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数学抽象的本质。由此可见,用抽象的符号来表述概念从而形成数学的研究对象,用抽象的符号来表示研究对象之间的关系从而形成命题,对数学是何等重要。那么,到底什么是数学的抽象呢?数学抽象的本质是什么呢?我们还是回顾亚里士多德的论述。在《形而上学》一书中,亚里士多德对抽象的方法阐述到:
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数学家用抽象的方法对事物进行研究,去掉感性的东西诸如轻重、软硬、冷热,剩下的只有数量和关系,而各种规定都是针对数量和关系的规定。有时研究位置之间的关系,有时研究可通约性,还研究各种比例等等。…… 数学家把共同原理用于个别情况,…… 等量减等量余量相等,这便是一条对所有量都适用的共同原理。对于数学研究而言,线、角,或者其他的量(的定义),不是作为存在而是作为关系。
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事实正是如此,数学抽象至少要把握两条:一条是去掉现实世界中事物的那些感性的东西,只保留事物的数量特征或者图形特征、以及数量或者图形之间的关系,并且创造符号、建立概念来表达这些特征和关系,比如,创造自然数的符号、并且建立等于、大于这样的概念来表示自然数之间的关系;再比如,抽象出点、线、面、角这样的图形、并且建立属于、之间这样的概念来表示图形之间的关系;另一条是数学的使命不是研究那些抽象出来的概念本身 |