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##[$I$ $Hate$ $It$](http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1754)
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### 一、题目描述
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### 二、数组的含义
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本题是 **单点修改**，**区间求极大极小值** 的 **模板题**
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* 在维护和查询区间和的算法中，$tr[x]$中储存的是$[x-lowbit(x)+1,x]$中每个数的和
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* 在求区间 **极值** 的算法中，$tr[x]$储存的是$[x-lowbit(x)+1,x]$中所有数的 **极值**
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* 求区间极值的算法中还有一个$a[i]$数组，表示第$i$个数是多少
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### 三、单点修改引发的变化
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#### 数学原理
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#### 查询最值
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设 $query(x,y)$ 求区间 $[x,y]$ 之间的最值， 已知 $c[x]$ 表示 $[x−lowbit(x)+1,x]$ 之间的最值，那如何求区间 $[x,y]$ 的最值呢？
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我们不难发现:
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如果求区间 $[1,8]$ 的最值，就需要点 $c[8]$
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如果求区间 $[1,7]$ 的最值，就需要点 $c[7],c[6],c[4]$
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如果求区间 $[2,7]$ 的最值，就需要点 $c[7],c[6],a[4],c[3],a[2]$
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如果求区间 $[2,2]$ 的最值，就需要点 $a[2]$
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如果求区间 $[2,8]$ 的最值，就需要点 $a[8],c[7],c[6],a[4],c[3],a[2]$
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所以，我们发现下面的规律，因为 $y−lowbit(y)+1$ 表示 $c[y]$ 结点所管辖范围的最左边的点
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- ① 若 $y−lowbit(y)+1>=x$, 则$query(x,y)=max(c[y],query(x,y−lowbit(y)))$;
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- ② 若 $y−lowbit(y)+1<\ \ \ x$, 则 $query(x,y)=max(a[y],query(x,y−1))$;
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- 边界 $x>y$
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```cpp {.line-numbers}
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// 对于y来讲，它所管辖的有lowbit(y)个区间。所以对于[x,y]如果y-x>=lowbit(y)，
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// 那么tr[y]可以直接拿来用。而如果lowbit(y)超出了[x,y]，那么就y--对x进行逼近
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int query(int x, int y) {
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int mx = 0;
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while (x <= y) {
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mx = max(mx, a[y]);
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for (--y; y - x >= lowbit(y); y -= lowbit(y)) mx = max(mx, tr[y]);
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}
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return mx;
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}
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```
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### $Code$
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```cpp {.line-numbers}
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#include <iostream>
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#include <algorithm>
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#include <cstdio>
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#include <cstring>
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using namespace std;
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const int N = 200010;
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int n, m; // n个数，m个操作
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int a[N]; // 原始数据
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char op[110]; // 指令字符串
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// 树状数组求最大值模板
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int tr[N];
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int lowbit(int x) {
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return x & -x;
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}
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// x这个位置，获得了一个新值c,需要更一下c和它脑袋顶上那些统计数组的信息，也就是最大值或最小值
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void update(int x, int c) {
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while (x < N) tr[x] = max(tr[x], c), x += lowbit(x);
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}
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int query(int x, int y) { // 求x~y之间的最大值
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int mx = 0;
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while (x <= y) {
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mx = max(mx, a[y]);
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// 检查是不是可以完整覆盖掉这个区域，如果是的话，可以PK一下整个完整区域的极值；
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// 否则，就逐步缩小范围继续取小区域中的极值
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for (--y; y - x >= lowbit(y); y -= lowbit(y)) mx = max(mx, tr[y]);
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}
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return mx;
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}
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/*
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答案：
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5
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6
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5
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*/
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int main() {
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#ifndef ONLINE_JUDGE
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freopen("HDU1754.in", "r", stdin);
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#endif
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// n个数，m个操作
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while (~scanf("%d %d", &n, &m)) {
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memset(tr, 0, sizeof tr); // 清空树状数组
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for (int i = 1; i <= n; i++) { // 读入n个数
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scanf("%d", &a[i]);
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update(i, a[i]); // i这个位置最大值是a[i],这里不是add,而是update
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}
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int x, y;
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while (m--) {
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scanf("%s %d %d", op, &x, &y);
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if (op[0] == 'U') { // 更新操作，要求把id为x的学生的成绩更改为y
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a[x] = y; // ①将原数组修改
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update(x, y); // ②将映射的树状数组修改,使得统计信息也相应修改完成
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} else
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printf("%d\n", query(x, y)); // 询问id从x到y(包括x,y)的学生当中，最大值是多少
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}
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}
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return 0;
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}
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```
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