i][j]$ = $INF$ 其它初始化为$INF$
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### 二、实现代码
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 1010;
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int n, m;
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char a[N], b[N];
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int f[N][N];
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// 最短编辑距离
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int main() {
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cin >> n >> a + 1 >> m >> b + 1;
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// 初始化
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for (int i = 0; i <= m; i++) f[0][i] = i;
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for (int i = 0; i <= n; i++) f[i][0] = i;
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for (int i = 1; i <= n; i++)
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for (int j = 1; j <= m; j++) {
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// 增加和删除
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f[i][j] = min(f[i - 1][j] + 1, f[i][j - 1] + 1);
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// 修改
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if (a[i] == b[j])
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f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j - 1]);
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else // 相等
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f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + 1);
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}
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cout << f[n][m] << endl;
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return 0;
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}
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```
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