python/TangDou/CSP-J/AcWingTraining/T6/424.md

## [$AcWing$ $424$. 循环](https://www.acwing.com/problem/content/426/)

### 一、题目描述
乐乐是一个聪明而又勤奋好学的孩子。

他总喜欢探求事物的规律。

一天，他突然对数的正整数次幂产生了兴趣。

众所周知，$2$ 的正整数次幂最后一位数总是不断的在重复 $2，4，8，6，2，4，8，6......$
我们说 $2$ 的正整数次幂最后一位的循环长度是 $4$（实际上 $4$ 的倍数都可以说是循环长度，但我们只考虑最小的循环长度）。

类似的，其余的数字的正整数次幂最后一位数也有类似的循环现象：

![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/{year}/{month}/{md5}.{extName}/202309250859879.png)


这时乐乐的问题就出来了：是不是只有最后一位才有这样的循环呢？对于一个整数 $n$ 的正整数次幂来说，它的后 $k$ 位是否会发生循环？如果循环的话，循环长度是多少呢？ 

**注意**： 
- 如果 $n$ 的某个正整数次幂的位数不足 $k$，那么不足的高位看做是 $0$。
- 如果循环长度是 $L$，那么说明对于任意的正整数 $a$，$n$ 的 $a$ 次幂和 $a+L$ 次幂的最后 $k$ 位都相同。

**输入格式**
输入文件只有一行，包含两个整数 $n$ 和 $k$，$n$ 和 $k$ 之间用一个空格隔开，表示要求 $n$ 的正整数次幂的最后 $k$ 位的循环长度。

**输出格式**
输出文件包括一行，这一行只包含一个整数，表示循环长度。

如果循环不存在，输出 `−1`。

**数据范围**
$1≤n≤10100,1≤k≤100$

**输入样例**：
```cpp {.line-numbers}
32 2
```

**输出样例**：
```cpp {.line-numbers}
4
```

**举栗子**：

$32^1=32    ,32^2=1024,32^3=32768,32^4=1048576$
$32^5=33554432,$

此时发现后$2$位开始循环，而循环节的长度是$4$

### 二、解题思路
一道模拟题，需要用到 **高精度乘法**。

首先，既然我们要求的是后 $k$ 位的循环节，那前面的循环节我们就不管了。

>**引理**：如果已知后 $k − 1$ 位的循环节，那么后 $k$ 位的循环节一定就是它的倍数。

开始模拟找规律，举栗子: $(8123, 4)$
>**解释**：
($8123$,$1$)指$8123$的后$1$位循环节;
($8123$,$2$)指$8123$的后$2$位循环节,
....

```cpp {.line-numbers}
8123 1

第 1 次：8123 * 8123 = 65983129
第 2 次：3129 * 8123 = 25416867
第 3 次：6867 * 8123 = 55780641
第 4 次：0641 * 8123 = 05206843
8123 ^ 4 = 4353773312630641
```
可以发现，在乘第 $4$ 次的时候，最后 $1$ 位出现了循环(数字$3$)，循环节为 $4$ ，那么最后的答案一定就是 $4$ 的倍数。

>**解释**：如果最后一位想要重复出现,最小的循环数是$4$次。

如果把乘数换一下，不再是傻傻的用$8123$去一次次乘，而是换成 $0641$ ，即 $8123^4$  的后 $4$ 位。这样乘 $1$ 次 $0641$ 就等于乘了 $4$ 次 $8123$ ，而且，乘 $0641$ 还能保证最后 $1$ 位永远是 $3$ ，因为 $8123^{4+1}$  的最后一位都是 $3$ 。

这样，我们就可以不用再去管后 $1$ 位了，而去处理后 $2$ 位。
```cpp {.line-numbers}
8123 2
第 1 次：8123 * 0641 = 05206843
第 2 次：6843 * 0641 = 04386363
第 3 次：6363 * 0641 = 04078683
第 4 次：8683 * 0641 = 05565803
第 5 次：5803 * 0641 = 03719723
0641 ^ 5 = 108215668739201
```
最后 $2$ 位的循环节是 $5$，我们再把乘数换成 $9201$。
```cpp {.line-numbers}
8123 3
第 1 次：8123 * 9201 = 74739723
第 2 次：9723 * 9201 = 89461323
第 3 次：1323 * 9201 = 12172923
第 4 次：2923 * 9201 = 26894523
第 5 次：4523 * 9201 = 41616123
9201 ^ 5 = 65943979755726446001
```

```cpp {.line-numbers}
8123 4
第 1 次：8123 * 6001 = 48746123
第 2 次：6123 * 6001 = 36744123
第 3 次：4123 * 6001 = 24742123 
第 4 次：2123 * 6001 = 12740123
第 5 次：0123 * 6001 = 00738123
```

我们继续处理完后 $3$ 位和后 $4$ 位，得出了每 $1$ 位的循环节，答案只要把它们累乘起来就可以了，即最后的答案为 $4×5×5×5=500$。

至此，我们求出了 $8123$后 $4$ 位的循环长度。

由于我们在处理的时候，已经确保了后面的数字都不变，那么我们只要考虑当前这 $1$ 位的循环节就行了，而 $1$ 位的循环节最多为 $10$ 。所以，我们处理每 $1$ 位的时候，就都只要处理 $10$ 次，如果还没出结果，那就直接输出 `-1` 并退出就行了。

因为我们每 $1$ 位最多处理 $10$ 次，每一次最多要耗费 $k^2$ 的时间，所以时间复杂度约 $O(k^3)$，妥妥地能过！

还要注意一点，最后的答案要用高精度，否则会因为超过 `long long` 的范围而答案错误。

```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 110;

int K;            // 求最后K位的循环节长度是多少
int a[N];         // 原始数组
int b[N];         // 工作数组
int cnt[N] = {1}; // 次数，也就是答案
int st[10];

// 高精乘高精,限长K,结果保存到a数组中
void mul(int a[], int b[]) {
    int c[N] = {0};             // 临时数组
    for (int i = 0; i < K; i++) // 只保留尾部K个，对应高精度数组，就是0~K-1
        for (int j = 0; j < K; j++)
            if (i + j < K) c[i + j] += a[i] * b[j]; // 防止越界，需要加上i+j<K的限制

    for (int i = 0, t = 0; i < K; i++) {
        t += c[i];     // 进位与当前位置的和
        a[i] = t % 10; // 余数保留下来
        t /= 10;       // 进位
    }
}

// 输出高精度结果
void print(int a[]) {
    int i = N - 1;
    while (i > 0 && !a[i]) i--;    // 去除前导零
    while (i >= 0) cout << a[i--]; // 逐位输出
}

int main() {
    string s;      // 这里之所以用string类型，是为了照顾高精度同学
    cin >> s >> K; // 求最后k个长度的循环节长度是多少

    // 放入高精度计算数组，注意是倒着放的,下标从0开始
    for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) a[s.size() - 1 - i] = s[i] - '0';

    for (int i = 0; i < K; i++) { // 执行K轮,从后往前，每轮固定一个尾部数字
        memset(st, 0, sizeof st); // 某个数字是不是出现过，桶
        memcpy(b, a, sizeof a);   // b数组初始化

        int j;
        for (j = 1; j <= 10; j++) { // 最多执行10次
            mul(b, a);              // 开始乘a

            // 对于高精度数组而言，头部即数字尾部
            // 随着轮次的增加，我们希望检查的位置也发生了变化，位置下标为i
            // 如果当前计算的结果中，当前的计算位置，出现与原数字一样的数字,那么就是找到了循环节,此时的j就是我们想要收集的
            if (b[i] == a[i]) break;

            // 如果某个数字重复出现，却一直没有和原始的一样，表示它自己的循环轨迹和原始的不一样，永远也不可以一样了,无解
            if (st[b[i]]) {
                puts("-1");
                exit(0);
            };
            st[b[i]] = 1; // 记录出现过的数字
        }

        // ①  累计次数
        int c[N] = {j}; // 需要乘的次数,这里有用高精度乘高精度模拟高精度乘低精度
        // 注意：即使j=10,上面的高精度乘法依然是有效的，因为在高精度乘法的内部采用的是模10进位的办法
        mul(cnt, c); // 将次数累乘起来

        // ② 变更乘数
        memcpy(b, a, sizeof a);                // 重新装载原始数字
        for (int k = 1; k < j; k++) mul(b, a); // 反复乘j-1次
        memcpy(a, b, sizeof b);                // a升级了
    }

    print(cnt); // 输出高精度数组内容
    return 0;
}
```