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三角形三边关系的证明
证明方法如下：
作下图所示的三角形ABC。在三角形ABC中，三角不等式可以表示为|AB|+|BC|＞|AC|。
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①延长直线AB至点D，并使|BD|=|BC|，连接|DC|，那么三角形BCD为等腰三角形。所以∠BDC=∠BCD。
②记它们均为α，根据欧几里得第五公理，∠ACD大于角∠ADC(α)。
③由于∠ACD的对边为AD，∠ADC(α)的对边为AC，所以根据大角对大边(几何原本中的命题19)就可以得到|AB|+|BC|=|AB|+|BD|=|AD|＞|AC|。
求证：在三角形ABC中，P为其内部任意一点。请证明：∠BPC > ∠A。
证明过程：
延长BP交AC于D
∵∠BPC是△PCD的一个外角，∠PDC是△BAD的一个外角
∴∠BPC=∠PCD+∠PDC，∠PDC=∠DBA+∠A
∴∠BPC=∠PCD+∠DBA+∠A
∴∠BPC＞∠A