python/TangDou/AcWing/SegmentTree/1275.md

##[$AcWing$ $1275$. 最大数](https://www.acwing.com/problem/content/1277/)

### 一、题目描述

给定一个正整数数列 $a_1,a_2,…,a_n$，每一个数都在 $0∼p−1$ 之间。

可以对这列数进行两种操作：

添加操作：向序列后添加一个数，序列长度变成 $n+1$；
询问操作：询问这个序列中最后 $L$ 个数中最大的数是多少。

程序运行的最开始，整数序列为空。

一共要对整数序列进行 $m$ 次操作。

写一个程序，读入操作的序列，并输出询问操作的答案。

**输入格式**
第一行有两个正整数 $m,p$，意义如题目描述；

接下来 $m$ 行，每一行表示一个操作。

如果该行的内容是 $Q$ $L$，则表示这个操作是询问序列中最后 $L$ 个数的最大数是多少；

如果是 $A$ $t$，则表示向序列后面加一个数，加入的数是 $(t+a)$ $mod$ $p$。其中，$t$ 是输入的参数，$a$ 是在这个添加操作之前最后一个询问操作的答案（如果之前没有询问操作，则 $a=0$）。

第一个操作一定是添加操作。对于询问操作，$L>0$ 且不超过当前序列的长度。

**输出格式**
对于每一个询问操作，输出一行。该行只有一个数，即序列中最后 $L$ 个数的最大数。

**数据范围**
$1≤m≤2×10^5,1≤p≤2×10^9,0≤t<p$

**输入样例**：
```cpp {.line-numbers}
10 100
A 97
Q 1
Q 1
A 17
Q 2
A 63
Q 1
Q 1
Q 3
A 99
```

**输出样例**：
```cpp {.line-numbers}
97
97
97
60
60
97
```

**样例解释**
最后的序列是 $97,14,60,96$。



### 二、树状数组解法

运行时间：	$246$ $ms$
![](https://dsideal.obs.cn-north-1.myhuaweicloud.com/HuangHai/BlogImages/{year}/{month}/{md5}.{extName}/202308181117260.png)
**重点**: **因为每次询问的区间是最后几个数字，而树状数组可以快速求前缀，所以不妨倒着存储数据**。

**为了减少时间复杂度，要提前预留$m$个坑位，第一个数存放到$m$，第二个数存放到$m-1$，以此类推**。

```cpp {.line-numbers}
#include <iostream>
#include <cstdio>
typedef long long LL;
using namespace std;
const int N = 2e5 + 10;
int tr[N];

int m, p;

#define lowbit(x) (x & -x)
void add(int n, int x) {
    for (int i = n; i <= m; i += lowbit(i)) tr[i] = max(tr[i], x);
}
int query(int n) {
    int ret = 0;
    for (int i = n; i; i -= lowbit(i)) ret = max(ret, tr[i]);
    return ret;
}

int main() {
    //加快读入
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    cin >> m >> p;
    int last = 0;
    int j = m;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        LL x;
        char c;
        cin >> c >> x;
        if (c == 'A')
            add(j--, (x + last) % p);
        else {
            last = query(j + x);
            printf("%d\n", last);
        }
    }
    return 0;
}
```

### 三、线段树求最大值模板代码
运行时间：$646$ $ms$

```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 200010;
int m; // m个操作
int p; // mod p

// 线段树求最大值模板
#define ls (u << 1)
#define rs (u << 1 | 1)
#define mid ((l + r) >> 1)
struct Node {
    int l, r, len;
    int v;
} tr[N << 2];

void pushup(int u) {
    tr[u].v = max(tr[ls].v, tr[rs].v);
}

void build(int u, int l, int r) {
    tr[u].l = l, tr[u].r = r;
    if (l == r) return;
    build(ls, l, mid), build(rs, mid + 1, r);
}

int query(int u, int L, int R) {
    int l = tr[u].l, r = tr[u].r;
    if (l >= L && r <= R) return tr[u].v;
    if (l > R || r < L) return 0;
    return max(query(ls, L, R), query(rs, L, R));
}

void modify(int u, int x, int v) {
    int l = tr[u].l, r = tr[u].r;
    if (l == r) {
        tr[u].v = v;
        return;
    }
    if (x <= mid)
        modify(u << 1, x, v);
    else
        modify(u << 1 | 1, x, v);
    pushup(u);
}

int n, last;

int main() {
    // 加快读入
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    cin >> m >> p;

    // 单点修改，求区间最大值

    // ① 初始化线段树,最多m次操作，最多m个数，区间范围[1, m]
    build(1, 1, m);

    int x;
    char op;
    while (m--) {
        cin >> op >> x;
        if (op == 'A') {
            // 对于节点++n进行修改,值=(最后一次的last查询值 + x )%p
            modify(1, ++n, ((LL)last + x) % p);
        } else {
            // u = 1:从根节点开始查询
            // 查询序列中最后x个数的最大数: 查询[n - x + 1, n]内的最大值
            last = query(1, n - x + 1, n);
            printf("%d\n", last);
        }
    }
    return 0;
}
```


### 四、$ST$表解法

大部分大佬用的是线段树（我第一次也用的线段树）
现在发现用$st$超级容易
每次插入只需要修改与最后一个点有关的值即可
典型的空间换时间;
线段树空间复杂度$O(4N)$,查询插入都是$O(logN)$,不过时间里面还有许多浪费的成分
$st$空间复杂度$O(NlogN)$,查询$O(1)$,插入$O(logN)$,比线段树快至少一半

由于$st$表还没有复习到，这里先不深入研究$st$表的解法，后面第三刷时再来仔细研究：

```cpp {.line-numbers}
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2e5+10,M=log2(N)+10;
int f[N][M];
int query(int l,int r){
    int k=log2(r-l+1);
    return max(f[l][k],f[r-(1<<k)+1][k]);
}
int n;
int insert(int a){
    f[++n][0]=a;
    for(int i=1;1<<i<=n;i++)
        f[n-(1<<i)+1][i]=max(f[n-(1<<i)+1][i-1],f[n-(1<<i-1)+1][i-1]);
}
int q,p,a;
char op[2];
int x;
int main(){
    scanf("%d%d",&q,&p);
    for(;q--;){
        scanf("%s%d",op,&x);
        if(op[0]=='A')
            insert((ll(x)+a)%p);
        else{
            printf("%d\n",a=query(n-x+1,n));
        }
    }
    return 0;
}

```