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##[$AcWing$ $9$. 分组背包问题](https://www.acwing.com/problem/content/description/9/)
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### 一、题目描述
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有 $N$ 组物品和一个容量是 $V$ 的背包。
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每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。
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每件物品的体积是 $v_{ij}$，价值是 $w_{ij}$，其中 $i$ 是组号，$j$ 是组内编号。
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求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。
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输出最大价值。
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**输入格式**
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第一行有两个整数 $N，V$，用空格隔开，分别表示物品组数和背包容量。
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接下来有 $N$ 组数据：
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每组数据第一行有一个整数 $S_i$，表示第 $i$ 个物品组的物品数量；
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每组数据接下来有 $S_i$ 行，每行有两个整数 $v_{ij},w_{ij}$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 个物品组的第 $j$ 个物品的体积和价值；
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**输出格式**
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输出一个整数，表示最大价值。
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**数据范围**
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$0<N,V≤100$
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$0<S_i≤100$
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$0<v_{ij},w_{ij}≤100$
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**输入样例**
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```cpp {.line-numbers}
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3 5
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2
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1 2
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2 4
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1
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3 4
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1
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4 5
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```
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**输出样例**：
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```cpp {.line-numbers}
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8
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```
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### 二、解题思路
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直接上 **分组背包** 的 **闫氏$DP$分析法**
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<center><img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/06/21/55909_0a17f1d9d2-IMG_40E676992253-1.jpeg'></center>
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初始状态 ：$f[0][0]$
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目标状态 ：$f[N][M]$
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#### 状态表示
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$f[i][j]$ 从前 $i$ 组物品中选择且总体积不大于 $j$ 的最大价值
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#### 状态计算
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针对第 $i$ 组物品，将整个状态划分成 $s[i]+1$ 类：
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* 第$i$组物品一个都不要：$f[i][j] = f[i-1][j]$
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* 选第 $i$ 组物品的第一个物品：$f[i][j] = f[i-1][j-v[1]]+w[1]$
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* 选第 $i$ 组物品的第二个物品：$f[i][j] = f[i-1][j-v[2]]+w[2]$
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* 选第 $i$ 组物品的第 $k$ 个物品：$f[i][j] = f[i-1][j-v[k]]+w[k]$
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#### 状态转移
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$$\large f[i][j]=max(f[i][j], f[i-1][j-v[k]]+w[k])), k=0, 1, 2,...,s[i]$$
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#### 状态初始化
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$f[0][0\sim m] = 0$ 表示在选择 `0` 件物品时对于任何体积来讲，其最大价值均为 `0`
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同理，分组背包问题也是可以从二维优化到一维的。其实只需要谨记两点：
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- **当前状态需要用上层状态转移时，从大到小枚举体积**
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- **当前状态需要用本层状态转移时，从小到大枚举体积**
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<font color='red' size=4><b>总结： 每个组中可以一个也不选，选也只能选择1个
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</b></font>
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### 三、二维数组版本
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 110;
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int n, m;
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int f[N][N], v[N][N], w[N][N], s[N];
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int main() {
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cin >> n >> m;
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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cin >> s[i]; // 第i个分组中物品个数
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for (int j = 1; j <= s[i]; j++)
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cin >> v[i][j] >> w[i][j]; // 第i个分组中物品的体积和价值
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}
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for (int i = 1; i <= n; i++)
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for (int j = 0; j <= m; j++) {
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for (int k = 0; k <= s[i]; k++)
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if (j >= v[i][k])
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f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i][k]] + w[i][k]); // 枚举每一个PK一下大小
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}
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// 输出打表结果
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printf("%d", f[n][m]);
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return 0;
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}
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```
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### 四、一维数组版本
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```cpp {.line-numbers}
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|
#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 110;
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int n, m;
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int v[N][N], w[N][N], s[N];
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int f[N];
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int main() {
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cin >> n >> m;
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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cin >> s[i];
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for (int j = 1; j <= s[i]; j++)
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cin >> v[i][j] >> w[i][j];
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}
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for (int i = 1; i <= n; i++)
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for (int j = m; j >= 0; j--)
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for (int k = 1; k <= s[i]; k++)
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if (j >= v[i][k])
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|
f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);
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|
|
|
printf("%d\n", f[m]);
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return 0;
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|
}
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```
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