python/TangDou/CSP-J/AcWingTraining/T6/455.md

## [$AcWing$ $455$. 小朋友的数字](https://www.acwing.com/problem/content/457/)

### 一、题目描述
有 $n$ 个小朋友排成一列。

**每个小朋友手上都有一个数字**，这个数字可正可负。
> **注**：$a[i]$

规定每个小朋友的 **特征值** 等于排在他前面（包括他本人）的小朋友中连续若干个（最少有一个）小朋友手上的数字之和的最大值。
> **注：$b[i]$,特征值=最大子段和**

作为这些小朋友的老师，你需要给每个小朋友一个 **分数** ，分数是这样规定的：
> **注**：$c[i]$

第一个小朋友的分数是他的特征值
> **注**：$c[1]=b[1]$

其它小朋友的分数为排在他前面的所有小朋友中（不包括他本人），小朋友分数加上其特征值的最大值。 

请计算所有小朋友分数的最大值，输出时保持最大值的符号，将其绝对值对 $p$ 取模后输出。

**输入格式**
第一行包含两个正整数 $n、p$，之间用一个空格隔开。

第二行包含 $n$ 个数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示每个小朋友手上的数字。

**输出格式**
输出只有一行，包含一个整数，表示最大分数对 $p$取模的结果。

**数据范围**
$1≤n≤10^6,1≤p≤10^9$,其他数字的绝对值均不超过$10^9$

**输入样例1** ：
```cpp {.line-numbers}
5 997
1 2 3 4 5
```
**输出样例 1**：
```cpp {.line-numbers}
21
```

**输入样例 2**：
```cpp {.line-numbers}
5 7
-1 -1 -1 -1 -1
```

**输出样例 2**：
```cpp {.line-numbers}
-1
```

### 二、前置知识
**[$AcWing$ $126$. 最大的和](https://www.cnblogs.com/littlehb/p/17744300.html)**

https://www.acwing.com/solution/content/192382/

### 三、解题思路
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1000010;
int n, p; // n个小朋友，模p
LL f[N];  // DP数组，前序最大子段和

int main() {
    cin >> n >> p; // n个小朋友，模p
    LL s = 0, mx = -1e18;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int x;
        cin >> x;
        s = max(s, 0ll) + x; // 最大子段和的套路,如果能继承父亲的财产就继承，如果父亲只有债务，就不管
        mx = max(mx, s);     // 到i为止可以获得的最大子段和
        f[i] = mx;           // 保存到dp数组f[N]中
    }

    /*
      ① 每个小朋友的特征值等于排在他前面（包括他本人）的小朋友中连续若干个
      （最少有一个）小朋友手上的数字之和的最大值。
      ② 第一个小朋友的分数是他的特征值，
      其它小朋友的分数为排在他前面的所有小朋友中（不包括他本人），小朋友分数加上其特征值的最大值。 
    */
    LL res = f[1]; // 第一个小朋友的得分目前是大王

    LL score = f[1] * 2; // 第二个小朋友的得分 = 第一个小朋友的得分+第一个小朋友的特征值

    for (int i = 2; i <= n; i++) {   // 从第二个小朋友开始，到最后一个小朋友枚举
        res = max(res, score);       // res:记录最大分数
        if (f[i] > 0) score += f[i]; // 如果最大子段和大于0，可以接在后面
    }
    printf("%lld\n", res % p); // 对p取模输出
    return 0;
}
```

上面的代码只能通过$10/12$,不能$AC$,因为会爆$long$ $long$,办法就是用$\_\_int128$

```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef __int128 LL;
const int N = 1000010;
int n, p;
LL f[N];
LL max(LL a, LL b) {
    if (a >= b) return a;
    return b;
}
int main() {
    cin >> n >> p;
    LL s = 0, mx = -1e36;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int x;
        cin >> x;
        s = max(s, 0) + x;
        mx = max(mx, s);
        f[i] = mx;
    }
    LL res = f[1], score = f[1] * 2;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        res = max(res, score);
        if (f[i] > 0) score += f[i];
    }
    printf("%lld\n", res % p);
    return 0;
}
```