dsProject/dsRag/Txt/MATH_1_110.txt

： 什么是概率？如何得到概率？
在上面的几个问题中多次谈到了随机性。经验告诉我们，在日常生活和生产实践中，一些事情可能发生、也可能不发生，可能这样发生、也可能那样发生，人们通常称这样的事情为随机事件。而统计学和概率论的研究对象就是随机事件。
概率是指随机事件发生可能性的大小，在一般意义上，这个可能性的大小是未知的。因为概率的英文单词是probability，于是人们通常用英语字母 p 表示概率。虽然概率是未知的，但生活经验告诉我们：可以认为概率是一个非负的、不大于1的数，即 0 ≦ p ≦ 1。当概率p = 0 时认为随机事件发生的可能性为0，即意味着这个事件几乎不能发生；当概率p = 1 时认为随机事件发生的可能性为1，即意味着这个事件几乎必然发生；而其他的随机事件都在几乎不能发生和几乎必然发生之间。
至少可以有两种方法得到未知的概率：一种方法就是前面谈到的估计的方法，比如问题28中所说的估计红球所占比例，如果把这个比例理解为摸出红球的可能性的大小的话，那么问题28的操作过程就是在估计概率；还有一种方法就是不借助数据而直接根据背景定义概率，定义的概率实质上就是对随机事件发生可能性大小的一种度量，这个度量是人们在理想状态制定出来的。
要度量就必须构建度量的背景，人们通常称这种背景为模型。在整个义务教育阶段，关于概率的内容只涉及到古典概率模型，简称为古典概型。古典概型描述的是这样的背景：事件发生的可能结果是有限的，发生每种结果可能性的大小是一样的；进一步用数学语言阐述就是：如果事件发生的可能结果有n个，那么发生每个结果的可能性的大小都是1/n。详细讨论参见附录的话题30。
我们通过问题28中所讨论的摸球的例子说明古典概率模型中的概率是如何定义的。显然，摸球的背景是典型的古典概型：因为有5个球，每次摸球必然要摸到这5个球中的1个，因此结果是有限的；因为是在袋子里随机摸球，因此摸到每个球的可能性的大小是一样的，都是1/5。下面考虑随机事件的概率是如何定义的。如果随机事件是：摸一次球，摸到的是红球；用A表示这个事件。因为有4个红球，而这4个红球都有可能被摸到，因此定义随机事件A的概率为：P(A) = 4/5。如果随机事件是：摸一次球，摸到的是白球；用B表示这个事件。因为只有1个白球，因此定义随机事件B的概率是：P(B) = 1/5。显然，如果摸一次球，那么摸到的不是红球就是白球，因此有P(A) + P(B) = 1。
进一步考虑复杂一些的例子，通过复杂的例子可以更好地了解概率是如何定义的，可以更清晰地把握定义概率的理由和背景是什么。假如考虑的随机事件是：有放回地摸两次球，两次摸到的都是红球；用C表示这个事件。因为袋子里有5个球：4个红球1个白球，因此就球的颜色而言，有放回地摸两次球可能会出现四种情况：红红、红白、白红、白白。所谓红红是指摸两次都是红球，如果把四个红球编上号：1、2、3、4，那么，摸到的两个红球就可能有11、12、13、14、21、…、44 这样不同的搭配。不难计算，一共有16个不同的搭配，或者说有16个不同的结果。根据同样的想法，四种情况的可能结果数分别为
红红的可能结果数 = 4 × 4 = 16；红白的可能结果 = 4 × 1 = 4；
白红的可能结果数 = 1 × 4 = 4；白白的可能结果数 = 1 × 1 = 1。
因此，摸球两次一共有16 + 4 + 4 +1 = 25 个可能结果，摸两次都是红球有16个可能结果。根据前面定义概率同样的思路，可以定义这个随机事件的概率为P(C) = 16/25。事实上，因为事件C是事件 A 连续发生两次，因此也可以通过计算直接得到
     P(C) = P(A)·P(A) = 4/5 × 4/5 = 16/25。
可以看到，两种方法得到的概率是一样的，因此这样定义的概率是相容的、或者说是无矛盾的。通过类似的计算方法，有兴趣的读者可以得到其他的一些结果，比如，摸两次球都是白球的概率，摸两次球得到一个红球一个白球的概率，等等。
通过上面具体例子的说明，我们可以总结古典概型定义概率的方法了。如果用 N 表示所有可能结果的个数，用 M 表示事件A发生的可能结果的个数，那么定义事件A发生的概率为
P(A) = M/N。
因为事件A可能发生的结果必然是所有可能结果中的一部分结果，因此有0 ≦ M  ≦ N，因此必然有0 ≦ M/N ≦ 1，即0 ≦ P(A) ≦ 1，这个结果与前面关于概率的约定是一致的。也可以完全通过语言来表示这个定义：
P(A) = 事件A的可能结果数 / 所有的可能结果数。
可以看到，上面关于概率的定义是非常合理的，是符合人们通常思维的。但我们也必须认识到，这样的定义依然是人为的，是人们在理想模型下构建出来的。正因为如此，在构建定义的初期，还是有许多学者通过抛掷硬币等实验手段，对这样定义的合理性进行了验证，关于这个问题更详细的讨论可以参见附录的话题30。
附录：若干与小学数学有关的话题