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## [$AcWing$ $340$. 通信线路](https://www.acwing.com/problem/content/342/)
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### 一、题目描述
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在郊区有 $N$ 座通信基站，$P$ 条 **双向** 电缆，第 $i$ 条电缆连接基站 $A_i$ 和 $B_i$。
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特别地，**$1$号基站是通信公司的总站** (起点)，**$N$号基站** (终点) 位于一座农场中。
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现在，农场主希望对通信线路进行升级，其中升级第 $i$ 条电缆需要花费 $L_i$
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电话公司正在举行优惠活动
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农产主可以指定一条从 $1$ 号基站到 $N$ 号基站的路径，并指定路径上不超过 $K$ 条电缆，由电话公司 **免费** 提供升级服务
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农场主只需要支付在该路径上 **剩余的电缆中**，**升级价格最贵** 的那条电缆的花费即可
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求 **至少用多少钱** 可以完成升级
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**输入格式**
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第 $1$ 行：三个整数 $N，P，K$。
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第 $2..P+1$ 行：第 $i+1$ 行包含三个整数 $A_i,B_i,L_i$。
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**输出格式**
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包含一个整数表示最少花费。
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若 $1$ 号基站与 $N$ 号基站之间不存在路径，则输出 $−1$。
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**数据范围**
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$0≤K<N≤1000,1≤P≤10000,1≤L_i≤1000000$
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**输入样例**：
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```cpp {.line-numbers}
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5 7 1
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1 2 5
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3 1 4
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2 4 8
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3 2 3
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5 2 9
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3 4 7
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4 5 6
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```
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**输出样例**：
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```cpp {.line-numbers}
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4
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```
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### 二、题目解析
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#### 理解题意
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找一条路径，边权最大的$k$条边忽略，**第$k + 1$大的边权作为该条路径的代价**，**求最小代价**
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#### 思考过程
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① 从$1$号点出发，没有路可以到达$n$点, **无解**，输出$-1$
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② 如果 **最短路径边数**（**注意：不是路径的加权和**）不超过$k$条，含义：不用花钱就可以升级线路, 输出$0$
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③ 上面 ②中给我们提出了一个新概念：**路径边数**，我们知道，如果想计算获取 **路径边数**，常见的办法是设置边权为$1$。 那是不是所有边都设置为边权为$1$呢？好像不行，因为这样的话，那人家还给你修每条路径的钱数就没用上啊，而且你也没有办法求出你的最小支出啊，此路不通。
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④ 这就很纠结啊：不设边权为$1$，无法知道路径长度；全设边权为$1$，就会丢失关键信息。只能是设置 **部分** 边权为$1$。
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⑤ 那啥样的边权为$1$,啥样的边权为$0$呢？还得用上真实的边权概念！此时，有如下猜想：
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> **如果给我$mid$元钱，我有没有办法确定这么多钱能否够完成升级一条线路呢？**
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> 这个简单，我们可以视真实边权大于$mid$的设置 **虚拟边权** 为$1$,反之设为$0$
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> 然后在这个图上用$Dijkstra$求最短路径，也就是最短路径长度：
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> - 如果最短路径的长度值大于$k$,说明$mid$小了，再调大一点
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> - 如果最短路径的长度值不大于$k$,说明$mid$大了，再调小一点
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噢，原来需要 **二分答案**
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### 三、$Code$
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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typedef pair<int, int> PII;
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const int INF = 0x3f3f3f3f;
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const int N = 1010; // 1000个点
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const int M = 20010; // 10000条，记录无向边需要两倍空间
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int idx, h[N], e[M], w[M], ne[M];
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void add(int a, int b, int c) {
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e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
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}
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int n; //点数
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int m; //边数
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bool st[N]; //记录是不是在队列中
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int k; //不超过K条电缆，由电话公司免费提供升级服务
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int dist[N]; //记录最短距离
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// u指的是我们现在选最小花费
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bool check(int x) {
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memset(st, false, sizeof st);
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memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
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priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> q;
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dist[1] = 0;
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q.push({0, 1});
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while (q.size()) {
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PII t = q.top();
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q.pop();
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int d = t.first, u = t.second;
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if (st[u]) continue;
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st[u] = true;
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for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
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int j = e[i], v = w[i] > x; //如果有边比我们现在选的这条边大，那么这条边对方案的贡献为1，反之为0
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if (dist[j] > d + v) {
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dist[j] = d + v;
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q.push({dist[j], j});
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}
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}
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}
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//如果按上面的方法计算后，n结点没有被松弛操作修改距离，则表示n不可达
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if (dist[n] == INF) {
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puts("-1"); //不可达，直接输出-1
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exit(0);
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}
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return dist[n] <= k; //如果有k+1条边比我们现在这条边大，那么这个升级方案就是不合法的，反之就合法
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}
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int main() {
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memset(h, -1, sizeof h);
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cin >> n >> m >> k;
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int a, b, c;
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for (int i = 0; i < m; i++) {
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cin >> a >> b >> c;
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add(a, b, c), add(b, a, c);
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}
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/*这里二分的是直接面对答案设问：最少花费
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依题意，最少花费其实是所有可能的路径中，第k+1条边的花费
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如果某条路径不存在k+1条边(边数小于k+1),此时花费为0
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同时，任意一条边的花费不会大于1e6
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整理一下，这里二分枚举的值其实是0 ~ 1e6*/
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int l = 0, r = 1e6;
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while (l < r) {
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int mid = (l + r) >> 1;
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if (check(mid)) // check函数的意义：如果当前花费可以满足要求，那么尝试更小的花费
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r = mid;
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else
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l = mid + 1;
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}
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printf("%d\n", l);
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return 0;
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}
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```
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