python/TangDou/AcWing_TiGao/T3/MiniPath/1126.md

## [$AcWing$ $1126$. 最小花费](https://www.acwing.com/problem/content/1128/)

### 一、题目描述
在 $n$ 个人中，某些人的银行账号之间可以互相转账。

这些人之间转账的手续费各不相同。

给定这些人之间转账时需要从转账金额里扣除百分之几的手续费，请问 $A$ 最少需要多少钱使得转账后 $B$ 收到 $100$ 元。

**输入格式**
第一行输入两个正整数 $n,m$，分别表示总人数和可以互相转账的人的对数。

以下 $m$ 行每行输入三个正整数 $x,y,z$，表示标号为 $x$ 的人和标号为 $y$ 的人之间互相转账需要扣除 $z\%$ 的手续费 ( $z<100$ )。

最后一行输入两个正整数 $A,B$。

数据保证 $A$ 与 $B$ 之间可以直接或间接地转账。

**输出格式**
输出 $A$ 使得 $B$ 到账 $100$ 元最少需要的总费用。

精确到小数点后 $8$ 位。

**数据范围**
$1≤n≤2000,m≤10^5$

**输入样例**：
```cpp {.line-numbers}
3 3
1 2 1
2 3 2
1 3 3
1 3
```

**输出样例**：
```cpp {.line-numbers}
103.07153164
```

### 二、题目解析
假设初始金钱为$N$,那么如果要在最后一个人的手里得到$100$元，可得公式：
$$\large N∗(1−z_1\%)∗(1−z_2\%)∗…∗(1−z_n\%)=100$$

$\Rightarrow$ 
$$\large N=\frac{100}{(1−z_1\%)∗(1−z_2\%)∗…∗(1−z_n\%)}$$

要想$N$尽可能小，那么就要让 **分母尽可能大** ，即求$(1−z_1\%)∗(1−z_2\%)∗…∗(1−z_n\%)$的最大值。

**注意**：
|              | 最小值                                               | 最大值                   |
| ------------ | ---------------------------------------------------- | ------------------------ |
| **优先队列** | **小根堆**                                           | **大根堆**               |
| **实现**     | ` priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> q;` | `priority_queue<PDI> q;` |
更新的时候用:$d[v] = d[u] * (1 - w[i]\%)$。

### 三、$Dijkstra$
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 2010;
const int M = 2e5 + 10;

typedef pair<double, int> PDI; // 堆中数值是浮点数，注意区别

int n, m;
double dis[N];
bool st[N];

int h[N], e[M], ne[M], idx;
double w[M]; // 边权为浮点数,与一般的题目有区别
void add(int a, int b, double c) {
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}
int S, T;
void dijkstra() {
    priority_queue<PDI> q; // 大顶堆
    dis[S] = 1;
    q.push({1, S});

    while (q.size()) {
        auto t = q.top();
        q.pop();
        int u = t.second;
        if (st[u]) continue;
        st[u] = true;

        for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
            int v = e[i];
            double a = 1 - w[i];
            if (dis[v] < dis[u] * a) {
                dis[v] = dis[u] * a;
                q.push({dis[v], v});
            }
        }
    }
}

int main() {
    memset(h, -1, sizeof h);
    cin >> n >> m;

    while (m--) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        double w = c * 0.01;
        add(a, b, w), add(b, a, w);
    }

    cin >> S >> T;

    dijkstra();
    printf("%.8lf\n", 100 / dis[T]);
    return 0;
}
```