python/TangDou/AcWing/BIT/POJ2155.md

##[$POJ$ $2155$ $Matrix$](http://poj.org/problem?id=2155)


### 一、题意描述
楼教主出的题，是二维树状数组非常好的题，还结合了开关问题(开关变化的次数如果为偶数，状态不变，奇数状态相反）。

题意就是给了一个二维的坐标平面，**每个点初始值都是$0$**，然后给一个矩形的区域，对该区域的点的状态进行**反转**。然后在中间插有查询，查该点的状态。

　其实，还是对反转次数的一个研究，这里为了能快速的查找一个点的反转次数，加上又是二维，且有区间修改，所以选择二维树状数组进行处理，整个二维数组记录 **前缀和$sum$** 的就是反转的次数。

　每反转一次，就对整个矩形区间进行修改，反转次数加$1$，最终查询的时候就是查一共反转了多少次，记得取余$2$，如果是偶数，就不变，是奇数，就变$1$。

### 二、一维数组实现
```cpp {.line-numbers}
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 11;

int a[N] = {0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0};

//树状数组模板
int tr[N];
#define lowbit(x) (x & -x)
void add(int x, int c) {
    for (int i = x; i <= N; i += lowbit(i)) tr[i] += c;
}
int sum(int x) {
    int res = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
    return res;
}

void print() {
    for (int i = 1; i < N; i++)
        cout << sum(i) % 2 << " ";
    cout << "\n";
}

int main() {
    //记录基数组到树状数组中
    for (int i = 1; i < N; i++) add(i, a[i]);

    // 将2-4取反
    add(2, 1), add(4 + 1, -1);
    print();

    //将2-4再取一次反
    add(2, 1), add(4 + 1, -1);
    print();

    //将3-4再取一次反
    add(3, 1), add(4 + 1, -1);
    print();

    return 0;
}
/*
输出:
1 0 0 0 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1 1 1 1 1
*/
```

拓展到二维就涉及了一下容斥原理，先看一下下图。
<center><img src='https://ask.qcloudimg.com/http-save/yehe-2579985/4lxr4xqj4r.png?imageView2/2/w/1620'></center>

注意处理二维树状数组区间更新的时候，假设给的矩形对角线的点为$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$。那么更新的时候是:
$$\large add(x_1,y_1,v)+add(x_1,y_2+1,-v)+add(x_2,y_1,-v)+add(x_2+1,y_2+1,v)$$

### 三、二维代码
```cpp {.line-numbers}
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
const int N = 1010;
using namespace std;

int n, m;
string str;
int c[N][N];

#define lowbit(x) (x & -x)
void add(int x, int y, int v) {
    for (int i = x; i < N; i += lowbit(i))
        for (int j = y; j < N; j += lowbit(j))
            c[i][j] += v;
}

int sum(int x, int y) {
    int res = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i))
        for (int j = y; j; j -= lowbit(j))
            res += c[i][j];
    return res;
}

int main() {
    // 加快读入
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        memset(c, 0, sizeof(c));
        cin >> n >> m;
        while (m--) {
            cin >> str;
            if (str[0] == 'C') {
                int x1, y1, x2, y2;
                cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
                // 二维差分
                add(x1, y1, 1);
                add(x2 + 1, y1, -1);
                add(x1, y2 + 1, -1);
                add(x2 + 1, y2 + 1, 1);
            } else {
                int x, y;
                cin >> x >> y;
                printf("%d\n", sum(x, y) % 2);
            }
        }
        if (T) puts("");
    }
    return 0;
}
```