python/TangDou/AcWing/EulerFunction/874.md

##[$AcWing$ $874.$ 筛法求欧拉函数](https://www.acwing.com/problem/content/876/)

### 一、题目描述

给定一个正整数 $n$，求 $1∼n$ 中每个数的欧拉函数之和。

**输入格式**
共一行，包含一个整数 $n$。

**输出格式**
共一行，包含一个整数，表示 $1∼n$ 中每个数的欧拉函数之和。

**数据范围**
$1≤n≤10^6$

**输入样例：**
```cpp {.line-numbers}
6
```

**输出样例：**
```cpp {.line-numbers}
12
```


### 二、线性筛法求欧拉函数

依托于线性筛法，可以顺带求出欧拉函数值。

#### ($1$) $phi[1]=1$,$φ(1)$被 **定义** 为$1$

对区间内每个数进行分情况讨论：

#### ($2$) 质数
质数$i$的欧拉函数值$phi[i]=i-1$
   比如$7$，那么$1-6$当中有多少个数与$7$互质呢？显然$6$个都是嘛。

#### ($3$) 非质数
数字$i$在被$primes[j]$尝试筛的过程中：
(设 $p_j=primes[j]$,简便下面的书写)
  
  <font color='red'>如果$i\  \% \ p_j = 0$, 那么 $phi[i * p_j] = phi[i] * p_j$</font>
  
**证明**：
  $\because$ $i={p_1}^{\alpha_1} * {p_2}^{\alpha_2} * {p_3}^{\alpha_3} * ... *{p_j}^{\alpha_j}*...*{p_k}^{\alpha_k}$           【算术基本定理】

  $phi[i]= i * (1- \frac{1}{p_1}) * (1- \frac{1}{p_2}) * (1- \frac{1}{p_3}) * ... * (1- \frac{1}{p_j}) $  【欧拉公式】

  $p_j*i$分解质数因数的结果，只比$i$多分解了一个$p_j$，而 $i \ \% \ p_j = 0$ 说明$i$中存在$p_j$因子，只不过指数增加了$1$个。

  $\therefore$ $p_j * i ={p_1}^{\alpha_1} * {p_2}^{\alpha_2} * {p_3}^{\alpha_3} * ... *{p_j}^{\alpha_j+1}*...*{p_k}^{\alpha_k}$
      通过瞪眼大法观察欧拉公式可知，<font color='red'><b>欧拉公式只与质数因子相关，而与质数因子的幂次无关！</b></font> 二者的质数因子没有变化，变化的只是某个质数因子的幂次。所以:
      $phi[p_j * i] =p_j * i * (1- \frac{1}{p_1}) * (1- \frac{1}{p_2}) * (1- \frac{1}{p_3}) * ... * (1- \frac{1}{p_j}) =  phi[i] * p_j  $ 

**证毕**
    
<font color='red'>如果$i\  \% \ p_j > 0$, 那么 $phi[i * p_j] = phi[i] * (p_j-1)$ </font>
**证明：**
$\because$ $i={p_1}^{\alpha_1} * {p_2}^{\alpha_2} * {p_3}^{\alpha_3} * ... *{p_k}^{\alpha_k} $ 【算术基本定理】
$phi[i]= i * (1- \frac{1}{p_1}) * (1- \frac{1}{p_2}) * (1- \frac{1}{p_3}) * ... * (1- \frac{1}{p_k})$【欧拉公式】
    
$p_j*i$分解质数因数的结果，只是比$i$多分解了一个$p_j$，而 $i \ \% \ p_j>0$ 说明$i$中不存在$p_j$这个因子，需要写上去。

$p_j * i ={p_1}^{\alpha_1} * {p_2}^{\alpha_2} * {p_3}^{\alpha_3} * ... * {p_k}^{\alpha_k} * {p_j}^{1} $

$\therefore phi[p_j * i]= p_j * i * (1- \frac{1}{p_1}) * (1- \frac{1}{p_2}) * (1- \frac{1}{p_3}) * ... * (1- \frac{1}{p_k}) * (1- \frac{1}{p_j}) $

$\therefore phi[p_j * i]= p_j * phi[i] * (1 - \frac{1}{p_j})  =  phi[i] * ( p_j -1) $  

**证毕**

### 三、实现代码
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define int long long
const int N = 1e6 + 10;
int primes[N];
int cnt;
int phi[N];
int st[N];
int res;

void get_eulers(int n) {
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!st[i]) {
            primes[cnt++] = i;
            phi[i] = i - 1; // ①质数
        }
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j++) {
            int t = primes[j] * i;
            st[t] = 1;
            if (i % primes[j] == 0) {
                phi[t] = phi[i] * primes[j]; // ② i%pj==0
                break;
            } else
                phi[t] = phi[i] * (primes[j] - 1); // ③i%pj>0
        }
    }
}

signed main() {
    int n;
    cin >> n;

    get_eulers(n);

    for (int i = 1; i <= n; i++) res += phi[i];

    printf("%lld\n", res);
}
```