python/TangDou/AcWing/MinimalSpanningTree/1148_lca.cpp

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 100010, M = 300010;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
typedef pair<int, int> PII;
int f[N][16]; // f[i][k]表示树上的某节点i向上走2^k步到达的节点
PII d[N][16]; // d[i][k]表示树上的某节点i向上走2^k步到达的节点最长距离和次长距离
int depth[N]; // 深度数组

// Kruskal用的结构体
struct Edge {
    int a, b, c; // 从a到b边权为c
    bool flag;   // 是不是最小生成树的树边
    const bool operator<(const Edge &ed) const {
        return c < ed.c;
    }
} edge[M];

// 邻接表
int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}
// 并查集
int p[N];
int find(int x) {
    if (x == p[x]) return x;
    return p[x] = find(p[x]);
}

// 树上倍增求任意两点最短距离
int bfs(int root) {
    queue<int> q;
    q.push(root);
    depth[root] = 1;
    while (q.size()) {
        int u = q.front();
        q.pop();
        for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if (!depth[j]) {
                q.push(j);
                depth[j] = depth[u] + 1; // 记录深度

                f[j][0] = u; // 记录2^0->t,描述父节点

                // 下面是与普通的倍增不一样的代码，记录两点间最大长度与次大长度
                d[j][0] = {w[i], 0}; // j->t 的最大距离与次大距离

                for (int k = 1; k <= 15; k++) { // 倍增
                    int v = f[j][k - 1];        // 设j跳2 ^(k-1)到达的是v点
                    f[j][k] = f[v][k - 1];      // v点跳 2^(k-1)到达的终点就是j跳2^k的终点

                    // ①最大边权一定是两个线段中最长边权的最大值
                    d[j][k].first = max(d[j][k - 1].first, d[v][k - 1].first);

                    // ②次大边权分情况讨论
                    // 如果前半段的最大值 小于 后半段的最大值
                    // 次大值 等于 max(前半段最大值,后半段次大值)
                    if (d[j][k - 1].first == d[v][k - 1].first)
                        // 次大值 等于 max(前半段次大值,后半段次大值)
                        d[j][k].second = max(d[j][k - 1].second, d[v][k - 1].second);
                    // 如果前半段的最大值 等于 后半段的最大值
                    else if (d[j][k - 1].first < d[v][k - 1].first)
                        d[j][k].second = max(d[j][k - 1].first, d[v][k - 1].second);
                    // 如果前半段的最大值 大于 后半段的最大值
                    else // 次大值 等于 max(前半段次大值,后半段的最大值)
                        d[j][k].second = max(d[j][k - 1].second, d[v][k - 1].first);
                }
            }
        }
    }
}

// 因为同时需要同步修改最大值和次大值，所以采用了地址符&引用方式定义参数
//  m1:最大值，m2：次大值
void cmp(int &m1, int &m2, PII x) {
    if (m1 == x.first)
        m2 = max(m2, x.second);
    else if (m1 < x.first)
        m2 = max(m1, x.second), m1 = x.first;
    else
        m2 = max(m2, x.first);
}
// 最近公共祖先
// 由a->b的边,边权是w
// 返回值：如果加上这条边w，去掉最小生成树中的某条边(m1或m2)，得到一个待选的次小生成树
// 此时的 w- m1 或者 w-m2的值是多少。
// 具体是-m1,还是-m2，要区别对待，因为如果w=m1,就是-m2,否则就是-m1
// 利用倍增的思想，对bfs已经打好的表 d数组和f数组 进行快速查询
// 找出a->b之间的最大距离和次大距离
int lca(int a, int b, int w) {
    if (depth[a] < depth[b]) swap(a, b);  // 保证a的深度大于b的深度
    int m1 = -1e18, m2 = -1e18;           // 最大边，次大边初始化
    for (int k = 15; k >= 0; k--)         // 由小到大尝试
        if (depth[f[a][k]] >= depth[b]) { // 让a向上跳2^k步
            cmp(m1, m2, d[a][k]);         // a向上跳2^k步时，走过的路径中可能存在最大边或次大边
            a = f[a][k];                  // 标准的lca
        }

    // 当a与b不是同一个点时，此时两者必须是depth一样的情况，同时向上查询2^k，必然可以找到LCA
    if (a != b) {
        for (int k = 15; k >= 0; k--)
            if (f[a][k] != f[b][k]) {
                cmp(m1, m2, d[a][k]); // a向上跳2^k步时，走过的路径中可能存在最大边或次大边
                cmp(m1, m2, d[b][k]); // b向上跳2^k步时，走过的路径中可能存在最大边或次大边
                a = f[a][k], b = f[b][k];
            }
        // 此时a和b到lca下同一层 所以还要各跳1步=跳2^0步
        // 联想一下在普通版本LCA中的最终返回值就明白了
        // return f[a][0];
        cmp(m1, m2, d[a][0]);
        cmp(m1, m2, d[b][0]);
    }
    return w == m1 ? w - m2 : w - m1;
}
int main() {
    int n, m, a, b, c;
    scanf("%d %d", &n, &m);

    // 并查集初始化
    for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i;
    // 邻接表初始化
    memset(h, -1, sizeof h);

    // Kruskal
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        scanf("%d %d %d", &a, &b, &c);
        edge[i] = {a, b, c, false};
    }

    // 按边权排序+最小生成树
    sort(edge, edge + m);

    LL sum = 0, ans = 1e18;

    for (int i = 0; i < m; i++) {
        a = find(edge[i].a), b = find(edge[i].b), c = edge[i].c;
        if (a != b) {
            p[a] = b;

            sum += c;            // 最小生成树的边权总和
            edge[i].flag = true; // 标识为最小生成树中的边
            // 将最小生成树中的树边单独构建一个图出来
            add(edge[i].a, edge[i].b, c), add(edge[i].b, edge[i].a, c);
        }
    }

    // 倍增预处理,记录任意点向上2^k步的最大值，次大值，深度等信息，后面lca会用到
    bfs(1);

    // 用非树边去尝试替换最小生成树中的边，然后取min
    //  lca查表
    for (int i = 0; i < m; i++)
        if (!edge[i].flag) { // 枚举非树边
            a = edge[i].a, b = edge[i].b, c = edge[i].c;
            ans = min(ans, sum + lca(a, b, c));
        }
    // 输出
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}