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## [$AcWing$ $854$. $floyd$ 求最短路](https://www.acwing.com/problem/content/description/856/)
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### 一、题目描述
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给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。
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再给定 $k$ 个询问，每个询问包含两个整数 $x$ 和 $y$，表示查询从点 $x$ 到点 $y$的最短距离，如果路径不存在，则输出 `impossible`。
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数据保证图中不存在负权回路。
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**输入格式**
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第一行包含三个整数 $n,m,k$。
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接下来 $m$ 行，每行包含三个整数 $x,y,z$，表示存在一条从点 $x$ 到点 $y$ 的有向边，边长为 $z$。
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接下来 $k$ 行，每行包含两个整数 $x,y$，表示询问点 $x$ 到点 $y$ 的最短距离。
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**输出格式**
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共 $k$ 行，每行输出一个整数，表示询问的结果，若询问两点间不存在路径，则输出 `impossible`。
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**数据范围**
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$1≤n≤200,1≤k≤n^2,1≤m≤20000$,
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图中涉及边长绝对值均不超过 $10000$。
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**输入样例：**
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```cpp {.line-numbers}
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3 3 2
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1 2 1
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2 3 2
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1 3 1
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2 1
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1 3
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```
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**输出样例：**
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```cpp {.line-numbers}
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impossible
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1
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```
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### 二、理解和感悟
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1. $Floyd$可以求**多源最短路径**，这是其它算法做不到的。
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2. $Floyd$**可以处理负权边，但不能处理负权回路**。
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3. 核心就是初始化+三重循环，注意顺序是$k-i-j$，不能反了！$Floyd$是有**动态规划**思想的算法。
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**原理解析**：
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$f[k][i][j]$表示$i$和$j$之间可以通过编号为$1..k$的节点的最短路径
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初值$f[0][i][j]$为原图的邻接矩阵
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* $i$到$j$不经过$k$这个节点: $f[k][i][j]$可以从$f[k-1][i][j]$转移
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* $i$到$j$经过$k$这个节点: 从$f[k-1][i][k]+f[k-1][k][j]$转移
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即$f[k][i][j]=min(f[k-1][i][j],f[k-1][i][k]+f[k-1][k][j])$
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**然后你就会发现最外层一维空间可以省略，因为$f[k]$只$f[k-1]$与有关。**
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**总结**：
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一句话，$Floyd$算法的本质是$DP$，而$k$**是$DP$的阶段，因此要写最外面**。
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### 三、实现代码
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```cpp {.line-numbers}
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#include <bits/stdc++.h>
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using namespace std;
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const int N = 210;
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const int INF = 0x3f3f3f3f;
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int n, m, k;
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int d[N][N];
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// 算法结束后，d[a][b]表示a到b的最短距离
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void floyd() {
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for (int k = 1; k <= n; k++)
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for (int i = 1; i <= n; i++)
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for (int j = 1; j <= n; j++)
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d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
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}
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int main() {
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cin >> n >> m >> k;
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// floyd初始化
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memset(d, 0x3f, sizeof d); // 任意两点间距离正无穷
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for (int i = 0; i < N; i++) d[i][i] = 0; // 自己和自己是距离为0的
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// 读入数据
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while (m--) {
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int a, b, c;
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cin >> a >> b >> c;
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d[a][b] = min(d[a][b], c); // 保留最短边.(可能有重边，保留最短边)
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}
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// 调用floyd
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floyd();
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// 处理所有询问
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while (k--) {
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int a, b;
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cin >> a >> b;
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// 由于有负权边存在所以约大过INF/2也很合理
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if (d[a][b] > INF / 2)
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puts("impossible");
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else
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printf("%d\n", d[a][b]);
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}
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return 0;
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}
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```
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