python/TangDou/CSP-J/AcWingTraining/T4/459.md

## [$AcWing$ $459$. 螺旋矩阵](https://www.acwing.com/problem/content/461/)


### 解题思路
这道题绝对不能开一个二维数组去一个个模拟，这样空间会爆时间也会超.
这题是一个典型的找规律题目，大家在纸上画图模拟找规律即可。

若$n=5$,如下图所示
![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/{year}/{month}/{md5}.{extName}/202309151505614.png)

一般这类问题都采用递归解决问题
#### 先思考一下问题的边界有哪些?
- $i==1$
  ```cpp {.line-numbers}
  if (i == 1) return j;
  ```
- $i==n$
  ```cpp {.line-numbers}
  if (i == n) return 3 * n - j - 1;
  // 观察最后一行，找规律：因为最后一行是通过上，右，下到达的
  // 上和右是即成事实，也就是2*n-1,而下中其实是取反：n-j,总的来说就是：
  // 3*n - j -1
  ```  
- $j==1$
  ```cpp {.line-numbers}
  if (j == 1) return 4 * n - i - 2;
  //参考上面的解释，同理推出是4*n-i-2,2就是因为第一行最后一列，最后一行最后一列是重复了2次
  ```

- $j==n$
  ```cpp {.line-numbers}
  if (j == n) return n + i - 1;
  ```
#### 再讨论一下两个轮次之间的转化关系是什么？
这里所说的轮次，就是矩阵的 **一圈**,怎么个转换法呢？
其实，我们是从外到内进搜索的，所以，在搜索内部圈时，外部圈已经完成搜索。
但由于$4$个角有重叠，所以就是$4*(n-1)$。

对于外圈边长是$n$的为例，内圈就是$n-2$,(因为上下左右都是占用了两个嘛~)

那$(i,j)$有什么变化呢？
那当然就是$(i-1,j-1)$了~

> $Q$:**为什么要选择这个的边界做为递归边界？**
> 答：因为这样好计算，能把大问题转化为小问题后，导向这些边界，获取结果。

### $Code$
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 推规律，1行j列为j，n行j列为3n-j-1，1行i列为4n-i-2，n行i列为n+i-1。
int dfs(int n, int i, int j) {
    if (i == 1) return j;
    if (i == n) return 3 * n - j - 1;
    if (j == 1) return 4 * n - i - 2;
    if (j == n) return n + i - 1;
    return dfs(n - 2, i - 1, j - 1) + (n - 1) * 4;
}

int main() {
    int n, a, b;
    cin >> n >> a >> b;
    cout << dfs(n, a, b) << endl;
    return 0;
}
```