python/TangDou/AcWing/JianZhi/168.cpp

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 22;
int n;          // 待制作的蛋糕的体积为
int m;          // 蛋糕的层数为 m
int ans = INF;  // 最小表面积,预求最小，先设最大
int mins[N];    // 每一层的最小表面积
int minv[N];    // 每一层的最小体积
int R[N], H[N]; // 为每一层蛋糕分配的半径和高度

// u:正在研究第几层
// v:已经使用了的体积
// s:已经使用了的表面积
void dfs(int u, int v, int s) {
    // 如果来到第u层，发现，已经使用过的体积v,加上第1~u层最小体积minv[u] ,大于整体的体积n，就不用再继续了
    if (v + minv[u] > n) return;

    // 如果来到第u层，发现，已经使用过的表面各s,加上第u层及以上所有层需要的表面积mins[u]
    // 大于当前最优解了，就不用再继续研究了，还不如最优解，再研究也是白扯
    if (s + mins[u] >= ans) return;

    // 第二个最优性剪枝,侧面积和体积不是孤立存在的，是有关联关系的。
    // 不符合这个关联关系的Ri和Hi是没有必要继续的
    if (2 * (n - v) / R[u + 1] + s >= ans) return;

    // 摆完所有层蛋糕
    if (u == 0) {
        // 如果已经使用的体积等于n，如果是，那么更新答案
        if (v == n) ans = s;
        return;
    }
    // 枚举每一个可能的半径,同理，半径由大到小
    for (int r = min(R[u + 1] - 1, (int)sqrt((n - v) / u)); r >= u; r--)
        for (int h = min(H[u + 1] - 1, (n - v) / r / r); h >= u; h--) {
            // 如果是第m层，需要加上一个底面积，其它层就只计算侧面积
            int t = (u == m ? r * r : 0);
            // 记录下第u层的选择,半径：r,高度：h
            R[u] = r, H[u] = h; // 因为静态数组可以重复按索引写入，所以不需要回溯
            // 递归上一层,体积变为v+r*r*h,表面积由s变大为 s + 2 * r * h + t
            dfs(u - 1, v + r * r * h, s + 2 * r * h + t);
        }
}
int main() {
    cin >> n >> m;
    // 预处理
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        // 第i层，半径最小是i,高度最小是i,否则更小层无法获得整数解
        // 预处理出每层及上边所有层的最小表面积,看清楚这是一个叠加的关系，不是简单的计算,是递推式
        mins[i] = mins[i - 1] + 2 * i * i;
        // 预处理出每层及上边所有层的最小体积
        minv[i] = minv[i - 1] + i * i * i;
    }
    // 初始化为无穷大,防止在计算下层半径高度时取到0
    R[m + 1] = H[m + 1] = INF;

    // 从下向上进行深搜，按经验来看，这样能减少出发时的分枝数量，效率提升
    // 从m层出发，此时的体积为0，此时的表面积为0
    dfs(m, 0, 0);

    // 输出答案
    if (ans == INF)
        puts("0");
    else
        printf("%d\n", ans);
    return 0;
}