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2 years ago
https://blog.csdn.net/CUCUC1/article/details/113706736
## 最长公共上升子序列($LCIS$)
### 前置知识
#### $LCS$
$$\LARGE f[i][j]= \left\{\begin{matrix}
f[i-1][j-1]+1& i,j>0,a[i]=b[j] \\
max(f[i,j-1],f[i-1][j])& i,j>0,a[i]\neq b[j]
\end{matrix}\right.
$$
#### $LIS$
自行脑补
---
注意:
刚开始看这个问题的时候,第一反应是先求出$LCS$再求出$LCS$的$LIS$,事实上这是有问题的,我们并不能保证这么求出的$LCIS$是最长的,比如下面这个例子:
> Example
a:[7 1 5 6 4 2 7]
b:[7 1 5 4 6 7 2]
按照递归的取**最长公共子序列**,取出:
[7 1 5 6 2]
此序列的**最长上升子序列**为:
1 5 6 (len=3)
但原序列的“最长公共上升子序列”为:
1 5 6 7 (len=4)
<font color='red' size=4><b>小结:</b></font>
<font color='blue' size=4><b>证明一个假设是错的很简单,直接找一个反例就行了;证明一个假设是正确的很难,因为你要证明所有情况都是对的。</b></font>
这道题目是$AcWing$ $895$. 最长上升子序列和$AcWing$ $897$. 最长公共子序列的结合版,在状态表示和状态计算上都是融合了这两道题目的方法。
状态表示:
* `f[i][j]`代表所有`a[1 ~ i]`和`b[1 ~ j]`中以`b[j]`结尾的公共上升子序列的集合;
* `f[i][j]`的值等于该集合的子序列中长度的最大值;
状态计算(对应集合划分):
首先依据公共子序列中是否包含`a[i]`,将`f[i][j]`所代表的集合划分成两个不重不漏的子集:
* 不包含`a[i]`的子集,最大值是`f[i - 1][j]`
* 包含`a[i]`的子集,将这个子集继续划分,依据是子序列的倒数第二个元素在`b[]`中是哪个数:
* 子序列只包含`b[j]`一个数,长度是`1`
* 子序列的倒数第二个数是`b[1]`的集合,最大长度是`f[i - 1][1] + 1`
*
* 子序列的倒数第二个数是`b[j - 1]`的集合,最大长度是`f[i - 1][j - 1] + 1`
如果直接按上述思路实现,需要三重循环:
```c++
for (int i = 1; i <= n; i ++ ){
for (int j = 1; j <= n; j ++ ){
f[i][j] = f[i - 1][j];
if (a[i] == b[j]){
int maxv = 1;
for (int k = 1; k < j; k ++ )
if (a[i] > b[k])
maxv = max(maxv, f[i - 1][k] + 1);
f[i][j] = max(f[i][j], maxv);
}
}
}
```
然后我们发现每次循环求得的`maxv`是满足`a[i] > b[k]`的`f[i - 1][k] + 1`的前缀最大值。
因此可以直接将`maxv`提到第一层循环外面,减少重复计算,此时只剩下两重循环。
最终答案枚举子序列结尾取最大值即可。
时间复杂度
代码中一共两重循环,因此时间复杂度是 $O(n2)$。