python/TangDou/AcWing_TiGao/T3/MinialSpanningTree/1148.cpp

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl "\n"
const int N = 510, M = 10010;

int n, m;
// 结构体
struct Edge {
    int a, b, c;
    bool flag; // 是不是最小生成树中的边
    bool operator<(const Edge &t) const {
        return c < t.c;
    }
} edge[M];

int d1[N][N]; // 从i出发，到达j最短距离
int d2[N][N]; // 从i出发，到达j次短距离
int sum;      // 最小生成树的边权和
// 邻接表
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
void add(int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}
// 并查集
int p[N];
int find(int x) {
    if (x == p[x]) return x;
    return p[x] = find(p[x]);
}

/*
假设根为s,求出树中任意两点间的最长距离和严格次长距离。
需要配合换根进行枚举操作才会有效果。

s:出发点
u:到达了u点
fa:u的前序节点，防止走回头路
m1:这条路径上已经获取到的最长路径
m2:这条路径上已经获取到的次长路径
*/
void dfs(int s, int u, int fa, int m1, int m2) {
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) { // 枚举u的每一条出边
        int v = e[i];                   // v为u的对边节点
        if (v == fa) continue;          // 不走回头路
        int t1 = m1, t2 = m2;           // 必须要复制出来td1和td2,原因是此轮要分发多个子任务，此m1,m2是多个子任务共享的父亲传递过来的最大和次大值
        if (w[i] > t1)
            t2 = t1, t1 = w[i]; // 更新最大值、次大值
        else if (w[i] < t1 && w[i] > t2)
            t2 = w[i]; // 更新严格次大值
        // 记录从s出发点，到v节点，一路上的最长路径和严格次长路径
        d1[s][v] = t1, d2[s][v] = t2;
        // 生命不息，探索不止
        dfs(s, v, u, t1, t2);
    }
}

signed main() {
    cin >> n >> m;
    // 初始化邻接表
    memset(h, -1, sizeof h);

    // Kruskal + 建图
    for (int i = 0; i < m; i++)
        cin >> edge[i].a >> edge[i].b >> edge[i].c;

    // 按边权由小到大排序
    sort(edge, edge + m);

    // 初始化并查集
    for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i;

    // Kruskal求最小生成树
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int a = edge[i].a, b = edge[i].b, c = edge[i].c;
        int pa = find(a), pb = find(b);
        if (pa != pb) {
            p[pa] = pb; // 并查集合并
            // ①最小生成树的边权和
            sum += c;
            // ②最小生成树建图,无向图,为求最小生成树中任意两点间的路径中最大距离、次大距离做准备
            add(a, b, c), add(b, a, c);
            // ③标识此边为最小生成树中的边,后面需要枚举每条不在最小生成树中的边
            edge[i].flag = 1;
        }
    }

    // d1[i][j]和d2[i][j]
    // 换根，以每个点为根，进行dfs,可以理解为枚举了每一种情况，肯定可以获取到任意两点间的最长路径和严格次长路径
    for (int i = 1; i <= n; i++) dfs(i, i, 0, -1e18, -1e18);

    int res = 1e18; // 预求最小，先设最大
    // 枚举所有不在最小生成树中的边,尝试加入a->b的这条直边
    for (int i = 0; i < m; i++)
        if (!edge[i].flag) {
            int a = edge[i].a, b = edge[i].b, c = edge[i].c;
            if (c > d1[a][b])                       // 最小生成树外的一条边，(a->b),如果比最小生成树中a->b的最长边长，就有机会参加评选次小生成树。
                                                    // 最终的选举结果取决于它增加的长度是不是最少的
                res = min(res, sum + c - d1[a][b]); // 替换最大边
            else if (c > d2[a][b])                  // 替换严格次大边
                res = min(res, sum + c - d2[a][b]); // 严格次小生成树的边权和
        }

    // 输出
    printf("%lld\n", res);
}