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数学中的符号表达
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古代代数学的顶峰大概是在古希腊数学家丢番图（Alexandria Diophantus，约公元250年前后）的时代，现有资料表明，是丢番图首先把抽象的符号引入代数学。他甚至给出了相当现在1/x、以及x的3次以上幂的表现形式，这在当时被认为是极度抽象的、甚至是难以想象的。因为当时的人们普遍认为一个数的2次幂是平方、3次幂是立方，都有具体的几何背景，但3次以上幂就没有具体的几何背景了，因此这样表示是没有意义的。
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丢番图还知道一元二次方程有两个根，但不知道如何处理这两个根，于是他规定：如果两个根均为有理数，那么取较大的一个；如果有根为无理数或者虚数，那么这个方程不可解。这样，话题13中所说的毕达哥拉斯学派发现 √2是无理数就是一个特例了，因为 √2是方程x2 = 2 的一个根，当时的人们认为这样的方程是不可解的。
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丢番图最感兴趣的问题是方程的正整数解，他把许多重要结果写在《算术》这本书中。现在，人们称求方程整数解的问题为丢番图问题。但是，丢番图绝对不会想到的是，他的《算术》这本书引发了一个著名的猜想，这就是费马大定理。
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费马大定理。这个定理与勾股定理关系密切。在勾股定理a2 + b2 = c2 中，a、b和c表示直角三角形的三个边长，三个边长可能为整数，比如a = 3、b = 4和 c = 5。法国数学家费马（Pierre Simon de Fermat，1601－1665）把问题推广到一般的n次幂的代数等式，并且猜想：对于一般的情况、即n ≧ 3时，等式
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an + bn = cn
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不存在整数解，也就是说，不存在同时为整数的a、b、c使得上面的等式成立。因此对这样的一类等式，勾股定理（即n = 2的情况）是一个特例。费马是在读丢番图《算术》这本书拉丁版的问题8时想到这个问题的，以定理的形式把这个结论写在这一页的扉页上：
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不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个4次幂写成两个4次幂之和；或者，总的来说，不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次幂之和。
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问题是简洁的，结论是清晰的，但证明却是相当困难的。经历了三个多世纪，经过几代数学家的不懈努力，于1993年这个问题终于被英国数学家怀尔斯（Sir Andrew John Wiles，1953-）解决，长达130页的论文发表于1995年。
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第一个有意识地使用字母表示抽象运算的是法国数学家韦达（Francois Viete，1540-1603）。在韦达之前，人们只解决带有数字系数的方程，比如一元二次方程。当时的人们认为像3x2 + 2x = 1和2x2 + 3x = 5这样的两个方程是不一样的，虽然他们知道求解的方法是类似的。后来，韦达用
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ax2 + bx + c = 0
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的形式一般性地表示一元二次方程，其中a、b、c这些字母系数可以表示任何数。因为把方程由数字系数抽象到了字母系数，于是研究的是一类方程的计算方法。借助字母系数，韦达给出了一般的求根公式，这样，对于具体的数字系数，只要代入公式就可以得到解。不仅如此，韦达还借助字母研究了根与系数之间的关系：如果用x1和x2 表示方程的两个根，那么方程的根与系数之间的关系为
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x1 + x2 = -b/a，x1·x2 = c/a。
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这个公式阐明了方程的本质：由系数可以得到根，同时，知道了根可以推算系数。为了纪念韦达，人们把这个公式称为韦达定理。
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韦达在1591年出版的《分析艺术引论》一书中划分了算术与代数的区别：算术以及数字系数的方程是与数打交道，是数字计算；代数是作用于事物的类别或形式上的方法，是类型计算。很显然，如果没有韦达给出的字母系数的表达方法，就不可能有代数学今天的发展。
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最初，韦达用拉丁文的辅音字母表示已知量，元音字母表示未知量。后来，解析几何的创始人法国哲学家、数学家笛卡尔（Rene Descartes，1596-1650）完成了代数符号的改进工作，用拉丁字母的前几个字母a、b、c表示已知量，用后几个字母x、y、z表示未知量，这种表示方法沿用至今。
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在今天，无论是自然科学还是社会科学、甚至包括人文学科，用符号表达概念、关系、法则已经成为一种常识。下面，考虑一个几何学的例子。
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勾股定理。古代中国很早就知道了直角三角形边长之间的关系，人们称这个关系为勾股定理或者商高定理。这些名称大概来源于《周髀算经》，因为这本书中记载，当周公问商高：古代伏羲在制定历法时是如何计算太阳高度的，商高回答：
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勾广三，股修四，径隅五。
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商高是用具体数字来回答问题的：如果一个直角三角形两个直角边（勾和股）的长度分别为3和4，那么斜边（径）的长度就是5。虽然商高的回答没有述说一般性的结论，但商高显然知道：对应直角边成比例的两个直角三角形相似，因此，我们可以把商高的述说理解为一般性的结论。《周髀算经》没有对定理进行证明。
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现在我们知道，这个关系可以用符号表示为
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a2 + b2 = c2，
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其中a和b分别表示两条直角边长，c表示斜边长。可以看到，这样的表达既简洁又确切，从中可以充分体会到利用符号表达公式的意义。
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不用符号表达的弊病。学会用抽象的符号表达一般的数学关系和运算法则，绝不是一件轻而易举的事情。但是，不进行抽象符号表达至少会带来两个弊病：一是很难进行更加深入的研究，二是很难进行知识的传播。古代中国有过许多重要的数学成果，就是因为没有抽象为符号表达，后来这些数学成果没有得到深入，也没有得到传承，比如，元代数学家朱世杰（1249－1314）的工作。朱世杰在1303年左右出版了数学著作《四元玉鉴》，这部著作述说了许多高维的数学问题，比如，书中提出的“四元术”是一种解多元高次联立方程组的方法、提出的“招差术”是一种高次内插法；书还述说了从立体角度思考的数学问题，比如，书中提出的“垛积术”就是一种从立体层面考虑的三维的级数求和方法。可惜的是，在朱世杰的这部书中，无论是问题的提出、还是结果的描述几乎都是具体的数值，没有抽象成一般性的符号表达，因此，很难让人理解问题的本质和结果的含义，也能难让人揣摩解决问题的思路，因此明清以后几乎就没有人能够理解朱世杰的工作了。
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数学抽象的本质。由此可见，用抽象的符号来表述概念从而形成数学的研究对象，用抽象的符号来表示研究对象之间的关系从而形成命题，对数学是何等重要。那么，到底什么是数学的抽象呢？数学抽象的本质是什么呢？我们还是回顾亚里士多德的论述。在《形而上学》一书中，亚里士多德对抽象的方法阐述到：
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数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉感性的东西诸如轻重、软硬、冷热，剩下的只有数量和关系，而各种规定都是针对数量和关系的规定。有时研究位置之间的关系，有时研究可通约性，还研究各种比例等等。…… 数学家把共同原理用于个别情况，…… 等量减等量余量相等，这便是一条对所有量都适用的共同原理。对于数学研究而言，线、角，或者其他的量（的定义），不是作为存在而是作为关系。
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事实正是如此，数学抽象至少要把握两条：一条是去掉现实世界中事物的那些感性的东西，只保留事物的数量特征或者图形特征、以及数量或者图形之间的关系，并且创造符号、建立概念来表达这些特征和关系，比如，创造自然数的符号、并且建立等于、大于这样的概念来表示自然数之间的关系；再比如，抽象出点、线、面、角这样的图形、并且建立属于、之间这样的概念来表示图形之间的关系；另一条是数学的使命不是研究那些抽象出来的概念本身，而是研究概念之间的关系，并且建立运算法则和数学命题来表述这种关系。这样，在本质上，数学只有两种形式上的抽象：一种是数量与数量关系的抽象，一种是图形与图形关系的抽象。
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那么，抽象了的东西是如何存在的呢？显然，抽象了的东西不可能是具体的存在。比如数字3，在这个世界上并不存在一个抽象了的3，而只存在具体的三匹马、或者具体的三头牛。因此，抽象了的符号和概念不是具体的存在，其存在性体现于每一个具体。
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或许可以这样说，抽象了的符号或者概念是一种抽象的存在，存在于人们的大脑之中。比如，我们看到足球、看到乒乓球，可以抽象出圆的概念，但是脱离了足球、脱离了乒乓球，我们仍然有圆的概念，借助这样的概念我们能够在黑板上画出圆来，甚至借助这样的概念我们可以定义圆、可以研究圆的各种性质。显然我们画出来的圆、我们讨论的圆，依赖的是头脑中存在的抽象了的圆，而不是曾经看到过的足球、乒乓球的简单复制，关于这一点，正如明代画家郑板桥（1693-1765）所说的那样：“我画的是胸中之竹，不是眼中之竹。”我们称这样的存在为抽象了的存在。 |
