python/TangDou/AcWing/BeiBao/7.md

##[$AcWing$ $7$. 混合背包问题](https://www.acwing.com/problem/content/7/)


### 一、题目描述
有 $n$ 种物品和一个 容量 为 $m$ 的背包

物品分三类：

1. 第一类物品只能用 $1$ 次(**$01$背包**)
2. 第二类物品可以用无限次(**完全背包**)
3. 第三类物品最多只能用$s_i$次(**多重背包**)

每种体积是 $v_i$，价值是 $w_i$
求解一个选物品的方案，是的物品 **总体积** 不超过背包的 **容量**，且 **总价值最大**

**输入格式**
第一行两个整数，$N，V$，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 $N$ 行，每行三个整数 $v_i,w_i,s_i$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 种物品的体积、价值和数量。

$s_i=−1$ 表示第 $i$ 种物品只能用$1$次；

$s_i=0$ 表示第 $i$ 种物品可以用无限次；

$s_i>0$ 表示第 $i$ 种物品可以使用 $s_i$次；

**输出格式**
输出一个整数，表示最大价值。

**数据范围**
$0<N,V≤1000,0<v_i,w_i≤1000$
$−1≤s_i≤1000$

**输入样例**
```cpp {.line-numbers}
4 5
1 2 -1
2 4 1
3 4 0
4 5 2
```

**输出样例**：
```cpp {.line-numbers}
8
```

### 二、试题分析

该题就是一道 **混合背包** 的裸题

* ① 将$01$背包看成是数量只有$1$个的多重背包问题
* ② 完全背包也不是真正的无限个数，因为受背包容量的限制，它最多可以使用的个数是$s_i=m/v_i$个,也就转化为多重背包问题

使用多重背包问题的二进制优化统一处理即可


### 闫氏$ DP$分析法
<center><img src='https://cdn.acwing.com/media/article/image/2021/06/18/55909_0af30cf2cf-IMG_B5C67A3846AE-1.jpeg'></center>

### 一维数组解法 <font color='red' size=4><b>【推荐】</b></font>
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int n;    // 物品种类
int m;    // 背包容量
int f[N]; // dp数组
int idx;

struct Node {
    int v, w;
} c[N * 31];

int main() {
    cin >> n >> m;

    // 二进制打包
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        // 体积，价值，个数
        int v, w, s;
        cin >> v >> w >> s;

        // 根据题意做一些小的变形
        if (s == -1)
            s = 1; // 题目中s=-1表示只有1个
        else if (s == 0)
            s = m / v; // 完全背包(其实本质上就是多重背包):最多总体积/该物品体积向下取整
        // 如果是其它大于0的数字，那么是多重背包

        // 将完全背包和多重背包利用二进制优化转化为01背包
        for (int j = 1; j <= s; j *= 2) {
            c[++idx] = {j * v, j * w};
            s -= j;
        }
        // 不够下一个2^n时，独立成包
        if (s) c[++idx] = {s * v, s * w};
    }
    // 01背包
    for (int i = 1; i <= idx; i++)
        for (int j = m; j >= c[i].v; j--)
            f[j] = max(f[j], f[j - c[i].v] + c[i].w);
    // 输出
    printf("%d\n", f[m]);
    return 0;
}

```