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##[$AcWing$ $7$. 混合背包问题](https://www.acwing.com/problem/content/7/)
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### 一、题目描述
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有 $n$ 种物品和一个 容量 为 $m$ 的背包
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物品分三类：
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1. 第一类物品只能用 $1$ 次(**$01$背包**)
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2. 第二类物品可以用无限次(**完全背包**)
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3. 第三类物品最多只能用$s_i$次(**多重背包**)
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每种体积是 $v_i$，价值是 $w_i$
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求解一个选物品的方案，是的物品 **总体积** 不超过背包的 **容量**，且 **总价值最大**
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**输入格式**
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第一行两个整数，$N，V$，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
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接下来有 $N$ 行，每行三个整数 $v_i,w_i,s_i$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 种物品的体积、价值和数量。
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$s_i=−1$ 表示第 $i$ 种物品只能用$1$次；
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$s_i=0$ 表示第 $i$ 种物品可以用无限次；
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$s_i>0$ 表示第 $i$ 种物品可以使用 $s_i$次；
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**输出格式**
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输出一个整数，表示最大价值。
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**数据范围**
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$0<N,V≤1000,0<v_i,w_i≤1000$
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$−1≤s_i≤1000$
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**输入样例**
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```cpp {.line-numbers}
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4 5
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1 2 -1
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2 4 1
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3 4 0
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4 5 2
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```
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**输出样例**：
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```cpp {.line-numbers}
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8
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```
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### 二、试题分析
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该题就是一道 **混合背包** 的裸题
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* 将$01$背包看成是数量只有$1$个的多重背包问题。
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* 完全背包也不是真正的无限个数，因为受背包容量的限制，它最多可以使用的个数是$s_i=m/v_i$个,也就转化为多重背包问题。
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* 使用多重背包问题的二进制优化统一处理即可。
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<font color='red' size=5><b>总结</b></font>
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- $01$背包是多重背包的特殊形式；
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- 完全背包在背包容量限制下，也是多重背包的特殊形式
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- 之所以它们各自有各自的状态转移方程，是因为特殊形式时的状态转移方程更简单，但本质上符合多重背包状态转移方程。
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### 闫氏DP分析法
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<center><img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/06/18/55909_0af30cf2cf-IMG_B5C67A3846AE-1.jpeg'></center>
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### 一维数组解法 <font color='red' size=4><b>【推荐】</b></font>
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 1e5 + 10;
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int n; // 物品种类
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int m; // 背包容量
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int f[N]; // dp数组
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int idx;
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struct Node {
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int v, w;
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} c[N * 12];
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int main() {
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cin >> n >> m;
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// 二进制打包
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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// 体积，价值，个数
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int v, w, s;
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cin >> v >> w >> s;
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// 根据题意做一些小的变形
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if (s == -1)
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s = 1; // 题目中s=-1表示只有1个
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else if (s == 0)
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s = m / v; // 完全背包(其实本质上就是多重背包):最多总体积/该物品体积向下取整
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// 如果是其它大于0的数字，那么是多重背包
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// 将完全背包和多重背包利用二进制优化转化为01背包
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for (int j = 1; j <= s; j *= 2) {
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c[++idx] = {j * v, j * w};
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s -= j;
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}
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// 不够下一个2^n时，独立成包
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if (s) c[++idx] = {s * v, s * w};
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}
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// 01背包
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for (int i = 1; i <= idx; i++)
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for (int j = m; j >= c[i].v; j--)
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f[j] = max(f[j], f[j - c[i].v] + c[i].w);
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// 输出
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printf("%d\n", f[m]);
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return 0;
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}
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```
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