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##################第一部分数学推理：数学的定义、命题与推理，始于5个问题###############
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{
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"question": "什么是推理 ",
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|
"ground_truth": "推理是命题判断到命题判断的思维过程。"
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},
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{
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|
"question": "什么是数学推理 ",
|
|
|
"ground_truth": "数学推理是数学命题判断到数学命题判断的思维过程。"
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|
|
},
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|
{
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|
|
"question": "什么是命题 ",
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|
"ground_truth": "命题是一个可以判断真假的陈述句。"
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|
},
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|
{
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|
"question": "什么是数学命题 ",
|
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|
"ground_truth": " 数学命题是一个可以从数学的角度判断真假的陈述句。"
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|
|
},
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|
{
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|
"question": "数学命题有几种表达形式",
|
|
|
"ground_truth": "有两种表达形式，一种是性质命题，一种是关系命题。"
|
|
|
},
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|
{
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|
"question": "什么是数学的性质命题",
|
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|
"ground_truth": "数学性质命题是述说数学研究对象具有某种性质的陈述句。”
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|
},
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{
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|
"question": "什么是数学性质命题的表达形式",
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|
"ground_truth": "数学性质命题是由系词“是”或者“不是”构成的陈述句，如果用x表示研究对象、称为“所指项”，用p表示性质，称为“命题项”，那么表达形式为“x具有性质p”或者“x不具有性质p”，前者是正命题，后者是否命题。”
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|
},
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|
{
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|
"question": "如何用符号表示数学性质命题",
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|
"ground_truth": "如果用x表示研究对象、称为“所指项”，用p表示性质，称为“命题项”，那么数学性质命题可以用符号表示为“x→p”或者“x~p”，前者是正命题，后者是否命题。”
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|
},
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|
{
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"question": "数学性质命题与其他性质命题有什么区别",
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|
"ground_truth": "命题项为形容词的陈述句不能作为数学性质命题。比如“这个三角形是白的”可以作为命题，但不能作为数学命题。"
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|
},
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|
{
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|
"question": "为什么命题项为形容词的陈述句不能作为数学命题",
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"ground_truth": "因为数学的研究对象是抽象化的，舍弃了事物的物理属性，而形容词是对物理属性的描述。"
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},
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{
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|
"question": "数学命题的推理功能是什么",
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"ground_truth": "数学命题是推理的对象，只提供判断，数学命题本身不承担推理的功能。"
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},
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{
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|
"question": "什么是主谓对称的性质命题",
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|
"ground_truth": "主谓对称的性质命题是正命题，所指项包含的元素和命题项包含的元素均能表示为集合，这两个集合等价。"
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|
|
},
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|
{
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|
|
"question": "是否能举例说明主谓对称的性质命题",
|
|
|
"ground_truth": "比如命题“偶数是能被2整除的自然数”是主谓对称的性质命题，所指项“偶数”与命题项“能被2整除”等价。"
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},
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|
{
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|
|
"question": "什么是主谓不对称的性质命题。",
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|
"ground_truth": "正命题中，所指项是命题项的充分条件但不是必要条件；也就是，研究对象具有命题所述说的性质，但具有性质的并不只限于研究对象。"
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},
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|
{
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|
|
"question": "是否能举例说明主谓不对称的性质命题",
|
|
|
"ground_truth": "性质命题“加法是满足交换律的运算”就是主谓不对称，所指项“加法”属于命题项“满足交换律的运算”，但“满足交换律的运算”不只限于“加法”。"
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|
},
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|
{
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|
|
"question": "什么是数学的关系命题",
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|
"ground_truth": "数学关系命题由两个性质命题组成，是表达数学定理或者数学结论的基本形式，数学结论包括通过运算得到的结论。"
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|
|
},
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|
|
{
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|
|
"question": "什么是数学关系命题的表达形式",
|
|
|
"ground_truth": "如果P和Q是两个性质命题，那么关系命题的表达形式为“如果P，那么Q”或者“若P，则Q”，称P为条件、Q为结论。"
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|
|
},
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|
|
{
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|
|
"question": "可以判断的性质命题需要满足什么条件",
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|
"ground_truth": "如果一个性质命题是可以判断的，那么命题中所指项的定义必须是确切的。”
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|
},
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{
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|
"question": "什么是数学定义",
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|
"ground_truth": "数学定义是对数学研究对象的表述，包括名义定义和实质定义。"
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|
},
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|
{
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|
|
"question": "什么是数学的名义定义",
|
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|
"ground_truth": "数学的名义定义是指对某一类数学研究对象标明符号或指明称谓。"
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|
|
},
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|
|
{
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|
|
"question": "如何理解名义定义的功能与确切性",
|
|
|
"ground_truth": "数学的名义定义用于对数学最基本概念的表述，以数学公理体系作为确切性的支撑。"
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|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "什么是必须用名义定义表述的最基本概念",
|
|
|
"ground_truth": "主要包括三类：自然数及其加法的定义、以皮亚诺算术公理体系作为支撑，点、线、面及其关系的定义、以希尔伯特几何公理体系作为支撑，集合及其运算的定义、以ZF集合论公理体系作为支撑。"
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|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "什么是数学的实质定义",
|
|
|
"ground_truth": "数学实质定义用揭示内涵的方法对数学的研究对象赋予称谓。”
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|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "数学实质定义的表达形式是什么样的",
|
|
|
"ground_truth": "具有“属加种差”的结构，并且，被定义项的表达与定义项的内涵述说满足充分必要条件。”
|
|
|
},
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|
|
{→
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|
|
"question": "如何用符号表达数学实质定义",
|
|
|
"ground_truth": "如果用x表示被定义项，集合A表示种，集合B表示属，性质p表示种差，那么数学实质定义可以的符号表示为：x∈A 则 x∈B，x→p；并且 x∈B，x→p 则 x∈A。”
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|
|
},
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|
|
{
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|
"question": "是否能举例说明实质定义",
|
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|
"ground_truth": "比如“偶数是能被2整除的自然数”是实质定义，如果令A表示偶数集合，B表示有理数集合，p表示能被2整除的性质，那么任意 x∈A，则 x∈B，x→P；并且 x∈B，x→p 则 x∈A。”
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|
|
},
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|
{
|
|
|
"question": "如何理解实质定义与性质命题之间的关系",
|
|
|
"ground_truth": "主谓对称的性质命题可以作为实质定义。”
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|
},
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|
|
{
|
|
|
"question": "如何判断可以用实质定义表述的数学概念",
|
|
|
"ground_truth": "这个数学概念的所指必须足够明确，也就是说，能够把数学概念的所指与其他东西区分清楚。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "是否能举例说明：数学概念的所指与其他东西区分清楚",
|
|
|
"ground_truth": "比如作为自然数的偶数，对于任意一个给定的0以外的自然数，这个自然数要么是偶数、要么就不是偶数。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "通过名义定义到实质定义，是否能够保证数学概念的表达清晰准确",
|
|
|
"ground_truth": "能够保证数学概念的表达清晰准确，最基本概念的名义定义以公理体系作为保障，其他概念的实质定义以充分必要条件作为保障。"
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|
|
},
|
|
|
{
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|
|
"question": "构建实质定义传统意义上的规则是什么",
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|
"ground_truth": "传统意义的规则包括下面五条 ：1. 定义应当揭示种的本质属性。2. 定义不能循环。3. 定义既不能过宽又不能过窄。4. 定义不能用歧义的、晦涩的或比喻的语言表述。5. 定义可以用肯定表述就不用否定表述。"
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|
|
},
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|
{
|
|
|
"question": "一个推理过程至少涉及几个性质命题 ",
|
|
|
"ground_truth": "一个推理过程至少涉及三个性质命题，分别称为：前提命题，论证命题，结论命题。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "什么是简单推理",
|
|
|
"ground_truth": "只涉及三个性质命题的推理。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "什么是有逻辑的推理",
|
|
|
"ground_truth": "逻辑推理是从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的思维过程。"
|
|
|
},
|
|
|
{
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|
|
"question": "逻辑推理依据的规则是什么",
|
|
|
"ground_truth": "逻辑推理依据的规则是“传递性”，包括关系传递和性质传递。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何理解简单推理的传递性",
|
|
|
"ground_truth": "简单推理的传递性包括两条：第一条是整体性：前提命题的所指项或者等价物始终出现在三个命题之中；第二条是一致性：结论命题表述的性质或者关系与前提命题的表述一致。”
|
|
|
}，
|
|
|
{
|
|
|
"question": "是否能举例说明简单推理的传递性",
|
|
|
"ground_truth": "比如下面的推理过程，前提命题：实数可以比较大小。论证命题：3和5是实数。结论命题：3和5可以比较大小。“3和5”是“实数”的等价物，满足第一条；结论命题表述的关系“可以比较大小”与前提命题的表述一致，满足第二条。”
|
|
|
}，
|
|
|
{
|
|
|
"question": "什么是关系传递",
|
|
|
"ground_truth": "关系传递也称等量关系。令≈是集合上的一个二元关系，称这个关系对集合具有传递性，对于集合中的元素a，b，c，如果a≈b，b≈c，则a≈c。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "是否能举例说明关系传递性",
|
|
|
"ground_truth": "比如等号“=”或者大于号“>”，对于实数集合中的元素a，b，c，"如果a=b，b=c，则a=c"或者"如果a>b，b>c，则a>c"。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "是否把关系传递性拓展到运算",
|
|
|
"ground_truth": "可以，也称等式性质。令≈是集合上的一个二元关系，⊕是集合上的运算，称这个关系对于运算具有传递性，对于集合中的元素a，b，c，如果a≈b，则a⊕c≈b⊕c。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "是否能举例说明拓展到运算的关系传递性",
|
|
|
"ground_truth": "比如等号“=”和加法运算“+”，对于实数集合中的元素a，b，c，如果a=b，则a+c=b+c。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "关系传递性与运算还能进一步得到拓展吗",
|
|
|
"ground_truth": "可以。比如，如果a>c，b>d，那么a+b>c+d；反过来，如果a+b=c+d，那么a>c，则必然有b<d。"
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|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何理解运算与推理之间的关系",
|
|
|
"ground_truth": "四则运算及派生的方程等运算都是有逻辑的推理，因为运算的对象没有发生变化，因此得到的结论必然正确。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "性质传递有几种类型",
|
|
|
"ground_truth": "有两种类型，一种类型是满足性质的元素从多到少的推理，称为演绎推理；另一种类型是满足性质的元素从少到多的推理，称为归纳推理。"
|
|
|
}，
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何理解演绎推理中的三个命题",
|
|
|
"ground_truth": "用x表示要研究的对象，用A表示集合，用p表示性质，三个命题分别为，前提命题：集合A中的元素都具有性质p，论证命题：x是否属于A，结论命题：如果x∈A，那么x具有性质p。"
|
|
|
}，
|
|
|
{
|
|
|
"question": "什么是演绎推理的推理规则",
|
|
|
"ground_truth": "用x表示要研究的对象，用A表示集合，用p表示性质，演绎推理的推理规则为：已知集合A中的元素都具有性质p，论证x是否属于A，如果x∈A，那么x就具有性质p。"
|
|
|
}，
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何理解演绎推理的思维过程",
|
|
|
"ground_truth": "根据研究对象要满足的性质，确定满足这个性质的集合，然后论证研究对象是否属于这个集合A，如果属于，那么研究对象就具有性质这个性质。"
|
|
|
}，
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何用符号表达演绎推理的推理形式",
|
|
|
"ground_truth": "用x表示要研究的对象，用A表示集合，用p表示性质，演绎推理为：已知A→p，如果x∈A，那么x→p。"
|
|
|
}，
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何理解演绎推理的推理逻辑",
|
|
|
"ground_truth": "演绎推理是从大范围、比如一个集合中的元素满足性质这个前提出发，论证小范围、比如一个元素是否满足这个性质的结论，论证的关键是元素是否属于这个集合。"
|
|
|
}，
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何理解演绎推理的功效",
|
|
|
"ground_truth": "经过演绎推理得到的结论必然成立；如果论证了元素属于集合，那么结论命题就是前提命题的特例，因此前提命题为真则结论命题为真。演绎推理是验证数学命题的有效方法，在数学中称演绎推理的论证为数学证明。"
|
|
|
}，
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何理解数学证明中的前提命题",
|
|
|
"ground_truth": "数学证明中的前提命题往往是公理、假设、或者已经证明了的定理。在基础教育阶段，称公理为基本事实。"
|
|
|
}，
|
|
|
{
|
|
|
"question": "是否能举例说明数学证明的推理过程",
|
|
|
"ground_truth": "比如要证明“结论命题：三角形两边之和大于第三边”，分析命题的表述：用a，b，c表示三角形的三个顶点，a和b连线（的长度）加上b和c连线（的长度）大于a和c连线（的长度），如果把基本事实“两点间线段最短”作为前提命题，把论证命题设为：两边之和是点a经过点b到点c的折线，那么结论命题是前提命题的特例，根据演绎推理规则，结论命题成立。"
|
|
|
}，
|
|
|
{
|
|
|
"question": "义务教育阶段设定的代数证明的基本事实是什么",
|
|
|
"ground_truth": "设定了两个基本事实，分别是等量关系和等式性质。"
|
|
|
}，
|
|
|
{
|
|
|
"question": "是否能举例说明这两个基本事实在代数证明中的作用",
|
|
|
"ground_truth": "比如证明命题“除以一个数等于乘以这个数的倒数”，符号表达为：a÷b=a×1/b 。证明过程：用 ? 表示商，即a÷b=?；因为除法是乘法的逆运算，即a=?×b；根据等式性质，得到a×1/b =?×b×1/b，即a×1/b =?；根据等量关系，得到a÷b=a×1/b。"
|
|
|
}，
|
|
|
{
|
|
|
"question": "数学证明具有什么特征",
|
|
|
"ground_truth": "数学证明要求逻辑清晰，表达准确，简单明了。"
|
|
|
}，
|
|
|
{
|
|
|
"question": "是否能简单解释一下这三个特征",
|
|
|
"ground_truth": "逻辑清晰，是说：前提命题到结论命题充分显示了传递性特征；表达准确，是说：没有使用不清楚的概念；简单明了，是说：没有多余的与论证无关的表述。"
|
|
|
}，
|
|
|
{
|
|
|
"question": "归纳推理具有几种推理形式",
|
|
|
"ground_truth": "归纳推理有两种形式，一种形式涉及一个集合，称为归纳；另一种形式涉及两个集合，称为类比。"
|
|
|
}，
|
|
|
{ "question": "什么是归纳的推理规则",
|
|
|
"ground_truth": "用x表示研究了的对象，用A表示集合，用p表示性质，归纳的推理规则为：已知x具有性质p，论证A是否是包含x的集合，如果x∈A，那么A中的元素都具有性质p。"
|
|
|
}，
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何用符号表达归纳的推理形式",
|
|
|
"ground_truth": "用x表示研究了的对象，用A表示集合，用p表示性质，归纳为：已知x→p，如果x∈A，那么A→p。"
|
|
|
}，
|
|
|
{
|
|
|
"question": "什么是类比的推理规则",
|
|
|
"ground_truth": "用A表示研究了的集合，用B表示集合，用p表示性质，用q表示属性，类比的推理规则为：已知集合A中的元素都具有p，论证B是否与A具有相同的属性q，如果具有，那么B中的元素都具有性质p。"
|
|
|
}，
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何用符号表达类比的推理形式",
|
|
|
"ground_truth": "用A表示研究了的集合，用B表示集合，用p表示性质，用q表示属性，类比推理为：已知A→p，如果A→q且B→q，那么B→p。"
|
|
|
}，
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何理解归纳的思维逻辑",
|
|
|
"ground_truth": "归纳是从小范围、比如一个元素满足性质这个前提出发，论证大范围、比如一个集合中的元素满足这个性质的思维过程，论证的关键是确定包含这个元素的集合。"
|
|
|
}，
|
|
|
{
|
|
|
"question": "是否能举例说明归纳的推理过程",
|
|
|
"ground_truth": "比如要证明“结论命题：加法满足交换律”，前提命题为实际操作满足交换律：2+3=3+2，7+8=8+7，等等，推断：交换律这个性质是不是对所有的自然数或者实数成立，自然数或者实数就是所要论证的集合。"
|
|
|
}，
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何理解类比的思维逻辑",
|
|
|
"ground_truth": "类比是从一个集合中的元素满足性质这个前提出发，论证另一个集合中的元素满足这个性质的思维过程，论证的关键是确定这两个集合具有共同的属性。"
|
|
|
}，
|
|
|
{
|
|
|
"question": "是否能举例说明类比的推理过程",
|
|
|
"ground_truth": "比如要证明“结论命题：对于任意n维线性空间，存在n-1维超平面把这个空间分割为两个部分”，前提命题为“2维平面上存在直线把平面分为两个部分，直线是1维的”，等等，推断：这个性质对3维线性空间成立，线性空间具有许多共同属性。"
|
|
|
}，
|
|
|
{
|
|
|
"question": "能不能统一说明归纳推理的思维逻辑",
|
|
|
"ground_truth": "无论是归纳、还是类比，都是拓展满足性质的范围，是从经验过的推断没有经验的，因此得到的结论不一定正确，前提命题为真但结论命题不一定为真。"
|
|
|
}，
|
|
|
{
|
|
|
"question": "能不能统一说明归纳推理的功效",
|
|
|
"ground_truth": "无论是归纳、还是类比，虽然得到的结论不一定为真，但是，推理过程满足性质传递、是有逻辑的推理，是得到数学结论的有效方法，是创新思维的基本形式。"
|
|
|
}，
|
|
|
{
|
|
|
"question": "数学证明的思维基础是什么？",
|
|
|
"ground_truth": "数学证明是依据演绎推理规则进行的、数学命题判断到数学命题判断的思维过程，数学证明的思维基础是命题判断。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "判断数学命题的基本原则是什么",
|
|
|
"ground_truth": "三个定律：同一律、矛盾律、排中律。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "什么是数学同一律？",
|
|
|
"ground_truth": "同一律是指一个事物与自身同一，表示为A=A。基于同一律的原则，在数学论证过程中，符号表达或者概念定义必须始终保持一致，也就是说，在数学论证过程中不能变换概念。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何用数学定义表述数学同一律？",
|
|
|
"ground_truth": "如果一个集合A是确定的，那么可以确切判断一个元素x是否属于集合A，在论证过程中这个关系保持不变。"
|
|
|
}
|
|
|
{
|
|
|
"question": "为什么说模糊数学在本质上符合数学同一律",
|
|
|
"ground_truth": "虽然一个元素是否属于一个集合可以是模糊的，但是，模糊数学限定元素属于集合的程度依赖于取值闭区间 [0,1] 上的示性函数，示性函数始终保持不变。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "为什么说概率论与统计学在本质符合数学同一律",
|
|
|
"ground_truth": "虽然随机变量的取值是不确定的，但是，随机变量取某一个值的可能性大小、即概率是不变的。"
|
|
|
},
|
|
|
{
|
|
|
"question": "如何理解数学同一律的拓展形式：A=B",
|
|
|
"ground_truth": "德国逻辑学家弗雷格用A=A和A=B这两种形式讨论命题意义和命题意谓之间的差异。"
|
|
|
}
|
|
|
{
|
|
|
"question": "能否举例说明数学同一律的拓展形式：A=B",
|
|
|
"ground_truth": "比如在现代数学的基础ZF集合论公理体系中，第一个公理、即外延公理就采用了这样的表达形式 。"
|
|
|
}
|
|
|
{
|
|
|
"question": "什么是ZF集合论公理体系中的外延公理",
|
|
|
"ground_truth": "表述为：如果集合A中的元素都属于集合B，集合B中的元素都属于集合A，那么这两个集合等价，表示为A=B。"
|
|
|
}
|
|
|
{
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|
|
"question": "是否能举例说明“两个等价集合中的元素未必完全一样”,
|
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|
"ground_truth": "比如有理数的表达，A集合中的元素是所有表示为分数形式的数，B集合中的元素是所有表示为有限小数或者无限循环小数的数，虽然这两个集合中元素的形式不同，但可以证明这两种形式的数是等价的。"
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}
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{
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"question": "什么是数学矛盾律？",
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"ground_truth": "正命题与否命题不能同时成立。如果用F(p)表示一个关于性质p的正命题，用Fc(p)表示这个性质的否命题，那么可以把矛盾律表示为 F(p)∩Fc(p)=Ø的形式。"
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},
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{
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"question": "如何用数学定义表述数学矛盾律",
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"ground_truth": "如果用p表示数学性质命题中的性质，那么对于任何集合A，都不存在x∈A，使得x→p和x～p同时成立。"
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},
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{
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"question": "什么是数学排中律？",
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"ground_truth": "一个命题不是真的就是假的。如果用F(p)表示一个关于性质p的正命题，用Fc(p)表示这个性质的否命题，那么可以把排中律表示为F(p)∪Fc(p)=1的形式，即正命题与否命题必有一个成立。"
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},
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{
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"question": "如何用数学的定义表述数学排中律？",
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"ground_truth": "如果用p表示数学性质命题中的性质，那么必然存在一个集合A，使得任何x∈A，满足x→p或者x～p。"
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},
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{
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"question": "为什么说这三个定律是命题的判断原则而不是推理原则",
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"ground_truth": "因为，这三个定律涉至多涉及两个性质命题，而一个推理过程至少涉及三个性质命题，因此这三个定律的逻辑功能表现于命题的判断。"
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},
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{
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"question": "基于演绎推理的数学证明主要有几种论证方法",
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"ground_truth": "主要有三种论证方法分别是：三段论、反证法、数学归纳法。"
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},
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{
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"question": "经典三段论的构成要素是什么",
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"ground_truth": "由三个性质命题组成的论证形式，亚里士多德依次称其为：大前提、小前提、结论。它们分别对应简单推理中的前提命题、论据命题、结论命题。"
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},
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{
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"question": "经典三段论可以分为几种型",
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"ground_truth": "四种，分别是：全称肯定型、全称否定型、特称肯定型和特称否定型。"
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},
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{
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"question": "如何用数学语言表达全称肯定型的论证过程",
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"ground_truth": "亚里士多德的例子：凡人都有死。苏格拉底是人。所以苏格拉底有死。如果用A表示所有人的集合，用x表示苏格拉底这个人，用p表示死这个性质，那么上面的推理形式可以表达为：已知A→p，如果x∈A，则x→p。"
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},
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{
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"question": "如何理解全称肯定型的论证逻辑",
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"ground_truth": "与演绎推理的论证逻辑完全一样，是数学证明的主要形式。"
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},
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{
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"question": "为什么称全称肯定型的中间命题为论据命题？",
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"ground_truth": "在数学证明的过程中，前提命题通常是公理、假设或者已知事实，因为结论命题述说的性质与前提命题述说的性质是一样的，因此证明的关键在于验证中间命题是否成立，这也是称中间命题为论据命题的缘由。"
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},
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{
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"question": "如何用数学语言表达全称否定型的论证过程",
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"ground_truth": "亚里士多德的例子：没有一条鱼是有理性的。所有的鲨鱼都是鱼。所以没有一条鲨鱼是有理性的。如果用A表示所有的鱼，用x表示一条鲨鱼或者B表示鲨鱼的集合，用p表示理性，那么推理形式为：已知A～P，如果x∈A或者B⊆A，则x～p或者B～p。"
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},
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{
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"question": "如何理解全称否定型的思维逻辑",
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"ground_truth": "全称否定型的推理形式与全称肯定型一致，只是前提命题和结论命题均为否定形式的性质命题，因此可以称为：否定形式的演绎推理。"
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},
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{
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"question": "是否能举例说明如何用全称否定型进行数学证明",
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"ground_truth": "比如下面的论证过程：有理系数方程的根不可能是π，所有整数是有理数，所以整数系数方程的根不可能是π。"
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},
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{
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"question": "全称肯定型的，或者说演绎推理的一般形式是什么",
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"ground_truth": "用子集B替换元素x，论证形式为：已知A→P，如果B⊆A，那么B→P。因为一个元素也能形成子集，因此可以认为这样的表达是全称肯定型的一般形式，因此，这也是演绎推理的一般形式。"
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},
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{
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"question": "全称肯定型和全称否定型的共性是什么",
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"ground_truth": "共性是全称：前提命题表述的是一个集合A中所有元素具有或者不具有某种性质，结论命题表述这个集合的子集具有或者不具有这个性质。"
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},
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{
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"question": "如何用数学语言表达特称肯定型的论证过程",
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"ground_truth": "亚里士多德的例子：凡人都有理性。有些动物是人。所以有些动物是有理性的。如果用A表示人，用B表示动物，用p表示有理性，那么推理形式为：已知A→p，如果 A⊆B，则存在x∈B 使得 x→p。"
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},
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{
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"question": "如何用数学语言表达特称否定型的论证过程",
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"ground_truth": "亚里士多德的例子：没有一个希腊人是黑色的。有些人是希腊人。所以有些人不是黑色的。如果用A表示希腊人，用B表示人，用p表示黑色的，那么推理形式为：A～P，如果 A⊆B，则存在x∈B 使得 x～p。"
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},
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{
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|
"question": "特称肯定型的论证形式可以用于数学证明吗",
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"ground_truth": "特称肯定型的论证形式不能用于数学证明，因为数学的结论是一般的。比如哥德巴赫猜想的命题是“所有大于2的偶数都能表示为两个素数之和”，而特称肯定型是说“有些偶数可以表示为两个素数之和”，这是没有意义的。"
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},
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{
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"question": "特称否定型的论证形式可以用于数学证明吗",
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"ground_truth": "可以。为了否定结论，特称否定型的论证形式是强有力的，因为否定结论只需要举出一个反例。"
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},
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{
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"question": "是否能举例说明特称否定型论证形式的功效",
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"ground_truth": "比如“尺规作图不能三等分角”的问题，只需要论证不能三等分60度角的情况，然后利用特称否定型进一步论证：60度角不能三等分。有些角是60度的。所以有些角不能三等分。"
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},
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{
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|
"question": "什么是整体演绎推理",
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"ground_truth": 可以把一个推理过程分解为若干个简单演绎推理，首尾相接，使得后项的前提命题是前项的结论命题。"
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},
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{
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"question": "如何用数学的语言表达整体演绎推理",
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"ground_truth": 已知A→P，如果B⊆A，那么B→P ；如果x∈B，那么x→P。"
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},
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{
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"question": "如何理解整体演绎推理的传递性",
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"ground_truth": 所有命题的论证对象或者论证对象的替代物始终保持不变，最初的前提命题述说的性质与最终的结论命题述说的性质一致，因此整体演绎推理具有传递性，是有逻辑的推理过程。"
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},
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{
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"question": "是否能进一步拓展演绎推理",
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"ground_truth": "凡是能用演绎推理证明正确的推理过程都属于演绎推理，比如反证法和数学归纳法。"
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},
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{
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|
"question": "如何说明反证法的论证形式",
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"ground_truth": "把关于性质p的正命题和否命题分别表示为P和Q，希望论证P为真。反证法的论证形式：假设Q为真，得到一对矛盾的结论，根据矛盾律是不可能的，因此Q为真的假设不成立。根据排中律，正命题P为真。"
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|
},
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|
{
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|
"question": "如何证明反证法的正确性",
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"ground_truth": "由论证形式知道，反证法是矛盾律和排中律的特例，如果矛盾律和排中律为真，那么反证法为真。"
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},
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{
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|
"question": "是否能举例说明反证法的论证形式",
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"ground_truth": "比如希望论证“不存在最大素数”这个命题，建立归谬假设“存在最大素数”。用a表示最大素数，用a! 表示所有小于等于a的素数的乘积，那么自然数a!+1除以任何小于a的素数都将余1，所以是一个素数。因为a!+1大于a，与归谬假设矛盾。
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|
|
根据矛盾律，归谬假设不成立。根据排中律，归谬假设的否命题“不存在最大素数”成立。这就完成了论证过程。"
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},
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{
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|
"question": "如何理解数学归纳法的功效",
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"ground_truth": "数学归纳法可以用来论证由命题项构成的有序命题列，比如可以把有序的命题列表示为 P(1)，P(2)，…，P(n)，… 的形式，其中每一个P(n)都是一个命题或者算式。"
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},
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{
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|
"question": "如何说明数学归纳法的论证形式",
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"ground_truth": "三个步骤：(1)，验证命题P(1)。如果正确，则(2)，假设命题P(k)正确，验证命题P(k+1)。如果正确，则(3)，命题列的所有P(n)正确。"
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},
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{
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|
"question": "如何论证数学归纳法论证形式的正确性",
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|
"ground_truth": "用反证法。归谬假设：数学归纳法得到的结论不正确。令m是使有序命题P(m)不正确的最小自然数。因为验证了P(1) 的正确性，所以m≧2。因为m是使有序命题不正确的最小的自然数，因此有序命题P(m-1) 正确。但论证形式表明，P(m)正确，引发矛盾。根据矛盾律，归谬假设不成立。根据排中律，归谬假设的否命题“数学归纳法得到的结论正确”为真。"
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},
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|
{
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|
|
"question": "如何理解数学归纳法的思维逻辑",
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|
"ground_truth": "数学归纳法的思维逻辑是：用过去的经验事实验证现在，如果验证现在是正确的，那么就认为未来是正确的。"
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},
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{
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|
"question": "是否能举例说明数学归纳法的论证形式",
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"ground_truth": "令P(n)=1+2+…+n，论证P(n)=n(n+1)/2。(1)，n=1时P(1)=1，正确。(2)，假设命题P(k)正确，得到等式：1+2+…+k=k(k+1)/2，等式两边都加上k+1，得到1+2+…+k+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)=(k+1)(k+2)/2=P(k+1)。(3)，命题列所有的P(n)成立。"
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},
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