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2 years ago
##[$AcWing$ $11$. 背包问题求方案数](https://www.acwing.com/problem/content/11/)
### 一、题目描述
有 $N$ 件物品和一个容量是 $V$ 的背包。每件物品只能使用一次。
第 $i$ 件物品的体积是 $v_i$,价值是 $w_i$。
求解将哪些物品装入背包,可使这些物品的总体积不超过背包容量,且总价值最大。
输出 **最优选法的方案数**。注意答案可能很大,请输出答案模 $10^9+7$ 的结果。
**输入格式**
第一行两个整数,$NV$,用空格隔开,分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 $N$ 行,每行两个整数 $v_i,w_i$,用空格隔开,分别表示第 $i$ 件物品的体积和价值。
**输出格式**
输出一个整数,表示 方案数 模 $10^9+7$ 的结果。
**数据范围**
$0<N,V1000$
$0<v_i,w_i1000$
**输入样例**
```cpp {.line-numbers}
4 5
1 2
2 4
3 4
4 6
```
**输出样例**
```cpp {.line-numbers}
2
```
### 二、题目解析
本题是 **背包DP** 中的经典题型 —— 【**背包DP求最优方案总数**】
$01$背包的转移方程$f[i,j] = max(f[i - 1,j],f[i - 1,j - v] + w)$
其中$g[i,j]$ 是 $f[i,j]$取最大值的**方案数**
若$f[i,j]$是从$f[i - 1,j]$转移过来的,则$g[i,j] = g[i - 1,j]$
若$f[i,j]$是从$f[i - 1,j - v] + w$转移过来的,则$g[i,j] = g[i - 1,j - v]$
若$f[i,j]$均能从$f[i - 1,j]$和$f[i - 1,j - v] + w$转移过来的,则$g[i,j] = g[i - 1,j] + g[i - 1,j - v]$
将所有的最大值所对应的 **方案数累加** 在一起,即为 **方案数总和**
#### 不超过
<font color='red' size=4><b>初始值和结果的收集,都应该从实际意义出发,根据状态表示的定义不同,进行初始化和收集答案。</b></font>
**初始值**
* 先考虑最特殊的$f[0]$,对应的二维表示就是$f[0][0]$,即:在前$0$个物品中选择,空间不超过$0$的情况下
$f[0]$:在前$0$个物品中选择,空间最大是$0$,此时最大值是$0$$g[0] = 1$,即此时方案数是$1$,什么都不能选,是唯一方案。
```cpp {.line-numbers}
f[0] = 0, g[0] = 1;
```
* 再来考虑$f[1],f[2],...f[m]$,对应的二维表示就是$f[0][1],f[0][2],f[0][3],...f[0][m]$,即:在前$0$个物品中选择,空间不超过$1,2,3,...m$的情况下
$f[1]$:在前$0$个物品中选择,空间最多是$1$,最大值是$0$,方案数是$1$
```cpp {.line-numbers}
for (int i = 1; i <= m; i++) f[i] = 0, g[i] = 1; //默认体积最大为i时方案数为1
```
**答案**
因为本身定义就是 **不超过$i$** 的体积下,所以$f[m]$就是最大值,$g[m]$就是最大值时的方案数量。
#### 恰好
* 考虑最特殊的$f[0]$,对应的二维表示就是$f[0][0]$,即:在前$0$个物品中选择,空间恰好是$0$的情况下。
$f[0]$:在前$0$个物品中选择,空间恰好是$0$,此时最大值是$0$$g[0] = 1$,即此时方案数是$1$,什么都不能选,是唯一方案。
```cpp {.line-numbers}
f[0] = 0, g[0] = 1;
```
* 再来考虑$f[1],f[2],...f[m]$,对应的二维表示就是$f[0][1],f[0][2],f[0][3],...f[0][m]$,即:在前$0$个物品中选择,空间恰好是$1,2,3,...m$的情况下。
$f[1]$:在前$0$个物品中选择,空间恰好是$1$,此时这是不可能满足条件的。最大值不存在,是不合法状态,同时,因为是预求最大,就设置成最小。$f[i]=-INF$.相应的,$g[i]=0;$
```cpp {.line-numbers}
for (int i = 1; i <= m; i++) f[i] = -INF, g[i] = 0;
```
**收集答案**
因为本身定义就是 **恰好$i$** 的体积下,而最大值,未必就一定出现在 **恰好** 体积最大时,需要 **枚举** 一下所有空间,找出最大值,并且输出最大值对应方案数的 **累加值**。
```cpp {.line-numbers}
int mx = 0, res = 0;
for (int i = 0; i <= m; i++) mx = max(mx, f[i]); //获取最大价值
for (int i = 0; i <= m; i++)
if (mx == f[i]) res = (res + g[i]) % MOD; //等于最大价值的方案都添加
printf("%d\n", res);
```
### 三、空间最多为$i$的解法
#### 二维写法
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010, MOD = 1e9 + 7;
int f[N][N], g[N][N]; // f[j]、g[j]分别表示体积最大为j时的最大价值、方案数
int main() {
int n, m;
scanf("%d %d", &n, &m);
// 初始化,两个二维表,第一列比较特殊,可以进行初始化
// f[0][0],g[0][0]
// 在前0个物品中选择空间最多为0只能什么也不选择最大值f[0][0]=0,方案数g[0][0]=1
f[0][0] = 0, g[0][0] = 1;
// f[0][1~m],g[0][1~m]
// 在前0个物品中选择空间最多为1~m,最大值肯定是0因为没的选择嘛对应的方案数也是1
for (int i = 1; i <= m; i++) f[0][i] = 0, g[0][i] = 1;
// 从第二列开始吧
for (int i = 1; i <= n; i++) { // 枚举每个物品,理解为阶段
int v, w;
scanf("%d %d", &v, &w);
for (int j = 0; j <= m; j++) { // 枚举当前阶段可能的剩余体积
int val = f[i - 1][j]; // 在没选择当前物品前的最大价值
if (j >= v) { // 如果剩余体积可以装得下第i个阶段的物品,选择与否可能会影响最大价值
if (val > f[i - 1][j - v] + w) { // 如果选择了当前物品还不如不选
f[i][j] = val; // 那还是用原来的最大价值吧
g[i][j] = g[i - 1][j]; // 个数也随着迁移吧
} else if (val == f[i - 1][j - v] + w) { // 如果一样的价值呢?那就需要累加了
f[i][j] = val;
g[i][j] = (g[i - 1][j] + g[i - 1][j - v]) % MOD;
} else { // 如果可以理新呢?
f[i][j] = f[i - 1][j - v] + w; // 更新最大值
g[i][j] = g[i - 1][j - v]; // 同步更新方案数量
}
} else { // 如果装不上,只能继承
f[i][j] = val;
g[i][j] = g[i - 1][j];
}
}
}
printf("%d\n", g[n][m]);
return 0;
}
```
#### 一维写法
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
const int MOD = 1e9 + 7;
int f[N], g[N];
int main() {
int n, m;
scanf("%d%d", &n, &m);
f[0] = 0, g[0] = 1;
for (int i = 1; i <= m; i++) f[i] = 0, g[i] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int v, w;
scanf("%d%d", &v, &w);
for (int j = m; j >= v; j--) {
int val = f[j - v] + w;
if (val > f[j]) {
f[j] = val;
g[j] = g[j - v];
} else if (val == f[j])
g[j] = (g[j] + g[j - v]) % MOD;
}
}
printf("%d", g[m]);
return 0;
}
```
### 四、空间恰好为$i$的解法
#### 一维写法
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1001;
const int MOD = 1e9 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int f[N], g[N]; // f[j]、g[j]分别表示体积恰好为j时的最大价值、方案数
int main() {
int n, m;
scanf("%d %d", &n, &m);
// 1、考虑最特殊的f[0],对应的二维表示就是f[0][0],即在前0个物品中选择空间恰好是0的情况下。
// f[0]:在前0个物品中选择空间恰好是0此时最大值是0g[0] = 1即此时方案数是1什么都不能选是唯一方案。
f[0] = 0, g[0] = 1;
// 2、再来考虑f[1],f[2],...f[m],对应的二维表示就是f[0][1],f[0][2],f[0][3],...f[0][m],即在前0个物品中选择空间恰好是1,2,3,...m的情况下。
// f[1]:在前0个物品中选择空间恰好是1此时这是不可能满足条件的。最大值不存在是不合法状态同时因为是预求最大就设置成最小。f[i]=-INF.相应的g[i]=0;
for (int i = 1; i <= m; i++) f[i] = -INF, g[i] = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int v, w;
scanf("%d %d", &v, &w);
for (int j = m; j >= v; j--) {
int s = 0;
int t = max(f[j], f[j - v] + w);
if (t == f[j])
s = (s + g[j]) % MOD; //添加不更新的方案
if (t == f[j - v] + w)
s = (s + g[j - v]) % MOD; //添加更新的方案
f[j] = t;
g[j] = s;
}
}
//由于定义的状态表示是“空间恰好是i”那么最大值的产生可不一定存储在“空间恰好是m”的状态下m及以下的各个状态都可能装着最大值
//我们遍历一次f数组找出最大值然后二次遍历f数组、g数组,累加可以获得最大值时的方案数量。
int mx = 0, res = 0;
for (int i = 0; i <= m; i++) mx = max(mx, f[i]); //获取最大价值
for (int i = 0; i <= m; i++)
if (mx == f[i]) res = (res + g[i]) % MOD; //等于最大价值的方案都添加
printf("%d\n", res);
return 0;
}
```
#### 二维写法
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MOD = 1e9 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 1010;
int f[N][N], g[N][N]; // f[j]、g[j]分别表示体积恰好为j时的最大价值、方案数
int res;
int main() {
int n, m;
scanf("%d %d", &n, &m);
// f[0][0],g[0][0]
// 在前0个物品中选择空间恰好是0最大值f[0][0]=0,g[0][0]=1;
f[0][0] = 0, g[0][0] = 1;
// f[0][1~m],g[0][1~m]
// 在前0个物品中选择空间恰好是1~m这是胡说是不可能的最大值是f[0][i]=-INF,g[0][i]=0
for (int i = 1; i <= m; i++) f[0][i] = -INF, g[0][i] = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int v, w;
scanf("%d %d", &v, &w);
for (int j = 0; j <= m; j++) {
int val = f[i - 1][j];
if (j >= v) {
if (val > f[i - 1][j - v] + w) {
f[i][j] = val;
g[i][j] = g[i - 1][j];
} else if (val == f[i - 1][j - v] + w) {
f[i][j] = val;
g[i][j] = (g[i - 1][j] + g[i - 1][j - v]) % MOD;
} else {
f[i][j] = f[i - 1][j - v] + w;
g[i][j] = g[i - 1][j - v];
}
} else {
f[i][j] = val;
g[i][j] = g[i - 1][j];
}
}
}
//由于定义的状态表示是“空间恰好是i”那么最大值的产生可不一定存储在“空间恰好是m”的状态下m及以下的各个状态都可能装着最大值
//我们遍历一次f数组找出最大值然后二次遍历f数组、g数组,累加可以获得最大值时的方案数量。
int mx = 0;
for (int i = 0; i <= m; i++) mx = max(mx, f[n][i]);
for (int i = 0; i <= m; i++)
if (f[n][i] == mx) res = (res + g[n][i]) % MOD;
printf("%d\n", res);
return 0;
}
```