python/TangDou/AcWing/Heap/838.md

##[$AcWing$ $838$. 堆排序](https://www.acwing.com/problem/content/840/)

### 一、题目描述
输入一个长度为 $n$ 的整数数列，从小到大输出前 $m$ 小的数。

**输入格式**
第一行包含整数 $n$ 和 $m$。

第二行包含 $n$ 个整数，表示整数数列。

**输出格式**
共一行，包含 $m$ 个整数，表示整数数列中前 $m$ 小的数。

**数据范围**
$1≤m≤n≤10^5$
，
$1≤数列中元素≤10^9$

**输入样例：**
```cpp {.line-numbers}
5 3
4 5 1 3 2
```

**输出样例：**
```cpp {.line-numbers}
1 2 3
```


### 二、堆的数据结构
 
**堆是一个完全二叉树**:除了最后一层结点以外，上面的每一层都是满的。最后一层的结点是从左到右排布的。

![](https://img2020.cnblogs.com/blog/8562/202110/8562-20211013155723355-1612468409.png)

 **小根堆**：每一个点都是小于左右儿子的,所以根节点就是树中最小值.或者叫**小顶堆**。(**递归定义**)

 **存储方式**：全新的存储方式，用**一维数组**来存。因为是完全二叉树，所有数据的下标是有规则可以找到的。

 位置$x$,  左儿子$2x$ , 右儿子$2x+1$

下标是从$1$开始的，从$0$开始不方便，因为$2x$还是自己没法玩。


### 三、堆操作的基本方法
* $down(x)$     往下调整
比如现在堆已经维护好了，我们要把头结点的值
```c++
	        1
            3       4	                               
          3   5   4   5
```
假设把头结点值换一下，换成6，
```c++
                   6
               3       4	                               
             3   5   4   5
```
现在就不是一个小顶堆了，因为$6$不比$3，4$小啊，所以需要对$6$进行调整，向下移动。

在$3，4，6$中找到一个最小值，然后交换$3，6$  （$down$操作时，如果当前结点大于左右儿子，与左右儿子中小的进行交换）
```c++
                3
           6         4	                               
        3     5   4     5
```
然后继续在$6,3,5$中找最小值，继续交换$3,6$
```c++
               3
           3        4	                               
        6    5   4     5
```
$OK$,移动完毕！


* $up(x)$    往上调整
  比如现在堆已经维护好了，我们把$5$修改为$2$
```c++
          3
      3        4	                               
   3    5   4     2
```
就需要找出$4,2$ ，交换$4,2$ （与父结点对比，如果比父结点小，则交换自己与父结点）
```c++
        3
    3       2	                               
 3    5   4   4
```
继续查询$3，2$，发现在$2<3$,继续交换
```c++
         2
     3        3	                               
  3    5    4   4
```
不再交换，$OK$，移动完毕。

### 四、手写一个堆（小根堆）

#### 1、插入一个数
```cpp {.line-numbers}
    heap[++sz]=x; //在一维数组最后一个位置填充x
    up(sz);       //将最后一个元素不断上移
```

####  2、求最小值
```cpp {.line-numbers}
    heap[1]
```

####  3、删除最小值
```cpp {.line-numbers}
    heap[1]=heap[sz--]; //就是把尾部最后一个元素替换掉头元素，然后sz--
    down(1);            //然后再down(1)就行了
```

#### 4、删除任意一个元素
```cpp {.line-numbers}
    heap[k]=heap[sz--];
    down(k);
    up(k);   //其实只能执行一个，因为大了向下走。小了向上走嘛
```

#### 5、修改任意一个元素
```cpp {.line-numbers}
    heap[k]=x;
    down(k);
    up(k);
```

两个基本操作,这两个操作结合起来就能完成上面五个操作。
$down(x)$   ---> 向下调整
$up(x)$     ---> 向上调整


### 五、如何高效创建堆


![](https://img2022.cnblogs.com/blog/8562/202202/8562-20220212200249491-486294802.png)


### 六、完整代码
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int n, m;
int sz;
int heap[N];
void down(int u) {
    int t = u;
    if (u * 2 <= sz && heap[u * 2] < heap[t])t = u * 2;
    if (u * 2 + 1 <= sz && heap[u * 2 + 1] < heap[t])t = u * 2 + 1;
    if (u != t) {
        swap(heap[u], heap[t]);
        down(t);
    }
}
void up(int u) {
    while (u / 2 && heap[u / 2] > heap[u]) {
        swap(heap[u / 2], heap[u]);
        u /= 2;
    }
}
int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> heap[i];

    sz = n;
    for (int i = n / 2; i >= 1; i--) down(i);

    while (m--) {
        printf("%d ", heap[1]);
        heap[1] = heap[sz--];
        down(1);
    }
    return 0;
}
```