dsProject/dsRag/Txt/MATH_1_117.txt

借助算术公理体系解释加法运算
正如在话题6中所说的那样，可以通过“直接后继”的方法，每次加1可以依次得到所有的自然数。显然，这样产生的自然数不是与现实物体对应的、通过问题2中所说的模式“抽象”出来的，而是借助公理体系“定义”出来的：2是1的后继数，3是2的后继数，…… 。
事实上，通过这种定义也得到了加法运算。因为符号“=”表示的是一种等价关系，这种等价关系有一个很重要性质，那就是对称性。可以把这个对称性表示为
a = b ←→ b = a。
因此，通过这个等价关系，就可以得到了加法运算。比如，与话题6中（A1）式的定义对应，就可以得到加法运算规则
1 + 1 =  2, 2 + 1 = 3, 3 + 1 =  4， ……                                               （A2）
虽然（A2）与（A1）的表示是等价的，但两种表示的含义却有着本质的不同:（A1）定义的是自然数，（A2）定义的是自然数的加法。有了这个加法定义之后，借助公理体系中的第9条就可以严格地得到一般的加法运算。我们来论证这个问题。
第9条述说的是数学归纳法的公理框架，其中的关系可以述说如下。令P(a) 是与元素a有关的命题，用A表示关于命题P成立的元素a所构成的集合。这样，利用公理9可以知道：对于任何自然数a（表示为a∈N），如果命题P(a) 成立（表示为a∈N∩A），则必然有P(a+1) 成立（表示为a+1∈A），那么，这个命题对所有自然数N都成立（表示为N⊆A）。这正是数学归纳法的公理框架，参见话题17。下面，我们借助数学归纳法定义自然数的加法运算。
从0开始，对于任意自然数a∈N，由公理6可以得到a+1。
如果对于自然数b∈N，得到了a+b，
那么，可以进一步得到
a+(b+1)=(a+b)+1。
根据公理9，加法对a加以所有的自然数成立。
因为a是任意自然数，所以加法对所有自然数成立。
上面的论述过于抽象，为了便于理解，我们举一个具体的例子来说明上面的论述。比如，首先定义基于自然数5的加法，通过公理6可以得到5+1。又因为
5 + 2 = 5 + (1 + 1) = (5 + 1) + 1，
就得到了5 + 2。进一步，因为
5 + 3 = 5 + (2 + 1) = (5 + 2) + 1，
就得到了5 + 3。如此类推，就得到了所有基于5的自然数的加法运算。而“如此类推，就可以得到”的合理性是由公理9保证的。因为上面论证的出发点自然数5是任意选取的，这就证明了加法运算对于所有的自然数是成立的。
    大多数人都会认为，这样产生加法真是繁琐、实在是多此一举。可以为了数学的严谨性，数学家们不能不这样小心翼翼。也正因为如此，我们才在问题9中强调，在小学数学的教学中，不能用这样的定义的方法来讲解自然数的加法，而应当采用对应的方法。
有了加法，我们就可以明确地在自然数集N上定义大小关系了：对于a, b∈N，称a大于b，如果存在不为0的自然数c∈N，使得a = b + c。把大于关系记为：a﹥b。类似地，可以定义小于关系，用a﹤b表示a小于b。进一步，还可以用第9条数学归纳公理证明数学中著名的“三歧性”定理：对于a, b∈N，下面三种情况：a﹤b，a = b，a﹥b，有且仅有一种情况成立。
无论如何，借助公理体系定义加法运算是可行的、也是严谨的。正是因为有了这样的严谨，在加法运算基础上产生的四则运算、以及后来的极限运算也都有了根基，使得数学能够得到合理发展。