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##[$AcWing$ $1013$. 机器分配](https://www.acwing.com/problem/content/1015/)
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### 一、题目描述
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总公司拥有 $M$ 台 **相同** 的高效设备，准备分给下属的 $N$ 个分公司。
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各分公司若获得这些设备，可以为国家提供一定的盈利。盈利与分配的设备数量有关。
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问：如何分配这$M$台设备才能使国家得到的盈利最大？
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求出最大盈利值。
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**分配原则**：每个公司有权获得任意数目的设备，但总台数不超过设备数 $M$。
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**输入格式**
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第一行有两个数，第一个数是分公司数 $N$，第二个数是设备台数 $M$；
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接下来是一个 $N×M$的矩阵，矩阵中的第 $i$ 行第 $j$ 列的整数表示第 $i$ 个公司分配 $j$ 台机器时的盈利。
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**输出格式**
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第一行输出最大盈利值；
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接下 $N$行，每行有 $2$ 个数，即分公司编号和该分公司获得设备台数。
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答案不唯一，输出任意合法方案即可。
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**数据范围**
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$1≤N≤10,1≤M≤15$
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**输入样例**：
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```cpp {.line-numbers}
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3 3
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30 40 50
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20 30 50
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20 25 30
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```
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**输出样例**：
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```cpp {.line-numbers}
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70
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1 1
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2 1
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3 1
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```
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### 二、题意理解
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**样例解读**：
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```cpp {.line-numbers}
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3 3
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30 40 50
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20 30 50
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20 25 30
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```
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$3$个公司，$3$台机器,**机器都是一样的，一样的，记住，一样的**,要不题意理解不明白~
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- $1$号公司
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- 得到$1$台机器，$30$元
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- 得到$2$台机器，$40$元
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- 得到$3$台机器，$50$元
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- $2$号公司
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- 得到$1$台机器，$20$元
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- 得到$2$台机器，$30$元
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- 得到$3$台机器，$50$元
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- $3$号公司
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- 得到$1$台机器，$20$元
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- 得到$2$台机器，$25$元
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- 得到$3$台机器，$30$元
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问，怎么分，使得国家的收益最大？
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**答**:$1$号公司得到$1$台机器，$2$号公司得到$1$台机器，$3$号公司得到$1$台机器，就是$30+20+20=70$,此时国家利益最大。
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### 三、不同$OJ$此题的差别
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两者差别：
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* $AcWing$：<font color='red' size=4><b>答案不唯一，输出任意合法方案即可($Special$ $Judge$)</b></font>
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* 洛谷: <font color='blue' size=4><b>$P.S.$要求答案的字典序最小</b></font>
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尽管本题是多阶段决策的最小字典序最优方案，但是背包都也类似。
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下面是卡最小字典序的数据：
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```cpp {.line-numbers}
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input
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2 15
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1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
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1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
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output
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2
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1 0
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2 15
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```
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**解决办法**
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* **$dfs$暴搜法**
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$dfs$保证找到最大答案的时候就是字典序最少的，因为我从$1$号-$n$号枚举用的多少机器，用的机器数量也是由少到多。当最后得到答案相等的情况下就不用需要比较字典序了，直接$return$，只有碰到大小不一的时候才更新答案机器数。
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* **$dp$+记录路径法**
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* 如果使用$val > f[i][j]$转移,$f[i][j]$中记录的是第一次找到的最大值，由于输出路径是 **倒序** 输出的，所以打印出来的路径是字典序最大的。
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* 如果使用$val >= f[i][j]$转移,$f[i][j]$中记录的是最后一次找到的最大值，由于输出路径是 **倒序** 输出的，所以打印出来的路径是字典序最小的。
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>**$Q$:为什么加上等号就是按字典序最小输出呢？**
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```cpp {.line-numbers}
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for (int k = 1; k <= j; k++) {
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int val = f[i - 1][j - k] + w[i][k];
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if (val >= f[i][j]) {
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f[i][j] = val;
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path[i][j] = k;
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}
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|
}
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```
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**答**： 奇妙的地方是`f[i-1][j-k]`。
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$k$的含义是当前分组中的物品个数，是由小到大的。而这里的计算式是$j-k$,这个东西在$k$前面的符号是负数，也就是$k$越小，值越大，$k$越大，值越小。按个循环逻辑，随着$k$的长大，就会枚举到更小的$j-k$,也就是枚举到更小的字典序。如果没有等号，就是$k$越来越大时，$j-k$越来越小，当价值一样时，越来越小的个数无法更新结果，反之，如果有等号，就是获取到字典序。
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### 四、分组背包
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本题乍一看很像是 **背包$DP$**，为了转换成 **背包$DP$** 问题，我们需要对里面的一些叙述做出 **等价变换**
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**每家公司** 我们可以看一个 **物品组**，又因为 **所有公司** 最终能够被分配的 **机器数量** 是固定的
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<font color='red' size=5><b>思路转换</b></font>
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<font color='blue' size=4><b>
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① 对于分给第$i$个公司的不同机器数量可以分别看作是一个物品组内的物品数量。
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② 物品$k$的含义：分给第$i$个公司$k$台机器
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③ 物品$k$的体积：因为一个机器算一个，所以体积也是$k$
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④ 物品$k$的价值：$w_{k}$
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</b></font>
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直接上 **分组背包** 的 **闫氏DP分析法**
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<center><img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/06/21/55909_0a17f1d9d2-IMG_40E676992253-1.jpeg'></center>
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初始状态 ：$f[0][0]$
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目标状态 ：$f[N][M]$
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#### 动态规划求状态转移路径
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这里我介绍一个从 **图论** 角度思考的方法
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**动态规划** 本质是在一个 **拓扑图** 内找 **最短路**
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我们可以把每个 **状态**$f[i][j]$看作一个 **点**，**状态的转移** 看作一条 **边**，把 **状态的值** 理解为 **最短路径长**
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具体如下图所示：
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对于 **点** $f[i][j]$ 来说，他的 **最短路径长** 是通过所有到他的 **边** 更新出来的
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更新 **最短路** 的 **规则** 因题而已，本题的 **更新规则** 是
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$$\large f(i,j)=max(f(i−1,j−v_i))+w_i$$
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最终，我们会把从 **初始状态**（起点）到 **目标状态** （终点）的 **最短路径长** 更新出来
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随着这个更新的过程，也就在整个 **图** 中生成了一颗 **最短路径树**
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该 **最短路径树** 上 **起点** 到 **终点** 的 **路径** 就是我们要求的 **动态规划的状态转移路径**
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如下图所示：
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那么 **动态规划求状态转移路径** 就变成了在 **拓扑图** 中找 **最短路径** 的问题了
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可以直接沿用 **最短路** 输出路径的方法就可以找出 **状态的转移**
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**二维数组写法**
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 30;
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int n, m;
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int w[N][N];
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int f[N][N];
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int path[N][N];
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//致敬墨染空大神
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void out(int i, int j) {
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if (i == 0) return; //走出界就完事了
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int k = path[i][j];
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out(i - 1, j - k); //利用递推的栈机制，后序输出，太强了~
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printf("%d %d\n", i, k);
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}
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int main() {
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scanf("%d %d", &n, &m);
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for (int i = 1; i <= n; i++)
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|
for (int j = 1; j <= m; j++)
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|
scanf("%d", &w[i][j]);
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/*1、原始版本*/
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for (int i = 1; i <= n; i++)
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for (int j = 0; j <= m; j++) {
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|
f[i][j] = f[i - 1][j];
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path[i][j] = 0;
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|
for (int k = 1; k <= j; k++) {
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int val = f[i - 1][j - k] + w[i][k];
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if (val >= f[i][j]) {
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|
f[i][j] = val;
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|
path[i][j] = k;
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|
}
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|
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|
}
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|
|
|
|
}
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|
/*2、优化一下代码*/
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|
/*
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for (int i = 1; i <= n; i++)
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for (int j = 0; j <= m; j++) {
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for (int k = 0; k <= j; k++) {
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int val = f[i - 1][j - k] + w[i][k];
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if (val >= f[i][j]) {
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|
f[i][j] = val;
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path[i][j] = k;
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}
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|
}
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}*/
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//输出最大值
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printf("%d\n", f[n][m]);
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//输出路径
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out(n, m);
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return 0;
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|
|
}
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|
|
|
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|
|
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|
```
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|
**一维数组写法**
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|
```cpp {.line-numbers}
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|
|
#include <bits/stdc++.h>
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|
using namespace std;
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const int N = 20;
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int f[N];
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int w[N];
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int path[N][N];
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//致敬墨染空大神
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void out(int i, int j) {
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if (i == 0) return; //走出界就完事了
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int k = path[i][j];
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|
out(i - 1, j - k); //利用递推的栈机制，后序输出，太强了~
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printf("%d %d\n", i, k);
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|
|
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}
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|
int main() {
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int n, m;
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scanf("%d%d", &n, &m);
|
|
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|
for (int i = 1; i <= n; i++) {
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|
for (int j = 1; j <= m; j++)
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|
scanf("%d", &w[j]);
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for (int j = m; j; j--)
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for (int k = 1; k <= j; k++) {
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|
int val = f[j - k] + w[k];
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|
|
|
|
if (val >= f[j]) {
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|
|
|
f[j] = val;
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|
//在状态转移时，记录路径
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path[i][j] = k;
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|
}
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|
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|
}
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|
|
|
|
|
}
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|
|
|
|
//输出结果
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|
|
|
printf("%d\n", f[m]);
|
|
|
|
|
|
//输出路径
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|
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|
out(n, m);
|
|
|
|
|
|
return 0;
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```
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|
|
|
|
|
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|
|
**找最短路的递归写法**
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 20;
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int n, m;
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int w[N][N];
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int f[N][N];
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int a[N], al;
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void dfs(int u, int v) {
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if (u == 0) return;
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// 寻找当前状态f[i][j]是从上述哪一个f[i-1][k]状态转移过来的
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for (int i = 0; i <= v; i++) {
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if (f[u - 1][v - i] + w[u][i] == f[u][v]) {
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a[++al] = i;
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dfs(u - 1, v - i);
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return;
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}
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}
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}
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int main() {
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// input
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cin >> n >> m;
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for (int i = 1; i <= n; i++)
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for (int j = 1; j <= m; j++)
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cin >> w[i][j];
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// dp
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for (int i = 1; i <= n; i++)
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for (int j = 1; j <= m; j++)
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for (int k = 0; k <= j; k++)
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f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k] + w[i][k]);
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cout << f[n][m] << endl;
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// find path
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dfs(n, m);
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int id = 1;
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for (int i = al; i; i--) cout << id++ << " " << a[i] << endl;
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return 0;
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}
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### 四、深度优先搜索
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数据范围比较小，$1<=N<=10,1<=M<=15$,把$m$个机器分配给$n$个公司，暴力遍历所有方案
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记录分配方案，如果能更新最优解，顺便更新一下最优解的分配方案
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 11;
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const int M = 16;
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int n;
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int m;
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int path[N], res[N];
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int w[N][M];
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int Max;
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// u:第几个公司 s:已经产生的价值 r:剩余的机器数量
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void dfs(int u, int s, int r) {
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if (u == n + 1) {
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if (s > Max) {
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Max = s;
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memcpy(res, path, sizeof path);
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}
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return;
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}
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for (int i = 0; i <= r; i++) {
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path[u] = i;
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dfs(u + 1, s + w[u][i], r - i);//给u号公司分配i个机器
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// path[u] = 0;
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//按照回溯法，此处应该写path[u]还原现场，但本题中即使不还原现场，path[u]也会被下一次循环所覆盖，所以这句可以省略掉
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}
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}
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int main() {
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scanf("%d %d", &n, &m);
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for (int i = 1; i <= n; i++)
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for (int j = 1; j <= m; j++)
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scanf("%d", &w[i][j]);
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dfs(1, 0, m);
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printf("%d\n", Max);
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//输出最优答案时的路径
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for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d %d\n", i, res[i]);
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return 0;
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}
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