python/TangDou/AcWing/Floyd/343.md

## [$AcWing$ $343$. 排序](https://www.acwing.com/problem/content/345/)

### 一、题目描述
给定 $n$ 个变量和 $m$ 个不等式。其中 $n$ 小于等于 $26$，变量分别用前 $n$ 的大写英文字母表示。

不等式之间具有传递性，即若 $A>B$ 且 $B>C$，则 $A>C$。

请从前往后遍历每对关系，每次遍历时判断：

* 如果能够确定全部关系且无矛盾，则结束循环，输出确定的次序；
* 如果发生矛盾，则结束循环，输出有矛盾；
* 如果循环结束时没有发生上述两种情况，则输出无定解。

**输入格式**
输入包含多组测试数据。

每组测试数据，第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$。

接下来 $m$ 行，每行包含一个不等式，不等式全部为 **小于** 关系。

当输入一行 `0 0` 时，表示输入终止。

**输出格式**
每组数据输出一个占一行的结果。

结果可能为下列三种之一：

* 如果可以确定两两之间的关系，则输出 `Sorted sequence determined after t relations: yyy...y.`,其中`t`指 **迭代次数**，`yyy...y`是指 **升序排列** 的所有变量。

* 如果有矛盾，则输出： `Inconsistency found after t relations.`，其中`t`指迭代次数。

* 如果没有矛盾，且不能确定两两之间的关系，则输出 `Sorted sequence cannot be determined.`。

**数据范围**
$2≤n≤26$，变量只可能为大写字母 $A$∼$Z$。

**输入样例$1$**：
```cpp {.line-numbers}
4 6
A<B
A<C
B<C
C<D
B<D
A<B
3 2
A<B
B<A
26 1
A<Z
0 0
```

**输出样例$1$**：
```cpp {.line-numbers}
Sorted sequence determined after 4 relations: ABCD.
Inconsistency found after 2 relations.
Sorted sequence cannot be determined.
```

**输入样例$2$**：
```cpp {.line-numbers}
6 6
A<F
B<D
C<E
F<D
D<E
E<F
0 0
```

**输出样例$2$**：
```cpp {.line-numbers}
Inconsistency found after 6 relations.
```

**输入样例$3$**：
```cpp {.line-numbers}
5 5
A<B
B<C
C<D
D<E
E<A
0 0
```

**输出样例$3$**：
```cpp {.line-numbers}
Sorted sequence determined after 4 relations: ABCDE.
```

### 二、$floyd$ 求传递闭包

**概念**
给定若干对元素和若干对二元关系，并且关系具有传递性，通过传递性推导出尽量多的元素之间关系的问题被称为 **传递闭包**。

>**解释**:比如$a < b,b < c$,就可以推导出$a < c$，如果用图形表示出这种大小关系，就是$a$到$b$有一条有向边，$b$到$c$有一条有向边，可以推出$a$可以到达$c$，找出图中各点能够到达点的集合，就 **类似** 于$floyd$算法求图中任意两点间的最短距离。

**模板**
```cpp {.line-numbers}
//传递闭包
void floyd(){
    for(int k = 0;k < n;k++)
        for(int i = 0;i < n;i++)
            for(int j = 0;j < n;j++)
                f[i][j] |= f[i][k] & f[k][j];
}
// 原始版本
/*
for (int k = 0; k < n; k++)
   for (int i = 0; i < n; i++)
       for (int j = 0; j < n; j++)
           d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
*/
```

**回到本题**

- 题目描述要求按顺序遍历二元关系，一旦前$i$个二元关系可以确定次序了就不再遍历了，即使第$i + 1$对二元关系就会出现矛盾也不去管它了。
- 题目字母只会在$A$到$Z$间，因此可以映射为$0$到$25$这$26$个元素 
- $A < B$，则$f[0][1]=1$。如果$f[0][1] = f[1][0] = 1$，推出$f[0][0] = 1$，此时$A < B$并且$B < A$发生矛盾，即$f[i][i]= 1$时表示发生矛盾。

**算法步骤**
每读取一对二元关系，就执行一遍$floyd$算法求 **传递闭包**，然后执行$check$函数判断:
* ① 如果发生矛盾终止遍历
* ② 如果次序全部被确定终止遍历
* ③ 两者都没有，继续遍历

在确定所有的次序后，需要 **输出大小关系**，需要一个$getorder$函数。

>**注意**:
终止遍历仅仅是不再针对新增的二元关系去求传递闭包，循环还是要继续的，需要读完数据才能继续读下一组数据。

下面设计$check$函数和$getorder$函数。
```cpp {.line-numbers}
// 1:可以确定两两之间的关系,2:矛盾,3:不能确定两两之间的关系
int check() {
    // 如果i<i，那么就是出现了矛盾
    for (int i = 0; i < n; i++)
        if (f[i][i]) return 2;
    // 存在还没有识别出关系的两个点i,j,还要继续读入
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < i; j++)
            if (!f[i][j] && !f[j][i]) return 3;
    return 1;
}
```

* ① $f[i][i] = 1$ 发生矛盾
* ② $f[i][j] = f[j][i] = 0$ 表示$i$与$j$之间的大小关系还没有确定下来，需要继续读取下一对二元关系
* ③ 所有的关系都确定,而且没有发生矛盾

```cpp {.line-numbers}
string getorder(){
    char s[26];
    for(int i = 0;i < n;i++){
        int cnt = 0;
        for(int j = 0;j < n;j++)  cnt += f[i][j];//有多少个数大于i
        s[n - cnt - 1] = i + 'A';                //反着才能记录下名次
    }
    return string(s,s + n);                      //用char数组构造出string返回
}
```
> **解释**：确定所有元素次序后如何判断元素`i`在第几个位置呢？`f[i][j] = 1`表示`i < j`，因此计算下`i`小于元素的个数`cnt`，就可以判定`i`是第`cnt + 1`大的元素了


#### $Code$
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
// Floyd解决传送闭包问题
using namespace std;
const int N = 27;
int n;       // n个变量
int m;       // m个不等式
int f[N][N]; // 传递闭包结果

void floyd() {
    for (int k = 0; k < n; k++)
        for (int i = 0; i < n; i++)
            for (int j = 0; j < n; j++)
                f[i][j] |= f[i][k] & f[k][j]; // i可以到达k,k可以到达j,那么i可以到达j
}
// 1:可以确定两两之间的关系,2:矛盾,3:不能确定两两之间的关系
int check() {
    // 如果i<i，那么就是出现了矛盾
    for (int i = 0; i < n; i++)
        if (f[i][i]) return 2;
    // 存在还没有识别出关系的两个点i,j,还要继续读入
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < i; j++)
            if (!f[i][j] && !f[j][i]) return 3;
    return 1;
}

string getorder() { // 升序输出所有变量
    char s[26];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int cnt = 0;
        // f[i][j] = 1表示i可以到达j (i< j)
        for (int j = 0; j < n; j++) cnt += f[i][j]; // 比i大的有多少个
        // 举个栗子：i=0,表示字符A
        // 比如比i大的有5个，共6个字符：ABCDEF
        //  n - cnt - 1 = 6-5-1 = 0,也就是A放在第一个输出的位置上, 之所以再-1，是因为下标从0开始
        s[n - cnt - 1] = i + 'A';
    }
    // 转s字符数组为字符串
    return string(s, s + n);
}
int main() {
    // n个变量,m个不等式
    // 当输入一行 0 0 时，表示输入终止
    while (scanf("%d %d", &n, &m), n && m) {
        string S;
        int k = 3;              // 3:不能确定两两之间的关系
        memset(f, 0, sizeof f); // 初始化邻接矩阵
        // m条边
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            cin >> S;
            // 已确定或者出现了矛盾,就没有必要再处理了,但是，还需要耐心的读取完毕，因为可能还有下一轮，不读入完耽误下一轮
            if (k < 3) continue;
            // 变量只可能为大写字母A~Z,映射到0~25
            int a = S[0] - 'A', b = S[2] - 'A';
            f[a][b] = 1; // 记录a<b

            // 每输入一个关系，就计算一遍传递闭包
            floyd();

            // 检查一下现在的情况，是不是已经可以判定了
            k = check();

            if (k == 2) // 出现矛盾
                printf("Inconsistency found after %d relations.\n", i);
            else if (k == 1) {           // 可以确定
                string ans = getorder(); // 输出升序排列的所有变量
                printf("Sorted sequence determined after %d relations: %s.\n", i, ans.c_str());
            }
        }
        // 所有表达式都输入了，仍然定不下来关系
        if (k == 3) printf("Sorted sequence cannot be determined.\n");
    }
    return 0;
}
```

### 三、拓扑序解法
开始想到拓扑排序，但是感觉从前往后枚举一遍会超时，然后看了蓝书$floyd$的做法实现了一遍，感觉还不如直接拓扑。

大致是:

$m$次循环，每次加入一条边到图中，再跑一遍拓扑排序

- 排序后，排序数组不为$n$个，则表示有环，矛盾，跳出循环
- 排序后，排序数组为$n$个，但是在过程中，有$2$个或以上的点在队列中，表示拓扑序并不唯一，那么此时并不能确定所有点的顺序，因此进行下一次循环
- 排序后，排序数组为$n$个，且在过程中，队列中一直只有一个，拓扑序唯一，输出结果，跳出循环

```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 30, M = N * N;

int n, m;
int a[1050], b[1050]; // a[i]<b[i]
char s[N];            // 输入的偏序关系

int in[N], ind[N];
int d[N], dl;

// 链式前向星
int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c = 0) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}

/*
拓扑序
(1) 出队列节点数量小于n,表示有环，矛盾
(2) 出队列节点数量等于n,在过程中，有2个或以上的点在队列中，表示拓扑序并不唯一，那么此时并不能确定所有点的顺序
(3) 出队列节点数量等于n,在过程中，队列中一直只有一个，拓扑序唯一
*/
int topsort() {
    queue<int> q;
    bool flag = 0;

    for (int i = 0; i < n; i++) // 枚举每个节点，入度为零的入队列
        if (in[i] == 0) q.push(i);

    while (q.size()) {
        /*
         注意：此处需要优先检查是不是有环，即使检查到某个点有多个前序节点，也并不表示它应该返回2，因为此时也可能是一个环！
         因为一旦检查是环，就不必再录入新的大小关系的，是一个截止的标识！
         总结：判断是不是拓扑序不唯一的标准是：
         ① 队列节点数量等于n
         ② 在过程中，有2个或以上的点在队列中

         如果只发现了②就着急返回拓扑序不唯一，就可能会掉入到是环的坑中！
        */
        if (q.size() > 1) flag = 1;

        int u = q.front();
        q.pop();
        d[++dl] = u; // 按出队列的顺序来记录由小到大的关系
        for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if (--in[j] == 0) q.push(j);
        }
    }
    // 有环
    if (dl < n) return 1;
    // 不确定
    if (dl == n && flag) return 2;
    // 已确定
    return 3;
}

int main() {
    // n个变量，m个不等式，也就是n 个节点，m条边
    while (~scanf("%d%d", &n, &m) && n | m) {
        // 多组测试数据，需要初始化

        //  链式前向星
        memset(h, -1, sizeof h);
        idx = 0;
        // 入度数组初始化
        memset(ind, 0, sizeof ind);

        // 输入大小关系,'A'->0,...,'Z'->25
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            scanf("%s", s);                       // 通用格式 类似于： B<C
            a[i] = s[0] - 'A', b[i] = s[2] - 'A'; // 用两个数组a[],b[]记录关系,表示a[i]<b[i]
        }

        bool flag = 1; // 是不是已经找出了全部的大于关系序列

        // 逐个讨论每个大小关系
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            dl = 0;          // 拓扑序输出数组清零
            add(a[i], b[i]); // 建图
            ind[b[i]]++;     // 记录b[i]入度

            // 因为topsort会在过程中执行--ind[j]，而此图和入度的值后面还要继续用，不能让topsort改坏了
            // 复制出来一个临时的入度数组in[]
            memcpy(in, ind, sizeof ind);

            // 每输入一个关系表达式，就topsort一次
            int res = topsort();

            // 拓扑序唯一
            if (res == 3) {
                printf("Sorted sequence determined after %d relations: ", i);
                for (int j = 1; j <= dl; j++) printf("%c", d[j] + 'A');
                puts(".");
                flag = 0;
                break;
            } else if (res == 1) { // 有环
                printf("Inconsistency found after %d relations.\n", i);
                flag = 0;
                break;
            }
        }
        // 最终还是没有发现矛盾，也没有输出唯一序，说明条件还是不够啊，顺序无法确定
        if (flag) puts("Sorted sequence cannot be determined.");
    }
    return 0;
}
```

> **注**:此题没有给出$M$的数据范围，导致我调试了半个多小时，差评$yxc$