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### 一、题目示例
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**注**： **因前3问题，数学模型都可以正确做答，第4题数学模型回答错误，故此处只讨论如何解决第4个子问题。**
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### 二、解决思路
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- **1、建设考点、组合考点知识库**
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- **2、建设解题思路库**
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总结解题思路，按考点、组合考点等形式收录到知识库中，比如 **三角形中有中线，倍长中线是关键，8字全等立呈现，转移边角平行线**。
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也就是经验、文字类知识内容。
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- **3、建设典型题题库**
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组织老师建设典型题库, 把最新、最典型的题目及答案，以图片等形式录入到知识库，以机器视觉进行整理保存，并利用$LLM$抽取出相应的考点，组合考点有哪些。
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比如：
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- **当学生询问一道题目时**
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- 使用大模型抽取题目中的关键特征，有哪些考点、组合考点。**注意**：这里的考点、组合考点可能不是列表形式，可能是一个树状结构的数据，比如直角三角形，中点，与直角三角线斜边中点 就存在明显差异，此处有继续优化的可能。
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- 到解题思路库中去查找最匹配的解题思路。
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使用知识图谱的相关性搜索实现。
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- 到典型题库中去查找最匹配的典型题目及相关答案、解析。
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使用知识图谱的相关性搜索实现。
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- 将上面获取到的信息做为提示信息提供给数学大模型，让其参考给定的路线、参考的同类题目进行作答。
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- **大模型总结**
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每次在它回答问题后，都要求大模型进行自我总结：
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- 本题有哪些关键考点
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- 一般的思路路径是什么？
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- 可能遇到哪些坑点？
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### 三、思考进化
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下面是我让大模型整理的一个思考样例,大模型在我提供了典型题和典型题答案的情况下，它开始自我总结，返回内容如下：
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**解题步骤及关键点分析**
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**问题描述**
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在等腰直角三角形 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle C = 90^\circ $，$ AC = BC = 4 $，点 $ D $ 为 $ AC $ 的中点，点 $ E $ 为 $ AB $ 上一动点。将线段 $ DE $ 绕点 $ E $ 顺时针旋转 $ 45^\circ $ 得到线段 $ EF $。当点 $ E $ 到 $ BC $ 的距离是点 $ F $ 到 $ BC $ 距离的 2 倍时，求 $ AE $ 的长。
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**关键步骤与思考过程**
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1. **辅助线构造**
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- 过点 $ D $ 作 $ DH \perp AB $，垂足为 $ H $，则 $ DH = AH = \sqrt{2} $（由等腰直角三角形性质）。
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- 过点 $ F $ 作 $ FK \perp EG $，垂足为 $ K $，形成矩形 $ FKGQ $，故 $ FQ = GK = GE $。
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2. **旋转性质与全等三角形**
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- 旋转后 $ DE = EF $，$ \angle DEF = 45^\circ $。
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- 通过角度关系证明 $ \triangle DHE \cong \triangle EKF $（AAS），得到 $ EK = DH = \sqrt{2} $。
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3. **距离关系与比例**
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- 根据 $ EG = 2FQ $，结合矩形性质 $ FQ = GK = GE $，得 $ EG = 2GK $。
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- 分类讨论 $ F $ 的位置（左/右）：
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- **$ F $ 在 $ BC $ 左侧**：
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$ EG = 2\sqrt{2} $，$ BG = GE = 2\sqrt{2} $，$ BE = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2} = 4 $，故 $ AE = 4\sqrt{2} - 4 $。
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- **$ F $ 在 $ BC $ 右侧**：
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$ EG = \frac{2\sqrt{2}}{3} $，$ BG = \frac{2\sqrt{2}}{3} $，$ BE = \frac{4}{3} $，故 $ AE = 4\sqrt{2} - \frac{4}{3} $。
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4. **勾股定理应用**
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- 在直角三角形中计算边长，如 $ BE = \sqrt{EG^2 + BG^2} $。
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**核心思路**
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- **旋转与全等**：利用旋转后的线段关系和角度条件，通过全等三角形建立边长等式。
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- **矩形性质**：通过构造矩形将距离关系转化为边长比例，简化计算。
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- **分类讨论**：根据 $ F $ 的位置不同，灵活调整辅助线和计算方法。
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**答案**
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当点 $ E $ 到 $ BC $ 的距离是点 $ F $ 到 $ BC $ 距离的 2 倍时，$ AE $ 的长为：
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$$
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\boxed{4\sqrt{2} - 4} \quad \text{或} \quad \boxed{4\sqrt{2} - \frac{4}{3}}
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