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## 背包问题

### 一、$01$背包基础题
**[$AcWing$ $2$. $01$背包问题](https://www.acwing.com/problem/content/2/)**

**[$AcWing$ $423$. 采药](https://www.acwing.com/problem/content/425/)**

**[$AcWing$ $1024$. 装箱问题](https://www.acwing.com/problem/content/1026/)**

二维状态表示
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
const int M = 1010;

int n, m;
int w[N], v[N];
int f[N][M];

int main() {
    cin >> m >> n;

    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            f[i][j] = f[i - 1][j]; // 不选
            if (j >= v[i])
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]); // 选
        }
    printf("%d\n", f[n][m]);
    return 0;
}

```

一维状态表示
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];

int main() {
    cin >> m >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];

    // 01背包模板
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = m; j >= v[i]; j--)
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);

    printf("%d\n", f[m]);
    return 0;
}
```


### 二、二维费用$01$背包问题
**[$AcWing$ $1022$. 宠物小精灵之收服](https://www.acwing.com/problem/content/1024/)**

**[$AcWing$ $8$. 二维费用的背包问题](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/15684961.html)**

```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 110;   // 野生小精灵的数量
const int M1 = 1010; // 小智的精灵球数量
const int M2 = 510;  // 皮卡丘的体力值

int n, m1, m2;
int f[M1][M2]; // 一维：精灵球数量，二维：皮卡丘的体力值，值：抓到的小精灵数量最大值

int main() {
    cin >> m1 >> m2 >> n;
    m2--; // 留一滴血

    // 二维费用01背包
    // 降维需要将体积1、体积2倒序枚举
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int v1, v2;
        cin >> v1 >> v2;
        for (int j = m1; j >= v1; j--)
            for (int k = m2; k >= v2; k--)
                f[j][k] = max(f[j][k], f[j - v1][k - v2] + 1); // 获利就是多了一个小精灵
    }
    // 最多收服多少个小精灵[在消耗精灵球、血极限的情况下，肯定抓的是最多的，这不废话吗]
    printf("%d ", f[m1][m2]);

    // 找到满足最大价值的所有状态里，第二维费用消耗最少的
    int cost = m2;
    for (int i = 0; i <= m2; i++) // 如果一个都不收服，则体力消耗最少，消耗值为0
        if (f[m1][i] == f[m1][m2])
            cost = min(cost, i);

    // 收服最多个小精灵时皮卡丘的剩余体力值最大是多少
    printf("%d\n", m2 + 1 - cost);
    return 0;
}
```

**总结**
- $01$背包，还是背一维的形式比较好，一来代码更短，二来空间更省，倒序就完了。
- 二维费用的$01$背包，简化版本的$01$背包模板就有了用武之地，因为三维数组可能会爆内存。

### 三、$01$背包之恰好装满
**[$AcWing$ $278$. 数字组合](https://www.acwing.com/problem/content/280/)**

**二维代码**
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 110;
const int M = 10010;
int n, m;
int v;
int f[N][M];

int main() {
    cin >> n >> m;

    for (int i = 0; i <= n; i++) f[i][0] = 1; // base case

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> v;
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            // 从前i-1个物品中选择，装满j这么大的空间，假设方案数是5个
            // 那么，在前i个物品中选择，装满j这么大的空间，方案数最少也是5个
            // 如果第i个物品，可以选择，那么可能使得最终的选择方案数增加
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            // 增加多少呢？前序依赖是：f[i - 1][j - v]
            if (j >= v) f[i][j] += f[i - 1][j - v];
        }
    }
    // 输出结果
    printf("%d\n", f[n][m]);
    return 0;
}
```

**一维代码**
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 10010;

int n, m;
int v;
int f[N]; // 在前i个物品，体积是j的情况下，恰好装满的方案数

int main() {
    cin >> n >> m;

    // 体积恰好j, f[0]=1, 其余是0
    f[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> v;
        for (int j = m; j >= v; j--)
            f[j] += f[j - v];
    }
    printf("%d\n", f[m]);
    return 0;
}
```
### 四、完全背包
**[$AcWing$ $3$. 完全背包问题](https://www.acwing.com/problem/content/3/)**

**二维写法**
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int f[N][N];

int main() {
    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if (j >= v)
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v] + w);
        }
    }
    printf("%d\n", f[n][m]);
    return 0;
}
```
**一维解法**
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int f[N];

// 完全背包问题
int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for (int j = v; j <= m; j++)
            f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
    }
    printf("%d\n", f[m]);
    return 0;
}
```

### 五、完全背包之恰好装满
**[$AcWing$ $1023$. 买书](https://www.acwing.com/problem/content/1025/)**

**二维数组**
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1010;
int v[5] = {0, 10, 20, 50, 100};
int f[5][N];

int main() {
    int m;
    cin >> m;
    // 前0种物品，体积是0的情况下只有一种方案
    f[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 4; i++)
        for (int j = 0; j <= m; j++) {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if (v[i] <= j) f[i][j] += f[i][j - v[i]];
        }
    printf("%d\n", f[4][m]);
    return 0;
}
```
**一维数组**
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1010;
int v[5] = {0, 10, 20, 50, 100};
int f[N];

// 体积限制是恰好是，因此需要初始化f[0][0]为合法解1，其他位置为非法解0。
int main() {
    int m;
    cin >> m;
    // 前0种物品，体积是0的情况下只有一种方案
    f[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 4; i++)
        for (int j = v[i]; j <= m; j++)
            f[j] += f[j - v[i]];
    // 输出
    printf("%d\n", f[m]);
    return 0;
}
```
**总结**
① 完全背包的经典优化是哪个混蛋想出来的，真它娘的是个人才。
② 对比$01$背包与完全背包的代码，发现就是一正一反。
③ 完全背包求最大值与恰好装满的方案数，除了初始化不同，其它的一样。$f[i][0]=1$这样的初始化，我也服了~
④ 背包问题这样的经典代码，除了理解算法原理，会推导外，重点还是模板背诵。用模板知识解决实际问题才是考试的本质，虽然考试不一定能选拔出能力强的人才，但能选拔出做过这方面训练的人员。