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[
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############################## 话题13 #####################
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{
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"question": "人类最初发现的几何规律主要与哪些图形有关？",
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"ground_truth": "圆、正方形、矩形以及直角三角形。"
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|
},
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|
|
{
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|
|
"question": "勾股定理描述了什么关系？",
|
|
|
"ground_truth": "在直角三角形中，两个直角边的平方之和等于斜边的平方。"
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|
|
},
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|
|
{
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|
"question": "什么是勾股数？",
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|
"ground_truth": "勾股数是满足勾股定理的三个正整数，例如（3,4,5）、（5,12,13）这样的数就是勾股数。"
|
|
|
},
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|
|
{
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|
"question": "人们研究勾股数的目的是什么？",
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|
|
"ground_truth": "为了确定直角。"
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|
},
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{
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|
|
"question": "卡呼恩纸草书题目与勾股定理有什么关系？",
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"ground_truth": "将面积100的正方形分为边长比3:4的两个小正方形，通过比例缩放得到(6,8,10)勾股数。"
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|
},
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{
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|
"question": "《周髀算经》是怎么描述勾股定理的？",
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|
"ground_truth": "用'勾三股四弦五'（3、4、5的直角三角形）来说明，并给出拼图方法验证。"
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|
},
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{
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"question": "古人怎么用勾股定理检查杆子是否垂直？",
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|
"ground_truth": "杆底取3单位，地面取4单位，如果斜边是5单位，就说明杆子与地面垂直（形成直角）。"
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|
|
},
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{
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|
|
"question": "《周髀算经》如何计算太阳高度？",
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|
"ground_truth": "用相似三角形计算：8尺高的杆子，影长1.6尺时，太阳高度为8万里（公式：太阳高/杆高=影距/影长）。"
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|
|
},
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|
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{
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|
"question": "古代三大文明几何学的共同特点是什么？",
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"ground_truth": "埃及/巴比伦/中国均发展实用几何（金字塔/正切表/日影测量），但未抽象为公理体系，区别于希腊演绎几何。"
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|
},
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################################### 话题14 ##################################################
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{
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"question": "周人如何用数学方法确定'地中'的纬度位置？",
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"ground_truth": "夏至正午立八尺表杆，测量影长等于土圭长度（1尺5寸），通过日射角计算纬度：日射角a=arctan(影长/表高)，纬度=a+回归角b。"
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|
},
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{
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|
"question": "周代确定南北方位'地中'的核心数学原理是什么？",
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"ground_truth": " 假设最南影子为 0尺（太阳直射），最北影子为 3尺，取中间值 影子1.5尺的位置 就是南北中心。"
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|
},
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|
{
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|
|
"question": "周人如何用时间差确定东西方位'地中'？",
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|
"ground_truth": "利用漏壶计时：同一纬度两地标准时差与距离成正比，取时差中点位置即地理中点（C地时差=(A地时差+B地时差)/2）。"
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|
},
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|
|
{
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|
|
"question": "周代'一刻'时间代表多远距离？",
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|
"ground_truth": "北纬34度纬线周长33170公里，一日100刻，得时差1刻对应的距离约为332公里（33170/100）。"
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|
|
},
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|
|
{
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|
|
"question": "经度相差1度相当于多元距离？",
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|
|
"ground_truth": "北纬34度纬线周长33170公里，经度1度对应约92公里（33170/360）。"
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|
|
},
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|
|
{
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|
|
"question": "登封告成作为'地中'的数学验证结果如何？",
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|
"ground_truth": "东距山东半岛9度（828公里），西距甘肃渭源9度（828公里）；南距番禺10°57′，北距阴山9°34′，基本居中。"
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|
|
},
|
|
|
{
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|
|
"question": "周天下范围的数学描述是什么？",
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|
|
"ground_truth": "南起北纬23°26′（番禺），北至北纬43°57′（阴山以北），东起东经122°（山东半岛），西至东经104°（甘肃渭源）。"
|
|
|
},
|
|
|
{
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|
|
"question": "为什么在球形地球模型下影长1.5尺恰为地中？",
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|
|
"ground_truth": "太阳距离无穷远使光线平行，球形地表使影长0-3尺的中点对应纬度中点（23°26′至43°57′的中点为34°23′）。"
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|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "周代东西边界时差如何计算？",
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|
|
"ground_truth": "山东半岛与登封经度差9度，距离828公里，按1刻=332公里换算得时差2.3刻（约34.5分钟）。"
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|
|
},
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|
|
{
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|
|
"question": "《山海经》如何验证周代地理认知？",
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|
|
"ground_truth": "《南次三经》南禺山对应北纬23°26′（番禺），《北次三经》敦题山对应北纬43°57′（贝加尔湖），与计算结果吻合。"
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|
|
},
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################################## 话题15 #####################################
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{
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"question": "埃拉托色尼计算地球周长的核心数学原理是什么？",
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|
|
"ground_truth": "利用平行光内错角相等：两城日影差7°对应地心角7°，测得距离800公里，按7°/360°=1/50比例得周长约40000公里。"
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|
|
},
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|
|
{
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|
|
"question": "埃拉托色尼测量中7°角度如何获取？",
|
|
|
"ground_truth": "通过亚历山大城木棒影长与高度的三角函数关系计算：tanθ=影长/棒高。"
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|
|
},
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|
|
{
|
|
|
"question": "亚里士多德对经纬线的主要贡献是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "首创纬线概念：按温度带划分地球表面（热带/温带/寒带），建立纬度与气候的数学关联。"
|
|
|
},
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|
|
{
|
|
|
"question": "托勒密《地理学》的数学创新点是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "引入经线概念，设计扇形经纬网（经线汇聚北极），实现球面到平面的数学投影转换。"
|
|
|
},
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{
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|
|
"question": "中国周代'广轮之数'的数学意义是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "'东西为广，南北为轮'是最早的经纬度概念，建立二维坐标系量化地理位置（经度-广，纬度-轮）。"
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|
|
},
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|
|
{
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|
|
"question": "裴秀'制图六体'的核心数学思想是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "提出比例尺（分率）和矩形网格坐标系（准望），用数学方法规范化地图绘制中的距离与方位。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "古代地图学中西方投影与中国网格的差异是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "西方用托勒密扇形投影，中国用裴秀矩形网格；共同点是经线汇聚北极（因南极认知缺失）。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "亚历山大图书馆对数学发展的主要作用是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "保存《几何原本》等典籍，汇集欧几里得/阿基米德等学者，为地球测量提供文献基础与学术环境。"
|
|
|
},
|
|
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################################ 话题16 ##################################
|
|
|
{
|
|
|
"question": "初中数学中平行线公理的教材表述是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "过已知直线外一点，存在且仅存在一条直线与已知直线平行。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "罗巴切夫斯基几何的平行线公理是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "过已知直线外一点，可以作两条以上直线与已知直线平行。"
|
|
|
},
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|
|
{
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|
|
"question": "什么是黎曼几何？",
|
|
|
"ground_truth": "黎曼几何是19世纪由德国数学家伯恩哈德·黎曼创立的非欧几何，它以“弯曲空间”为研究对象，颠覆了欧氏几何对平直空间的假设，核心在于用曲率描述空间性质，是现代数学和物理学的重要基础。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "黎曼几何的平行线公理是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "过已知直线外一点，不存在直线与已知直线平行。"
|
|
|
},
|
|
|
{
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|
|
"question": "高斯曲率如何影响三角形内角和？",
|
|
|
"ground_truth": "高斯公式：三角形内角和=π+?k(a)dA，k(a)表示高斯曲率，A表示曲面上三角形所围成的区域。曲率正时三角形内角和>180°，曲率负时三角形内角和<180°，曲率零时=180°。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "郭守敬测量'北极出地'的数学原理是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "利用罗氏几何：北极星距离无穷远使视线NA平行于地轴NO，使北极出地角等于纬度角。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "陈省身对高斯公式的主要贡献是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "1944年在法国数学家博内的研究基础上进一步将高斯公式推广到高维闭黎曼流形。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "三种几何对'同弧圆心角与圆周角'关系的表述是否相同？",
|
|
|
"ground_truth": "不同：仅欧氏几何保持2倍关系，黎曼/罗氏几何中该比例随曲率变化。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "高斯公式的数学意义是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "建立曲面弯曲程度（曲率）与几何性质（内角和）的定量关系，统一三种几何的三角形理论。"
|
|
|
},
|
|
|
#################################### 话题17 ##############################
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|
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{
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|
|
"question": "笛卡尔发明直角坐标系的灵感来源是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "笛卡尔发明直角坐标系的灵感来源于对帕波斯问题的研究。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "帕波斯问题是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "帕波斯问题是关于在平面上给定多条直线，求动点的轨迹使得该点到这些直线的距离满足一定比例关系的问题。"
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|
|
},
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|
|
{
|
|
|
"question": "培根和笛卡尔在文艺复兴时期对科学和哲学的贡献是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "培根开创了系统的归纳逻辑的思维方法。笛卡尔倡导理性的精神和实证的方法，他的哲学思想深刻地影响了17世纪的欧洲，影响到了牛顿和莱布尼茨。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "《方法论》中提出了什么数学思想？",
|
|
|
"ground_truth": "笛卡尔在《方法论》中提出了将几何问题转化为代数问题的思想，为解析几何奠定了基础。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "解析几何对数学有什么影响？",
|
|
|
"ground_truth": "解析几何的出现使得变量得到了直观的理解和刻画，促进了数学的根本性发展，使得运动进入了数学领域，辩证法也随之进入数学，微分和积分的运算变得必要并迅速产生。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "《方法论》的附录《几何学》的主要内容？",
|
|
|
"ground_truth": "《几何学》共分三章：第一章讨论如何利用尺规作图把算术问题转为几何问题；第二章中笛卡尔批评了传统的尺规作图方法，并发明了坐标系和解析几何；第三章讨论高次方程的根与几何作图的关系。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "笛卡尔如何结合几何与代数？",
|
|
|
"ground_truth": "笛卡尔有意识地把几何作图与一般形式的代数方程结合，用线段长度来解释和表达方程的解。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "笛卡尔的方法中的现代数学雏形？",
|
|
|
"ground_truth": "笛卡尔的方法中体现了现代数学“数域扩张”思想的雏形。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "传统的尺规作图主要基于什么类型的数学运算？",
|
|
|
"ground_truth": "传统的尺规作图主要基于自然数的四则运算，即基于线段长度的结果。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "欧几里得几何与笛卡尔几何的区别？",
|
|
|
"ground_truth": "欧几里得几何研究的是静态的图形，而笛卡尔创建几何的初衷是要用代数的方法表达动点的轨迹。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "为什么发明坐标系是一种必然？",
|
|
|
"ground_truth": "为了实现代数方法与几何图形的有机结合，借助坐标系是明智之举。随着数学发展的需要，数学家发明坐标系应当是一种必然。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "解析几何的核心思想是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "解析几何的核心思想是通过坐标系将几何问题转化为代数问题，从而利用代数方法解决几何问题。"
|
|
|
},
|
|
|
#################################### 话题18 ##############################
|
|
|
{
|
|
|
"question": "极坐标为何比直角坐标系更自然实用？",
|
|
|
"ground_truth": "极坐标利用距离与方位表达点的位置，对于日常生活而言，这是一种看得见、摸得着的方法，因此比直角坐标系更加自然、更为实用。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "古代如何确定射线的原点？",
|
|
|
"ground_truth": "人们通常以政治中心或文化中心为原点，例如中国古代称这样的原点为'地中'即'天下之中'。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "古代极坐标设定的根据是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "这样的极坐标设定的根据依然是罗巴切夫斯基几何，也就是说，北半球任何处观察北极星得到的射线都是平行的。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "谁首次在数学中使用极坐标表达平面上点的位置？",
|
|
|
"ground_truth": "牛顿是第一个在数学中使用极坐标表达平面上点的位置的人，出现在他的著作《流数法与无穷级数》中。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "谁给出了直角坐标与极坐标的变换公式？",
|
|
|
"ground_truth": "法国数学家赫尔曼在1729年进一步完善了极坐标，并给出了直角坐标与极坐标的变换公式。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "现代极坐标表达形式是谁确立的？",
|
|
|
"ground_truth": "现代数学中普遍使用的极坐标表达形式是欧拉在1748年出版的著作《无穷分析引论》中确立的。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何用直角坐标系的坐标表示极坐标的坐标？",
|
|
|
"ground_truth": "如果点A的坐标为A(x,y)，对应的极坐标是 (ρ,θ），其中ρ为线段长，θ为线段与x轴的夹角，那么可以用直角坐标系的坐标表示极坐标的坐标，表示形式为ρ = √(x2 + y2)，θ = arctan(y/x)。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何用极坐标的坐标表示直角坐标系的坐标？",
|
|
|
"ground_truth": "可以用极坐标的坐标表示直角坐标系的坐标，表示形式为x = ρcosθ，y = ρsinθ。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何在极坐标系中表示过原点的直线方程？",
|
|
|
"ground_truth": "在极坐标系中，如果一条直线经过原点，其方程可以表示为tanθ = a，其中a为斜率。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何用极坐标表达圆的方程？",
|
|
|
"ground_truth": "一个圆心在直角坐标系原点的圆，如果半径为r，那么极坐标方程为ρ2 = r2，其中ρ表示圆上的点到原点的距离。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何用极坐标表达双纽线方程？",
|
|
|
"ground_truth": "伯努利曾经用极坐标表达直角坐标系中的双纽线方程，直角坐标系的表达与极坐标的表达分别为(x2+y2)2 = a2(x2-y2)和ρ2 = a2cos2θ。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何从二维直角坐标系拓展到三维直角坐标系？",
|
|
|
"ground_truth": "可以通过类比的方法，用交于一点O的三条相互垂直的直线构成三维直角坐标系，分别称为X轴、Y轴、Z轴。空间中的任何一个点，可以用三个元素的数组（x,y,z）表示。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "三维直角坐标系中的三个平面是如何定义的？",
|
|
|
"ground_truth": "三维直角坐标系中的三个平面由坐标轴构成，分别称为XOY平面、XOZ平面、YOZ平面。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何把三维直角坐标系拓展到n维空间直角坐标系？",
|
|
|
"ground_truth": "数学家完全凭借想象，把三维直角坐标系的方法拓展到更一般的n维空间直角坐标系，其中一个点对应数组（x1,…,xn），称这样表达的空间为n维空间。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "构建几何空间的过程中经历了哪两次抽象？",
|
|
|
"ground_truth": "第一次是基于现实的，得到了一维、二维和三维空间；第二次抽象是基于思辨的，得到非现实的n维空间。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "数的概念在数学中是如何形成的？",
|
|
|
"ground_truth": "数学经历了两次抽象：第一次从数量中抽象出数，通过运算得到有理数、无理数、复数和实数；第二次是思辨的，产生了四元数、向量和矩阵。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "三维球坐标的定义？",
|
|
|
"ground_truth": "对于空间中直角坐标为（x,y,z）的点P，对应的极坐标有序数组为（ρ,θ,φ），其中ρ为点P到原点O的距离，θ为有向线段OP与Z轴正向夹角，φ为XOY平面上有向线段OM与x轴的夹角。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "三维球坐标到直角坐标系的变换如何表达？",
|
|
|
"ground_truth": "三维球坐标到直角坐标系的变换可以表达为：x = ρsinθcosφ，y = ρsinθsinφ，z = ρcosθ。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "固定球坐标系中的参数如何得到不同的曲面？",
|
|
|
"ground_truth": "固定其中一个参数时，可以得到不同的曲面：当ρ为常数时，表示原点为球心的球面；当θ为常数时，表示原点为顶点、z轴为中心轴的圆锥面；φ为常数时，表示过z轴的平面。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何用高维球坐标表示n维球面？",
|
|
|
"ground_truth": "用高维球坐标表示为ρ2 = r2，其中ρ表示球面上的点到原点的距离，夹角是任意的。"
|
|
|
},
|
|
|
#################################### 话题19 ##############################
|
|
|
{
|
|
|
"question": "欧几里得全等公理的局限性是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "欧几里得《原本》的第四公理表述为'彼此能重合的物体是全等的'，但很难说清楚什么是重合，且欧几里得几何公理体系没有涉及物体的运动。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "希尔伯特如何修改欧几里得的全等公理？",
|
|
|
"ground_truth": "希尔伯特在《几何基础》中用合同公理替代了欧几里得的全等公理，克服了这一局限性，并且不用涉及图形运动等更为复杂的概念。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "希尔伯特的合同公理的内容？",
|
|
|
"ground_truth": "希尔伯特的合同公理包括五个部分：1) 相等的线段存在；2) 等量的等量相等；3) 线段的可加性；4) 角度的相等；5) 线段、角度相等关系的复合。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "希尔伯特构建的几何公理体系的基本特征？",
|
|
|
"ground_truth": "希尔伯特构建的几何公理体系的基本特征包括独立性、相容性和完备性，彻底摆脱了几何直观和物理属性的约束。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "'边角边'基本事实与希尔伯特的合同公理的关联？",
|
|
|
"ground_truth": "《义务教育数学课程标准》中提到的'边角边'基本事实，本质上是采用了希尔伯特《几何基础》合同公理中的第5个公理。"
|
|
|
},
|
|
|
#################################### 话题20 ##############################
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何判断公理体系的合理性？",
|
|
|
"ground_truth": "希尔伯特认为，如果公理体系是相容的并且公理相互之间是独立的，那么这个公理体系就是合理的。后来，希尔伯特又加了一条限制，即完备性。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "公理体系的相容性是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "相容性指的是公理之间无矛盾，不可能从公理体系所设定的几组公理出发，用逻辑推理的方法得到与设定的其他某一个公理矛盾的结果。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "希尔伯特如何证明公理体系的相容性？",
|
|
|
"ground_truth": "希尔伯特试图通过将几何公理体系的相容性问题转化为算术公理体系的相容性问题来证明，并在1900年提出这一问题。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "哥德尔的不完全性定理对公理体系的完备性的影响？",
|
|
|
"ground_truth": "哥德尔的第一不完全性定理否定了包括算术公理体系在内的公理体系的完备性，表明存在相对简单的算术命题，在这两个公理体系不能判断正确与否。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "希尔伯特的第一问题是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "希尔伯特的第一问题是关于连续统假设，即自然数集合与实数集合之间没有其他类型的无穷多。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "哥德尔对连续统问题的猜想？",
|
|
|
"ground_truth": "哥德尔猜想连续统问题在Z-F系统中是不可解的，直到1963年，美国数学家科恩用“力迫法”法证明，连续统假设与Z-F集合论公理体系独立。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "什么是公理体系的独立性？",
|
|
|
"ground_truth": "独立性是指五组公理中的任何一组公理都不是其他几组公理的逻辑推论。希尔伯特借助代数的语言证明了他所给出的五组公理的独立性。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "什么是公理体系的完备性？",
|
|
|
"ground_truth": "完备性指的是一个公理体系能够证明或证伪该领域内所有有意义的命题。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "哥德尔第一不完全定理的内容是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "哥德尔第一不完全定理表明，任何包含算术的形式化公理体系都是不完备的，存在不能在该体系内证明或证伪的命题。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "哥德尔第二不完全定理的内容是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "哥德尔第二不完全定理表明，如果一个包含算术的形式化公理体系是相容的，那么它不能证明自身的相容性。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "希尔伯特的几何公理体系有何特点？",
|
|
|
"ground_truth": "希尔伯特构建的几何公理体系是完全形式化的，研究对象是高度抽象的，与欧几里得几何相比，缺乏直观性。"
|
|
|
},
|
|
|
#################################### 话题21 ##############################
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何借助数学外部概念构建几何学的基本概念？",
|
|
|
"ground_truth": "可以通过度量形成距离的概念，借鉴现实的或物理的概念来构建几何学的基本概念。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "数学如何形成距离概念？",
|
|
|
"ground_truth": "数学通过度量形成距离概念，例如从寸到尺和脚到米的演变，以及通过时间和光速定义距离。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "时间和空间如何变为现实工具？",
|
|
|
"ground_truth": "通过距离概念的严格定义，时间和空间从康德所说的获取知识的先验直觉变为了现实工具。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "数学中如何使用距离概念？",
|
|
|
"ground_truth": "在几何体系中，可以不加说明地使用“距离”这样的术语，就像我们在数学中曾经使用的“对应”“多少”“大小”“前后”这样的概念一样。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "建立几何概念的基本原则是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "只有站在高维空间才能判断低维空间的几何特征。也就是说，只有在二维空间才能判断一条线是直的还是弯的，只有在三维空间才能判断一个面是平的还是曲的。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何在面上定义直线段？",
|
|
|
"ground_truth": "面上任意两个不同点，可以有无数条线连接这两个点，称其中距离最短的连线为直线段，称这两个点为直线段的端点，称两点间的最短距离为直线段的长度。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何在面上定义射线？",
|
|
|
"ground_truth": "从直线段的一个端点出发，在面上按一个方向无限延长形成线，如果这条线上的任意两点间都构成直线段，称这条线为面上的射线。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何在面上定义直线？",
|
|
|
"ground_truth": "从直线段的两个端点出发，在面上向两个方向无限延长形成线，如果这条线上的任意两点间都构成直线段，称这条线为面上的直线。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何在面上定义夹角？",
|
|
|
"ground_truth": "对于两条具有公共端点但不重合的直线段，分别在两个直线段上截取到公共端点同样长 r 的两个点，称连接这个两点的连线为的弧，如果这个连线上的点到端点的距离都等于 r，称弧的长度为弧长，称弧长与 r 之比为面上的角，比值越大角度越大。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何在面上定义三角形？",
|
|
|
"ground_truth": "面上不重合的三条直线段的端点两两重合，称所形成的图形为三角形。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何在面上定义点到直线的距离？",
|
|
|
"ground_truth": "不在直线上的一个点与直线上的点形成直线段，称最短的直线段为这个点到直线的垂线，称垂线的长度为点到直线的距离，称垂线在直线上的点为垂足。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何在面上定义两条直线平行？",
|
|
|
"ground_truth": "面上的两条直线，如果一条直线的所有点到另一条直线的距离都相等，称这两条直线平行。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何在面上定义两条直线垂直？",
|
|
|
"ground_truth": "面上的两条直线，如果一条直线的所有点到另一条直线的垂足都为同一点，称这两条直线垂直。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "现实几何的定义有何特点？",
|
|
|
"ground_truth": "现实几何的定义结合了直观和形式化，基于现实世界的距离概念。"
|
|
|
},
|
|
|
#################################### 话题22 ##############################
|
|
|
{
|
|
|
"question": "尺规作图的最大范围是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "尺规作图可以构造出有理系数二次方程的根，通过多步操作，得到有理系数高次方程根对应的的线段。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "尺规作图如何表示有理数？",
|
|
|
"ground_truth": "尺规作图从单位线段出发，可以表示所有有理数对应的线段长度。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "尺规作图的本质与代数有什么关系？",
|
|
|
"ground_truth": "尺规作图不仅用几何解释代数运算，还能用代数方法讨论几何问题。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "三等分角问题是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "用尺规作图的方法三等分任意给定的角。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "阿基米德三等分角作图方法如何？",
|
|
|
"ground_truth": "阿基米德利用圆和滑动直尺巧妙地实现三等分角，但不符合尺规作图规则。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "尺规作图限制了哪些操作？",
|
|
|
"ground_truth": "直尺只能连接两点作直线段，不能自由滑动或以点为轴心旋转。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "三等分角作图为什么只能否定而非证明？",
|
|
|
"ground_truth": "只需找一个特殊角无法三等分，就能否定任意角三等分的可能性。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "60度角三等分为什么不可能用尺规作图？",
|
|
|
"ground_truth": "60度角所对应的三次方程不存在有理根，所有尺规作图无法构造这个方程的根。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何判断三次方程是否可作图？",
|
|
|
"ground_truth": "若三次方程有有理根，则根可用尺规作图构造，否则不可作图。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "尺规作图从单位线段出发能进行哪些运算？",
|
|
|
"ground_truth": "可以实现线段的加、减、乘、除运算，如果把四则运算作图的结果看作单位线段的扩充，那么，这样的扩充类似于把自然数集扩充到有理数集。"
|
|
|
},
|
|
|
#################################### 话题23 ##############################
|
|
|
{
|
|
|
"question": "什么是比例模型？",
|
|
|
"ground_truth": "比例模型是乘积与被乘数之间的关系模型，乘数作为系数或参数，用于表达两个变量的线性关系。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "比例模型的数学表达式是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "比例模型通常表达为Y=ρX，其中ρ为比例系数，X与Y呈正比关系。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "路程模型如何体现比例关系？",
|
|
|
"ground_truth": "把速度看作比例系数，路程和时间的关系就构成正比例模型。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "胡克定律的数学表达式是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "胡克定律表达为 F=kx，力F与弹簧位移x成正比，k为弹性系数。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "胡克定律说明了什么？",
|
|
|
"ground_truth": "胡克定律说明弹簧受力越大则位移越大，两者成正比例关系。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "胡克定律中的k代表什么？",
|
|
|
"ground_truth": "k是弹簧的弹性系数，决定了单位力引起的弹簧位移。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "牛顿第二定律的数学表达是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "牛顿第二定律为F=ma，说明力F与加速度a成正比，质量m为比例系数。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "为什么牛顿用数学语言定义力？",
|
|
|
"ground_truth": "因为力的本质难以界定，用数学表达力的作用更具解释力。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "波义耳-马略特定律讲了什么？",
|
|
|
"ground_truth": "该定律描述在温度不变时，气体体积与压强成反比例关系。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "查理-盖吕萨克定律表达了什么？",
|
|
|
"ground_truth": "它表达一定压强下，气体体积与温度成正比例关系。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "什么是绝对零度？",
|
|
|
"ground_truth": "绝对零度是气体体积趋近于零时的温度，约为 -273.15℃。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "爱因斯坦质能公式表达了什么？",
|
|
|
"ground_truth": "E=mc2说明质量与能量之间成正比关系，其中E和m分别表示物体的能量和质量，c2为光速的平方，是质能转换的巨大比例常数。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "正比例与线性模型有何关系？",
|
|
|
"ground_truth": "正比例是线性模型的一种，特指斜率为正且过原点的情况。"
|
|
|
},
|
|
|
#################################### 话题24 ##############################
|
|
|
{
|
|
|
"question": "什么是与时间有关的比例模型？",
|
|
|
"ground_truth": "与时间有关的比例模型可以用来描述变量随时间变化而变化的数量关系，可分为不含随机性的动力系统和考虑随机性的时间序列。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "在动力系统中，系数ρ的取值对模型行为有何影响？",
|
|
|
"ground_truth": "系数ρ决定动力系统的演化趋势：当0<ρ<1时系统单调衰减，当ρ=1时保持初始值不变，当ρ>1时系统单调增长，ρ<0时产生振荡，ρ=0时系统的值恒为0。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "动力系统的平衡点如何求解？",
|
|
|
"ground_truth": "若系统稳定于常值a，则有a=ρa+b，解得平衡点为a=b/(1-ρ)，反映长期稳定状态的数量值。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "什么是自回归模型？",
|
|
|
"ground_truth": "自回归模型考虑当前值与其过去若干时刻值的线性关系，并加入误差项，用于描述有记忆性的时间序列数据。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "随机游走模型与现实世界有哪些联系？",
|
|
|
"ground_truth": "随机游走模型模拟无目标移动的行为，广泛用于价格走势、股市预测、粒子运动等多领域，具有强烈的现实启发性。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "随机游走模型的数学本质是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "其本质是随机误差项的累积过程，若每一个随机误差都服从均值为0、标准差为σ的正态分布，则这样的误差序列是高斯白噪声。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "为什么说随机游走模型是非平稳的？",
|
|
|
"ground_truth": "因为其方差是时间的函数，即随着时间推移不断增加，数据波动性不稳定，失去了恒定统计特性的平稳性。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "什么是布朗运动模型，它与随机游走有何关系？",
|
|
|
"ground_truth": "布朗运动模型是随机游走在连续时间的推广，具有独立增量性质，是描述连续时间随机变化过程的经典模型。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "动力系统与时间序列模型有何本质区别？",
|
|
|
"ground_truth": "动力系统是确定性递推关系，而时间序列模型加入了随机扰动，更适用于处理受多种不可控因素影响的数据。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何理解自回归模型中的参数含义？",
|
|
|
"ground_truth": "自回归模型中的参数表示过去变量对当前变量的影响程度，通过估计这些系数可揭示时间序列的内在依赖结构。"
|
|
|
},
|
|
|
#################################### 话题25 ##############################
|
|
|
{
|
|
|
"question": "人对美的感觉是否具有共性？",
|
|
|
"ground_truth": "虽然人们的审美因文化和情境而异，但大多数情况下对美的感知具有共性，源于事物本身的秩序与和谐等客观的本质属性。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "对称为何被认为是一种美的体现？",
|
|
|
"ground_truth": "对称性体现了结构的和谐与秩序，能激发人的愉悦感，是人类感知世界规律和稳定性的心理反映。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何理解对称是自然界普遍存在的现象？",
|
|
|
"ground_truth": "自然界中的对称性源于微观结构的有序排列，如晶体和基因的结构，体现了自然界的基本规律。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "晶体结构为什么具有对称性？",
|
|
|
"ground_truth": "晶体内部的原子以规则周期方式排列，形成具有几何对称性的晶格结构，这是物质固态稳定性的体现。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "基因的双螺旋结构体现了什么样的对称性？",
|
|
|
"ground_truth": "基因双螺旋结构具有轴对称性，其精妙的互补配对方式保障了生物复制的高效与精确。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "人们能否用数学语言表达审美感受？",
|
|
|
"ground_truth": "通过对称变换、创造数学公式和群论等方式，人们将主观的审美体验转化为具有逻辑结构的数学表达。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "什么是图形的对称变换？",
|
|
|
"ground_truth": "对称变换包括旋转与反射等方式，使图形在变化中保持整体形状不变，是对称性分析的基础工具。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何用数学度量图形的对称程度？",
|
|
|
"ground_truth": "通过计算保持图形不变的所有变换构成的对称集的元素个数，可以量化图形的对称程度。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "为什么圆被认为是最对称的图形？",
|
|
|
"ground_truth": "圆在旋转任意角度下均保持形状不变，对称变换无限多，是平面上最完美的对称图形。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "等边三角形比一般三角形更对称吗？",
|
|
|
"ground_truth": "等边三角形拥有多个对称变换方式，而一般三角形仅有静止保持形状，因此对称性更强。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "什么是对称集？",
|
|
|
"ground_truth": "对称集是指能将图形变换后形状仍保持不变的所有变换的集合，是度量对称性的关键数学工具。"
|
|
|
}
|
|
|
###################################### 问题14 #################################
|
|
|
{
|
|
|
"question": "数轴和绝对值为什么是数形结合的发端？",
|
|
|
"ground_truth": "数轴和绝对值将有理数与点的对应升华到数量与距离的对应，其代数表示与几何解释的一致性，帮助学生建立数形结合的直观，实现几何直观与代数论证的结合。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "数轴上的点与实数如何一一对应？",
|
|
|
"ground_truth": "数轴上的每一个点都对应一个实数，每一个实数也对应数轴上的一个点，这种对应关系体现了实数的连续性和稠密性。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "绝对值的几何意义是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "绝对值的几何意义是数轴上表示该数的点到原点的距离，它反映了数的大小而不考虑方向。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "复数的绝对值如何定义？",
|
|
|
"ground_truth": "对于复数，绝对值表示复数的大小，即复数的实部与虚部平方和的开方。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "戴德金如何定义实数的连续性？",
|
|
|
"ground_truth": "任意实数对应一个划分，将实数分为小于和大于它的两类，且只能产生一个这样的实数。基于此，戴德金定义了具有连续性的实数。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "戴德金连续性公理为何重要？",
|
|
|
"ground_truth": "戴德金连续性公理通过有理数的分割定义了实数的连续性，为实数的严谨定义和极限理论的建立提供了基础，是实数理论的重要基石。"
|
|
|
},
|
|
|
###################################### 问题15 #################################
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何理解反证法的推理逻辑？",
|
|
|
"ground_truth": "反证法基于矛盾律和排中律，通过假设命题不成立引发矛盾，从而证明原命题成立，其论证在正面直接证明繁杂时更显强大，是重要的数学证明方法。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "为什么说反证法是一种特殊的演绎推理？",
|
|
|
"ground_truth": "反证法是一种特殊的演绎推理，因为它通过假设命题的否定并推导出矛盾，从而证明原命题的正确性，其逻辑过程符合演绎推理的规则。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何证明素数有无限多个？",
|
|
|
"ground_truth": "假设素数有限，设最大素数为p。考虑p的阶乘加1，这个数不能被任何小于等于p的素数整除，因此它要么是素数，要么能被大于p的素数整除，与假设矛盾，故素数无限。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "反证法的基本步骤是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "反证法的基本步骤包括：1) 假设命题不成立；2) 通过逻辑推理引发矛盾；3) 根据矛盾律，假设不成立；4) 根据排中律，原命题成立。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "反证法在哪些情况下特别有效？",
|
|
|
"ground_truth": "反证法在正面直接证明较为复杂或难以直接证明时特别有效。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "反证法在数学证明中的优势是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "反证法在数学证明中的优势在于它能够通过假设命题的否定来引发矛盾，从而证明原命题的正确性，尤其在正面证明较为繁杂或难以直接证明时更为有效。"
|
|
|
},
|
|
|
###################################### 问题16 #################################
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何理解几何作图的教育价值？",
|
|
|
"ground_truth": "几何作图通过尺规作图理解几何原理、培养想象能力，不再是技能学习，而是培养学生的想象能力，感悟几何原理，培养几何直观和空间想象能力。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "尺规作图的规定源于什么？",
|
|
|
"ground_truth": "尺规作图的规定源于欧几里得几何五条公设的前三条公设。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "欧几里得几何的前三条公设是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "1. 由任意一点到任意一点可以作直线。2. 一条有限直线可以继续延长。3. 以任意点为心及任意的距离可以画圆。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "中国古代关于尺规作图的说法是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "中国古代有‘没有规矩，不成方圆’的说法，其中‘规’用于画圆，‘矩’是一个可以画直角的曲尺。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "想象能力的本质是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "想象能力是指在操作前能够预想操作后得到的结果，并根据预想设计操作流程、指导操作过程，以及通过实际结果反思预想设计和操作流程合理性的能力。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "作角平分线的思维路径和操作流程是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "作角平分线的思维路径和操作流程包括：1) 引导学生想象作图后的情境；2) 鼓励学生设计作图的步骤；3) 指导实际操作，验证想象；4) 启发学生利用全等三角形证明作图的正确性。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何培养学生的想象能力在作角平分线时？",
|
|
|
"ground_truth": "在作角平分线时，要培养学生的想象能力，教师应在作图前引导学生想象作图后的情境，然后鼓励学生设计作图的步骤，指导实际操作，验证自己的想象。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "作角平分线的数学本质是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "作角平分线的数学本质是角平分线是把角的大小平均分为两部分的那条线，是这个角的顶点与对应弦长中点的连线，等价于作弦长垂直平分线的方法。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "为什么作角平分线的方法等价于作弦长垂直平分线的方法？",
|
|
|
"ground_truth": "因为角平分线是这个角的顶点与对应弦长中点的连线，所以作角平分线的方法等价于作弦长垂直平分线的方法。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何通过作角平分线教学达成课标目标？",
|
|
|
"ground_truth": "通过改变传统教学模型，引导学生在作图前想象作图后的情境，设计作图步骤，指导实际操作，验证想象，并利用全等三角形证明作图的正确性，从而实现教学目标。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "尺规作图为何能培养想象能力？",
|
|
|
"ground_truth": "尺规作图要求学生在作图前想象作图后的情境，设计作图步骤，指导实际操作，验证想象，并利用几何原理证明作图的正确性，这一过程有效培养了学生的想象能力。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "什么是几何直观？",
|
|
|
"ground_truth": "几何直观主要是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯，它有助于把握问题的本质，明晰思维的路径。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "尺规作图如何培养空间想象力？",
|
|
|
"ground_truth": "通过尺规作图，学生可以在操作前预想操作后的结果，设计操作流程，并通过实际操作验证预想，从而培养空间想象力和几何直观。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "尺规作图在现代数学教育中的地位如何？",
|
|
|
"ground_truth": "尺规作图在现代数学教育中不仅是传统内容的延续，更是培养学生几何直观、空间想象力和逻辑思维能力的重要手段，具有不可替代的地位。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何通过尺规作图想象基本事实？",
|
|
|
"ground_truth": "通过尺规作图想象基本事实，需先引导学生想象作图结果，再设计并执行作图步骤，验证想象。"
|
|
|
},
|
|
|
###################################### 问题17 #################################
|
|
|
{
|
|
|
"question": "初中数学有关的图形运动有哪些？",
|
|
|
"ground_truth": "图形的平移、旋转、轴对称。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "小学阶段如何教学图形运动？",
|
|
|
"ground_truth": "小学阶段借助方格子认识平移、旋转和轴对称，欣赏生活图案，感受数学美，形成空间观念。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "初中阶段图形运动的教学要求是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "初中阶段要求理解运动概念，探索运动相关的图形性质，并进行图案设计。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "高中阶段图形运动的教学要求是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "高中选修A类课程要求理解平面的等距变换，特别是直线反射、平移、旋转，以及空间的等距变换，特别是平面反射、平移、旋转。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "为什么理解图形运动需要参照物？",
|
|
|
"ground_truth": "运动是相对的，没有参照物无法感知运动。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "为什么找到图形运动中的不变量十分重要？",
|
|
|
"ground_truth": "因为运动中的不变量揭示了物理运动、几何变换的本质。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "小学和初中对图形运动的教学重点有何不同？",
|
|
|
"ground_truth": "小学让学生感受平移、旋转和轴对称的特点；初中则要求用数学语言描述这些运动。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "初中如何定义平移运动？",
|
|
|
"ground_truth": "平移运动定义为：图形上每个点沿射线方向移动相同距离。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "初中如何定义旋转变换？",
|
|
|
"ground_truth": "旋转变换定义为：旋转运动后，物体上的每一点到射线原点的距离不变、相对射线方向旋转相同的角度。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "初中如何定义轴对称运动？",
|
|
|
"ground_truth": "轴对称运动的参照物是一条直线。轴对称运动后，图形翻转到直线的另一侧，运动后对应点到直线的距离保持不变。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "高中和大学如何用数学描述图形运动？",
|
|
|
"ground_truth": "高中用矩阵表示平移、旋转等变换；大学将这些统一称为线性变换。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "为什么平移、旋转和轴对称在物理中很重要？",
|
|
|
"ground_truth": "因为三种变换及其复合变换刻画了欧几里得几何的运动形式，也是牛顿力学研究运动的基础。"
|
|
|
},
|
|
|
################################# 问题18 #############################
|
|
|
{
|
|
|
"question": "相似图形的本质是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "相似图形是指形状相同但大小不一定相等的图形，全等是相似比为1的特例。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "初中数学如何定义多边形相似？",
|
|
|
"ground_truth": "对应角相等且对应边成比例的两个多边形相似。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "什么是相似三角形？",
|
|
|
"ground_truth": "对应角相等且对应边成比例的两个三角形是相似三角形。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "课程标准选定的三角形相似的判定定理所依赖的基本事实是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "平行线切割定理：两条直线被一组平行线所截，所形成的对应线段成比例。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "更直观的相似基本事实是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "存在公理：对于任何给定比例，相似多边形存在。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何用存在公理证明三角形相似判定？",
|
|
|
"ground_truth": "在已知角相等的大三角形截取小三角形边长，构造相似三角形，通过全等（角边角）证明对应边自然成比例。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "三角形内角和180°的流行证明存在什么逻辑漏洞？",
|
|
|
"ground_truth": "依赖矩形存在性的前提未证明——需先论证四个直角的四边形存在，这比证明三角形内角和180°更复杂。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "为什么数学教育不能忽视存在性论证？",
|
|
|
"ground_truth": "存在性是逻辑论证起点，缺失将导致推理基础不完整。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "教师如何改进相似图形教学？",
|
|
|
"ground_truth": "尝试设计基于存在性的教学方法，促进数学思维发展。"
|
|
|
},
|
|
|
######################################### 问题19 ######################################
|
|
|
{
|
|
|
"question": "初中三角函数教学的核心目的是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "表达直角三角形的边角关系，类似勾股定理表达三边关系，而非研究函数性质。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "高中或大学数学中最重要的三角函数是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "余弦函数，因为余弦函数蕴含了三角函数的算律。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "初中数学中，哪个三角函数最重要？",
|
|
|
"ground_truth": "正切函数，因为只要锐角相同，不同大小的直角三角形直角边比值都相同。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "正切函数的数学本质是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "描述锐角β与直角边比例的关系：tanβ = 对边/邻边，比例值唯一确定。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "古文明几何学的共同局限性是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "古埃及/巴比伦/中国仅发展经验几何学，未抽象出一般概念和公理体系。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "谁完成了经验几何学的理论化？",
|
|
|
"ground_truth": "古希腊人通过归纳抽象建立几何学公理体系，形成严谨理论框架。"
|
|
|
},
|
|
|
##################################问题20####################################
|
|
|
{
|
|
|
"question": "为什么正多面体只有五种？",
|
|
|
"ground_truth": "因为满足欧拉公式且具有相同面与相同顶点结构的正多面体，仅有五种符合以上条件。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "什么是正多面体？",
|
|
|
"ground_truth": "正多面体是每个面都是相同正多边形、每个顶点处连接棱的相同个数的凸多面体。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "欧拉公式的几何表达式是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "欧拉公式是V-E+F=2，表达了凸多面体的一个几何不变量关系，其中V、E、F分别表示多面体顶点、棱、面的个数。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何利用欧拉公式推导正多面体的种类？",
|
|
|
"ground_truth": "将顶点、棱和面的个数关系代入欧拉公式，并表示出V-E+F=2的形式，再结合几何约束即可得出只有五种正多面体。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何根据面的个数计算出棱的个数？",
|
|
|
"ground_truth": "由于每条棱被两个面共享，因此总棱数E=nF/2，其中n为每个面的边数。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何根据顶点的个数计算出棱的个数？",
|
|
|
"ground_truth": "因为每条棱连接两个顶点，所以E=mV/2，其中m为每个顶点连接的棱数。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "欧拉公式的基本证明思路是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "将多面体展开为平面网络并通过拼接简单网络的方法维持欧拉示性数不变，即可证明公式成立。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "什么是简单网络？",
|
|
|
"ground_truth": "简单网络是由三个顶点、三个棱和一个面组成的最小闭合图，等同于一个三角形。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "为什么欧拉示性数是网络的不变量？",
|
|
|
"ground_truth": "因为在生成或拼接网络的过程中，顶点、边、面按照特定规则增减，L值始终保持不变。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "毕达哥拉斯学派是如何研究正多面体的？",
|
|
|
"ground_truth": "他们通过归纳推理与演绎推理的方法验证出正多面体只有五种，并开创了几何演绎推理的先河。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "哪些几何体属于正多面体？",
|
|
|
"ground_truth": "正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体这五种满足正多面体条件。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "欧拉公式最终是由谁证明的？",
|
|
|
"ground_truth": "最终是欧拉在1752年正式阐述并应用推广了这一公式，因此命名为欧拉公式。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "柏拉图学院在几何研究上有哪些贡献？",
|
|
|
"ground_truth": "柏拉图学院开展了系统的几何教学活动，培养了亚里士多德等伟大学者，为欧几里得写出《几何原本》奠定了基础。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "什么是孔明灯压缩类比？",
|
|
|
"ground_truth": "它可以形象地说明多面体展开成平面网络的过程，帮助理解欧拉公式。"
|
|
|
},
|
|
|
##################################问题21####################################
|
|
|
{
|
|
|
"question": "空间的本质是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "空间的本质是距离和维数，是通过量化测量工具确定的客观结构。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "人是如何感知空间的？",
|
|
|
"ground_truth": "人类通过对距离远近的本能感知形成了空间的感知。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "维数是如何体现空间结构的？",
|
|
|
"ground_truth": "维数体现了空间可分的方向数，是区分点、线、面、体的关键。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "现实中是否存在0维、1维或2维物体？",
|
|
|
"ground_truth": "现实世界中这些都是抽象概念，实际只存在三维物体的近似表达。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "空间观念的核心是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "空间观念的核心是空间想象力，包括对静态和动态物体的想象和认知能力。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何在小学阶段培养学生的空间观念？",
|
|
|
"ground_truth": "通过认识立体形状、抽象图形和几何度量来培养学生的空间观念和几何直观。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "初中数学中如何深化空间观念的培养？",
|
|
|
"ground_truth": "通过研究图形性质、几何证明和变换来发展学生的几何思维和空间直观。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "数形结合的基础是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "数形结合基于坐标系和空间维数的量化表达，构建几何与代数的桥梁，形成了数形结合的基础。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "刚体变换具有什么特点？",
|
|
|
"ground_truth": "刚体变换保持两点间距离和角度、面积等几何不变量，是限制最严格的一类变换。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "拓扑变换的具有什么特点？",
|
|
|
"ground_truth": "拓扑变换保持空间维数不变，允许形状任意改变，是限制最宽松的几何变换。"
|
|
|
},
|
|
|
##################################问题22####################################
|
|
|
{
|
|
|
"question": "什么是一笔画？",
|
|
|
"ground_truth": "一笔画是指在连通图中不重复走，每条边恰好走一次，且奇顶点的个数为0或2。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "哥尼斯堡七桥问题的本质是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "哥尼斯堡七桥问题本质上是判断一个图能否一笔画出来的问题。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "欧拉是如何通过图论思想解决哥尼斯堡七桥问题的？",
|
|
|
"ground_truth": "欧拉通过将桥抽象为图形中的边，判断奇顶点个数得出该图不能一笔画。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "什么是拓扑学？",
|
|
|
"ground_truth": "拓扑学是研究空间中点与点之间位置关系而不涉及距离和大小的几何学分支。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "拓扑这个术语来源于哪里？",
|
|
|
"ground_truth": "拓扑来自希腊语“位置”和“学问”的组合，由李斯廷命名。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "什么是连通网络？",
|
|
|
"ground_truth": "连通网络是一个网络的任意两个顶点之间都有路径相连的图。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "图中奇顶点的个数有什么重要意义？",
|
|
|
"ground_truth": "奇顶点的个数决定图是否可以一笔画，且一笔画的奇顶点个数只能是0或2个。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "欧拉示性数定义是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "欧拉示性数是顶点数减去棱数，是网络结构的一个度量指标。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "任意连通网络的欧拉示性数的最大可能值是多少？",
|
|
|
"ground_truth": "任意连通网络的欧拉示性数都不大于1。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "什么是树结构在图论中的定义？",
|
|
|
"ground_truth": "树是没有环的连通网络，其中任意两个顶点间只有一条路径。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "树的欧拉示性数具有怎样的性质？",
|
|
|
"ground_truth": "树的欧拉示性数恒为1。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "什么是有向网络？",
|
|
|
"ground_truth": "有向网络是在边上指定方向的连通图，表示因果或序列关系。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "什么是贝叶斯网？",
|
|
|
"ground_truth": "贝叶斯网是带有概率的有向无环的连通图，用于描述变量间的条件依赖关系。"
|
|
|
}
|
|
|
#############附中李丹50个#############
|
|
|
{
|
|
|
"question": "什么是一个数的绝对值？",
|
|
|
"ground_truth": "绝对值的代数表达：非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；绝对值的几何表达：在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫作这个数的绝对值。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何使用反证法？",
|
|
|
"ground_truth": "一个命题，从证明论证不容易表达，而反面比较容易论证的时候，会考虑使用反证法。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "怎么使用反证法？",
|
|
|
"ground_truth": "先假设原命题不成立，则原命题的反面成立，再结合已知条件、定理或基本事实，通过演绎推理，推导出与基本事实、或定理、或定义、或已知条件相矛盾的结论，从而假设不成立，原命题成立。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何设计尺规作图的教学？",
|
|
|
"ground_truth": "尺规作图在教学过程中应重视让学生想象作图后呈现的结果，再思考如何实现这样的结果，从而找到设计作图方法，不要死记硬背作图过程。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "尺规作图的教育意义？",
|
|
|
"ground_truth": "尺规作图是几何教育中不可替代的思维训练工具，能培养严谨、规范的学术态度，加深对图形结构的深层次思考，对几何直观的发展有不可替代的作用。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "初中数学有关的图形运动有哪些？",
|
|
|
"ground_truth": "图形的平移、旋转、轴对称。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "图形平移有哪些特征？",
|
|
|
"ground_truth": "平移前后的图形是全等形，平移前后对应线段平行或共线，长度相等，对应角相等；平移前后对应点所连线段平行或共线，长度相等且都是平移距离。"
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},
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{
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|
"question": "图形的旋转有哪些特征？",
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|
"ground_truth": "旋转前后的图形是全等形，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角是旋转角，旋转前后两个图形的对应边所成的角也是旋转角。"
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|
|
},
|
|
|
{
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|
|
"question": "轴对称有哪些特征？",
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|
"ground_truth": "成轴对称的两个图形全等，并且对应点的连线被对称轴垂直平分。"
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|
|
},
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|
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{
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|
|
"question": "什么是相似三角形？",
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|
"ground_truth": "对应角相等，对应边成比例的两个三角形是相似三角形。"
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|
|
},
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|
{
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|
"question": "相似三角形的性质？",
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|
"ground_truth": "相似三角形的对应边成比例，对应角相等，对应高、中线、角平分线的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。"
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|
},
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|
{
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|
"question": "相似三角形的判断方法？",
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"ground_truth": "①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似；④斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。"
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|
},
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{
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|
|
"question": "立体图形中有多少种正多面体？",
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"ground_truth": "正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体这五种正多面体。"
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|
|
},
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{
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"question": "空间的本质是什么？",
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"ground_truth": "空间的本质是距离，是维数。"
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},
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{
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|
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"question": "空间观念的核心是什么？",
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"ground_truth": "空间观念的核心是空间想象力，包括对空间静止物的想象、也包括对空间运动物的想象。"
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|
},
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{
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|
"question": "一笔画的条件？",
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"ground_truth": "一个网络是一笔画，当且仅当这个有限网络是连通的，奇顶点的个数为0或者2。"
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},
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{
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|
"question": "什么是勾股数？",
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"ground_truth": "勾股数是满足勾股定理的三个正整数，例如（3，4，5）、（5，12，13）就是两组勾股数。"
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},
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{
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"question": "勾股定理的内容？",
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"ground_truth": "在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。"
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},
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{
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"question": "勾股定理为什么那么出名？",
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"ground_truth": "勾股定理首次把代数的“数”与几何的“形”进行关联，这种跨领域的统一性对数学研究极具开创性，它的应用场景覆盖整个数学体系，在建筑、物理、航天等领域都有应用，它已经成为了数学乃至科学史上的一个标志性符号。"
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|
|
},
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{
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|
"question": "什么是“土圭之法”？",
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"ground_truth": "“土圭之法”是中国古代利用土圭（一种测量工具）观测日影来确定节气、方位和历法的方法。"
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},
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|
{
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|
|
"question": "什么是“平行公理”？",
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"ground_truth": "过已知直线外一点，存在且仅存在作一条直线与已知直线平行。"
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},
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{
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|
"question": "平行公理的地位",
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"ground_truth": "平行公理是欧氏几何的核心基础，是平面几何的逻辑起点。"
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},
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{
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"question": "什么是黎曼几何？",
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"ground_truth": "黎曼几何是19世纪由德国数学家伯恩哈德·黎曼创立的非欧几何，它以“弯曲空间”为研究对象，颠覆了欧氏几何对平直空间的假设，核心在于用曲率描述空间性质，是现代数学和物理学的重要基础。"
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|
},
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{
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"question": "黎曼几何与欧氏几何的本质区别？",
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"ground_truth": "①平行公理的颠覆：欧氏几何：过直线外一点有且仅有一条平行线；黎曼几何：过直线外一点，不存在与已知直线平行的直线（即任意两条直线必相交）。② 空间曲率：欧氏几何对应“零曲率”平直空间，而黎曼几何研究正曲率空间（如球面），其基本性质与平直空间迥异。"
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},
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{
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"question": "球面上的最短距离怎么度量？",
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"ground_truth": "球面上的最短距离要基于黎曼几何进行度量。根据黎曼几何，过球面上两点的直线是大圆，大圆的劣弧是两点间最短距离。"
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},
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{
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"question": "黎曼几何的基本特征？",
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"ground_truth": "黎曼几何的基本特征是所有的直线、即大圆都相交因此没有平行线，比如，地球上所有的经线都要相交于两极。"
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},
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{
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|
"question": "什么是笛卡尔坐标系？",
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"ground_truth": "笛卡儿坐标系是由法国数学家勒内·笛卡儿创立的坐标系统，通过引入相互垂直的数轴，将几何图形与代数方程关联起来，是解析几何的基础。"
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|
},
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{
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|
|
"question": "笛卡尔坐标系的优势？",
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|
"ground_truth": "线性直观，便于处理直线、矩形等规则图形，与代数方程的对应关系更直接。"
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|
},
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{
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|
"question": "笛卡尔坐标系产生的原因？",
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|
"ground_truth": "欧几里得几何研究的是静态的图形，而笛卡尔创建几何的初衷，就是要用代数的方法表达动点的轨迹，可以看到，要实现代数方法与几何图形的有机结合，借助坐标系是明智之举。从这个意义上看，伴随数学发展的需要，数学家发明坐标系应当是一种必然。"
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|
},
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{
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|
"question": "什么时候适合选用极坐标系？",
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"ground_truth": "极坐标擅长处理“旋转、圆形、角度”相关问题，表达方式更简洁，更能揭示对称性本质。"
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},
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{
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|
"question": "笛卡尔坐标系与极坐标系的关系？",
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|
"ground_truth": "两者可以相互转化，这两者的关系如同数学中的“直尺”与“圆规”，根据问题的几何特征选择合适的坐标系，能大幅降低计算复杂度，这也是数学工具“适配性”的魅力所在。"
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|
},
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|
|
{
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|
|
"question": "数学研究对象之间最基本的关系是什么？",
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|
|
"ground_truth": "顺序关系是数学研究对象之间最基本的关系，对数量多少的感知和对距离远近的感知，都是对顺序的感知，这是人类构建逻辑推理的前提。"
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|
|
},
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|
{
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|
|
"question": "如何描述数学？",
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"ground_truth": "数学是人创造出来的一种语言，可以用来认识、理解和表达现实世界，但数学的结论并不意味着事实本身，更不意味着就是客观的存在。"
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|
},
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{
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|
"question": "几何概念建立的原则是什么？",
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|
"ground_truth": "站在高维空间才能判断低维空间的几何特征。例如：只有在二维空间才能判断一条线是直的还是弯的，只有在三维空间才能判断一个面是平的还是曲的。因此，几何概念建立的原则是：在线上定义点，建立点与点的关系；在面上定义直线，建立点与线、线与线的关系；在体上定义平面，建立线与面、面与面的关系。"
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|
|
},
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|
|
{
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|
|
"question": "现实几何中对直线段的定义是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "面上任意两个不同点，可以有无数条线连接这两个点，称其中距离最短的连线为直线段，称这两个点为直线段的端点，称两点间的最短距离为直线段的长度。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "现实几何中对射线的定义？",
|
|
|
"ground_truth": "从直线段的一个端点出发，在面上按一个方向无限延长形成线，如果这条线上的任意两点间都构成直线段，称这条线为面上的射线。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "现实几何中对直线的定义？",
|
|
|
"ground_truth": "从直线段的两个端点出发，在面上向两个方向无限延长形成线，如果这条线上的任意两点间都构成直线段，称这条线为面上的直线。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "现实几何中对夹角的定义？",
|
|
|
"ground_truth": "对于两条具有公共端点但不重合的直线段，分别在两个直线段上截取到公共端点同样长 r 的两个点，称连接这个两点的连线为的弧，如果这个连线上的点到端点的距离都等于 r，称弧的长度为弧长，称弧长与 r 之比为面上的角 ，比值越大角度越大。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "现实几何中对三角形的定义？",
|
|
|
"ground_truth": "面上不重合的三条直线段的端点两两重合，称所形成的图形为三角形。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "现实几何中对点到直线距离的定义？",
|
|
|
"ground_truth": "不在直线上的一个点与直线上的点形成直线段，称最短的直线段为这个点到直线的垂线，称垂线的长度为点到直线的距离，称垂线在直线上的点为垂足。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "现实几何中对两条直线平行的定义？",
|
|
|
"ground_truth": "面上的两条直线，如果一条直线的所有点到另一条直线的距离都相等，称这两条直线平行。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "现实几何中对两条直线垂直的定义？",
|
|
|
"ground_truth": "面上的两条直线，如果一条直线的所有点到另一条直线的垂足都为同一点，称这两条直线垂直。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "史宁中老师提出的“现实几何”的意义？",
|
|
|
"ground_truth": "现实几何既避免了欧几里得述说不清内涵和外延的定义、也避免了希尔伯特完全脱离直觉、彻底形式化的定义。现实几何源于人们对现实世界空间形式的认识，借助了现实世界中距离的概念，在定义研究对象和研究对象之间关系的同时，也定义了传统意义的公理，因此，这样的几何不需要任何公理体系，是对现实世界的一种回归。"
|
|
|
},
|
|
|
{
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|
|
"question": "仅用无刻度直尺和圆规能三等分任意一个角吗？",
|
|
|
"ground_truth": "在数学中，用尺规作图三等分任意角是一个经典的难题。经过严谨的数学证明，尺规作图无法三等分任意角，这是已被数学界证实的结论。"
|
|
|
},
|
|
|
{
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|
|
"question": "史宁中老师对数学核心素养的高度概括表达是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "会用数学的眼光观察现实世界；会用数学的思维思考现实世界；会用数学的语言表达现实世界。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "“三会”表达的意义？",
|
|
|
"ground_truth": "这种“三会”的表达方式打破了数学与现实的壁垒，体现数学的工具性与人文性； 聚焦从“知识学习”到“素养内化”的教育目标，强调应用与迁移能力，概括了数学核心素养在观察、思考、表达层面的核心价值。"
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|
|
},
|
|
|
{
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|
|
"question": "如何理解初中数学中的三角函数？",
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|
|
"ground_truth": "初中数学学习三角函数不是为了研究函数，而是为了表达直角三角形的边角关系。"
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|
|
},
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|
|
{
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|
|
"question": "什么是“刚体变换”？",
|
|
|
"ground_truth": "“刚体变换”是指在空间中保持物体形状和大小不变的几何变换，核心是保留物体各点间距离和角度关系。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "初中数学中哪些变换属于“刚体变换”？",
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|
|
"ground_truth": "初中教材中图形的平移、旋转、轴对称都属于“刚体变换”。"
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|
|
},
|
|
|
{
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|
|
"question": "如何理解空间观念？",
|
|
|
"ground_truth": "空间观念的核心是空间想象力，包括对空间静止物的想象、也包括对空间运动物的想象，静止物是指，能够认识、想象、并且描述空间物体的形状，能够用数学的语言表达物体之间的位置关系；运动物是指，能够认识、想象、并且描述空间物体的简单运动，能够用数学的语言表达运动的规律、以及运动过程中的不变量。"
|
|
|
}
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