dsProject/dsLightRag/Doc/知识图谱数据库如何增加大模型解数学题能力的思考.md

一、题目示例

注： 因前3问题，数学模型都可以正确做答，第4题数学模型回答错误，故此处只讨论如何解决第4个子问题。

​

二、解决思路

• 1、建设考点、组合考点知识库

• 2、建设解题思路库

​ 总结解题思路，按考点、组合考点等形式收录到知识库中，比如 三角形中有中线，倍长中线是关键，8字全等立呈现，转移边角平行线‌。

​ 也就是经验、文字类知识内容。

• 3、建设典型题题库

​ 组织老师建设典型题库, 把最新、最典型的题目及答案，以图片等形式录入到知识库，以机器视觉进行整理保存，并利用$LLM$抽取出相应的考点，组合考点有哪些。

比如：

• 当学生询问一道题目时

  • 使用大模型抽取题目中的关键特征，有哪些考点、组合考点。注意：这里的考点、组合考点可能不是列表形式，可能是一个树状结构的数据，比如直角三角形，中点，与直角三角线斜边中点 就存在明显差异，此处有继续优化的可能。

  • 到解题思路库中去查找最匹配的解题思路。

    使用知识图谱的相关性搜索实现。

  • 到典型题库中去查找最匹配的典型题目及相关答案、解析。

    使用知识图谱的相关性搜索实现。

  • 将上面获取到的信息做为提示信息提供给数学大模型，让其参考给定的路线、参考的同类题目进行作答。

• 大模型总结

  每次在它回答问题后，都要求大模型进行自我总结：

  • 本题有哪些关键考点
  • 一般的思路路径是什么？
  • 可能遇到哪些坑点？

三、思考进化

下面是我让大模型整理的一个思考样例,大模型在我提供了典型题和典型题答案的情况下，它开始自我总结，返回内容如下：

解题步骤及关键点分析

问题描述

在等腰直角三角形 \triangle ABC 中，$ \angle C = 90^\circ ， AC = BC = 4 ，点 D 为 AC 的中点，点 E 为 AB 上一动点。将线段 DE 绕点 E 顺时针旋转 45^\circ 得到线段 EF 。当点 E 到 BC 的距离是点 F 到 BC 距离的 2 倍时，求 AE $ 的长。

关键步骤与思考过程

1. 辅助线构造

   • 过点 D 作 $ DH \perp AB ，垂足为 H ，则 DH = AH = \sqrt{2} $（由等腰直角三角形性质）。
   • 过点 F 作 $ FK \perp EG ，垂足为 K ，形成矩形 FKGQ ，故 FQ = GK = GE $。

2. 旋转性质与全等三角形

   • 旋转后 $ DE = EF ， \angle DEF = 45^\circ $。
   • 通过角度关系证明 $ \triangle DHE \cong \triangle EKF （AAS），得到 EK = DH = \sqrt{2} $。

3. 距离关系与比例

   • 根据 $ EG = 2FQ ，结合矩形性质 FQ = GK = GE ，得 EG = 2GK $。
   • 分类讨论 F 的位置（左/右）：
     • F 在 BC 左侧：
       $ EG = 2\sqrt{2} ， BG = GE = 2\sqrt{2} ， BE = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2} = 4 ，故 AE = 4\sqrt{2} - 4 $。
     • F 在 BC 右侧：
       $ EG = \frac{2\sqrt{2}}{3} ， BG = \frac{2\sqrt{2}}{3} ， BE = \frac{4}{3} ，故 AE = 4\sqrt{2} - \frac{4}{3} $。

4. 勾股定理应用

   • 在直角三角形中计算边长，如 $ BE = \sqrt{EG^2 + BG^2} $。

---

核心思路

• 旋转与全等：利用旋转后的线段关系和角度条件，通过全等三角形建立边长等式。
• 矩形性质：通过构造矩形将距离关系转化为边长比例，简化计算。
• 分类讨论：根据 F 的位置不同，灵活调整辅助线和计算方法。

---

答案

当点 E 到 BC 的距离是点 F 到 BC 距离的 2 倍时，AE 的长为：

\boxed{4\sqrt{2} - 4} \quad \text{或} \quad \boxed{4\sqrt{2} - \frac{4}{3}}