python/TangDou/AcWing_TiGao/T5/GameTheory/1321.md

##[$AcWing$ $1321$. 取石子](https://www.acwing.com/problem/content/description/1323/)

### 一、题目描述
$Alice$ 和 $Bob$ 两个好朋友又开始玩取石子了。

游戏开始时，有 $N$ 堆石子排成一排，然后他们轮流操作（$Alice$ 先手），每次操作时从下面的规则中任选一个：

- 从某堆石子中取走一个；
- 合并任意两堆石子。

不能操作的人输。

$Alice$ 想知道，她是否能有必胜策略。

**输入格式**
第一行输入 $T$，表示数据组数。

对于每组测试数据，第一行读入 $N$；

接下来 $N$ 个正整数 $a_1,a_2,⋯,a_N$ ，表示每堆石子的数量。

**输出格式**
对于每组测试数据，输出一行。

输出 $YES$ 表示 $Alice$ 有必胜策略，输出 $NO$ 表示 $Alice$ 没有必胜策略。

**数据范围**
$1≤T≤100,1≤N≤50,1≤a_i≤1000$

**输入样例：**
```cpp {.line-numbers}
3
3
1 1 2
2
3 4
3
2 3 5
```

**输出样例：**
```cpp {.line-numbers}
YES
NO
NO
```

### 二、博弈论总结
<font size=4 color='red'><b>
 必胜态 $\Rightarrow$ 选择合适方案 $\Rightarrow$ 必败态
 必败态 $\Rightarrow$ 选择任何路线 $\Rightarrow$ 必胜态
 </b></font>

### 三、本题题解

先来考虑 **简单情况**：所有堆的石子个数 $>1$

设 $b$ = 堆数 + 石子总数 $− 1$

可以推出: **先手必胜 $\Leftrightarrow$ $b$是奇数**

**证明**：考虑以下结论：

$α$. 任意一个是奇数的情况 **可以** 被转换成一个偶数的情况 (一定存在一个偶数后继)

$β$. 任意一个是偶数的情况 **一定** 会被转换成一个奇数的情况 (所有后继都是奇数)。


先来考虑结论 $α.$
- 如果堆数 $>1$，可以合并其中两堆石子，这样 $b$ 就会变成偶数
- 如果堆数 $=1$，就可以拿掉 $1$ 个石子，这样 $b$ 也会变成偶数

再来考虑结论 $β$.
- 合并其中的两堆石子：显然，$b$ 会变成奇数
- 取了一个石子：
  (1) 取得堆中石子个数 $>2$：石子个数 $− 1$，$b$ 会变成奇数
  (2) 取得堆中石子个数 $=2$：石子个数变成了 $1$(继续分情况讨论)：
    1) 只有一堆：$b$ 是奇数，对手必胜
    2) 多于一堆：$b$ 是奇数，对手可以把剩下的一个石子放到其他的堆里面去，对手同样必胜

这样，我们成功的证明除了: **先手必胜 $\Leftrightarrow $ ($b$ 是奇数)**


接下来考虑一般情况：有些堆的石子个数可能 $=1$
假设石子个数 $=1$ 的堆数为 $a$，$b$ 仍然表示剩余石子的 **操作数**，即 (堆数 $+$ 石子总数 $− 1$)
把所有石子分成两个区域，一区域的数量 $=1$ (对应 $a$)，二区域的数量都 $>1$ (对应 $b$).

那么可以写出以下转移：

$f(a,b)$:
 
① 从 $a$中取 $1$个 $→f(a−1,b)$
② 从 $b$中取 $1$个 $→f(a,b−1)$
③ 合并 $b$中的 $2$个 $→f(a,b−1)$
④ 合并 $a$中 $2$个 ($b$堆石子数 $+2$,堆数 $+1$) $→f(a−2,b+3)$
⑤ 合并 $a$中 $1$个 $b$中 $1$个 ($b$堆石子数 $+1$, $a$个数 $−1$)$→f(a−1,b+1)$


#### $Code$
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 55, M = 50050; // M 包括了 50 * 1000 + 50个石子数量为1的堆数
int f[N][M];

int dfs(int a, int b) {
    int &v = f[a][b];
    if (~v) return v;
    // 简单情况: 即所有堆的石子个数都是严格大于1，此时a是0
    if (!a) return v = b % 2; // 奇数为先手必胜，偶数为先手必败

    // 一般5个情况 + 1个特殊情况
    
    // 特殊情况: 如果操作后出现b中只有一堆，且堆中石子个数为1
    // 那么应该归入到a中，并且b为0
    // 以下所有情况，如果能进入必败态，先手则必胜！
    if (b == 1) return dfs(a + 1, 0);

    // 情况1：有a，从a中取一个
    if (a && !dfs(a - 1, b)) return v = 1;

    // 情况2, 4：有b，从b中取1个(石子总数 - 1) or 合并b中两堆(堆数 - 1),
    if (b && !dfs(a, b - 1)) return v = 1;

    // 情况3：有a >= 2， 合并a中两个
    // 如果b的堆数不为0， a - 2,  b + 1堆 + 2个石子（只需要加delta）  ====> b + 3
    // 如果b的堆数为0， a - 2,  0 + 2个石子 + 1堆 - 1  ====> b + 2
    if (a >= 2 && !dfs(a - 2, b + (b ? 3 : 2))) return v = 1;

    // 情况5：有a，有b， 合并a中1个b中1个, a - 1, b的堆数无变化 + 1个石子（只加delta）
    if (a && b && !dfs(a - 1, b + 1)) return v = 1;

    // 其他情况，则先手处于必败状态
    return v = 0;
}

int main() {
    memset(f, -1, sizeof f);
    int T, n;
    cin >> T;
    while (T--) {
        cin >> n;
        int a = 0, b = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int x;
            cin >> x;
            if (x == 1) a++;
            // b != 0时 加1堆 + 加x石子 = 原来的 + x + 1 (其实就是区别一开始的时候)
            // 当b != 0时, 我们往后加的delta
            // b == 0时 加1堆 + 加x石子 = 0 + 1 + x - 1 = x
            // 注意操作符优先级
            else
                b += b ? x + 1 : x;
        }

        // 1 为先手必胜， 0为先手必败
        if (dfs(a, b))
            puts("YES");
        else
            puts("NO");
    }
    return 0;
}
```