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2 years ago
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### 口诀
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<font color='red' size=4><b>等线段，证全等；没有等线段，证相似</b></font>
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现在没有辅助线的情况下，看不到存在相似三角形，需要考虑如何添加辅助线后能存在相似三角形。
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$\because \angle 1=\angle 2=30^{\circ}$
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现在从这个角相等出发，思考如何设计辅助线：
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$\angle 1=\angle 2 \Rightarrow$
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$\angle 1 +\angle 3=\angle 2 +\angle 3$
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$\angle 2+\angle 3=\angle ABC$
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那$\angle 1+\angle 3$是什么呢？
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应该是三角形的外角吧，我们延长$BD$,则$\angle 4=\angle 1+\angle 3$
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问题来了，延长到哪里呢？
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$\angle 4=\angle ABC$,还要构建相似三角形，观察另一个可能能够得到相等的角：$\angle BAC$,
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$\angle BAC=\angle 1+\angle DAC$
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只要我们引辅助线$AE$，使得$\angle 5=\angle 1$即可以构造三角形$\triangle ADE\sim \triangle ABC$
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$\frac{BC}{DE}=\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$
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变换一下：
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$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$
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结合$\angle 1=\angle 5$
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$\therefore \triangle ABD \sim \triangle ACE$
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$AB=4,BD=\sqrt{3}a,CD=a,BC=2a$
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利用$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CE}$可以计算出
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$CE=\frac{3}{2}a$
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根据勾股定理可求$DE=\sqrt{(\frac{3}{2}a)^2-a^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}a$
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再利用第一个相似三角形的条件：
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$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$
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$\frac{4}{AD}=\frac{2a}{\frac{\sqrt{5}}{2}a}$
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解得$AD=\sqrt{5}$
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### 总结
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- 存在角相等，利用外角构建相似三角形
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- 旋转三角形，一转成双
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- 利用旋转后构造出来的两个相似三角形，反复利用比例关系，再加上勾股定理，可以计算出一些边的边长。
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