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##[$AcWing$ $426$. 开心的金明](https://www.acwing.com/problem/content/428/)
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### 一、题目描述
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金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间他自己专用的很宽敞的房间。
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更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过 $N$ 元钱就行”。
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今天一早金明就开始做预算，但是他想买的东西太多了，肯定会超过妈妈限定的 $N$ 元。
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于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为 $5$ 等：用整数 $1$∼$5$ 表示，第 $5$ 等最重要。
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他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是整数元）。
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他希望在不超过 $N$ 元（可以等于 $N$ 元）的前提下，**使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大**。
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设第 $j$ 件物品的价格为 $v[j]$，重要度为 $w[j]$，共选中了 $k$ 件物品，编号依次为 $j_1，j_2，…，j_k$，则所求的总和为：
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$$v[j_1]×w[j_1]+v[j_2]×w[j_2]+…+v[j_k]×w[j_k]$$
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请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。
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**输入格式**
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输入文件的第 $1$ 行，为两个正整数 $N$ 和 $m$，用一个空格隔开。（其中 $N$ 表示总钱数，$m$ 为希望购买物品的个数）
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从第 $2$ 行到第 $m+1$ 行，第 $j$ 行给出了编号为 $j−1$ 的物品的基本数据，每行有 $2$ 个非负整数 $v$ 和 $p$。（其中 $v$ 表示该物品的价格，$p$ 表示该物品的重要度）
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**输出格式**
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输出文件只有一个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值（数据保证结果不超过 $10^8$）。
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**数据范围**
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$1≤N<30000,1≤m<25,0≤v≤10000,1≤p≤5$
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**输入样例**：
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```cpp {.line-numbers}
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1000 5
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800 2
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400 5
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300 5
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400 3
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200 2
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```
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**输出样例**：
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```cpp {.line-numbers}
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3900
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```
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### 二、题目分析
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将原问题做如下<font color='red'>**转化**</font>:
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**总钱数** 相当于 **背包总容量**
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**每件物品的价格** 相当于 **体积**
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每件物品的 **价格乘以重要度** 相当于 **价值**
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那么就变成了经典的$01$背包问题。
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**01背包模型**
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**状态表示$f(i,j)$**
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- **集合** 考虑前 $i$ 个物品，且当前已使用体积为$ j$ 的方案
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- **属性** 该方案的价值为最大值 $max$
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**状态转移**：
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$$\large f(i,j)=\begin{matrix}
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\left\{
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\begin{array}{lr}
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max\{f(i-1,j)\} & 不选第i个物品 \\
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max\{f(i-1,j-v_i)+w_i\} & 选第i个物品
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\end{array}
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\right.
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\end{matrix}$$
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初始状态：$f[0][0]$
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目标状态：$f[n][m]$
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**集合划分**
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<center><img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/06/10/55909_2253c174c9-IMG_BC60906447BB-1.jpeg'></center>
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#### $Code$
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 30010;
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int n, m;
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int f[N];
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int main() {
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//物品个数n
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scanf("%d %d", &m, &n); //注意一下这里输入的顺序
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// 01背包模板
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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int v, w;
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scanf("%d %d", &v, &w);
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for (int j = m; j >= v; j--)
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f[j] = max(f[j], f[j - v] + v * w);
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}
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printf("%d\n", f[m]);
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return 0;
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}
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```
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