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一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
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1. 已知集合 \(A=\left\{x \mid -5 < x^{3} < 5\right\}, B=\left\{-3,-1,0,2,3\right\}\)，则 \(A \cap B=\) 【答案】A
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A. \(\{-1,0\}\) B. \(\{2,3\}\) C. \(\{-3,-1,0\}\) D. \(\{-1,0,2\}\)
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【解析】\(A \cap B=\{-1,0\}\)，选 A。
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2. 若 \(\frac{2}{z-1}=1+i\)，则 \(z=\) 【答案】C
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A. \(-1-i\) B. \(-1+i\) C. \(1-i\) D. \(1+i\)
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3. 已知向量 \(\vec{a}=(0,1)\)，\(\vec{b}=(2,x)\)，若 \(\vec{b} \perp (\vec{b}-4\vec{a})\)，则 \(x=\) 【答案】D
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A. \(-2\) B. \(-1\) C. \(1\) D. \(2\)
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【解析】\(\vec{b}-4\vec{a}=(2,x-4)\)，\(\vec{b} \perp (\vec{b}-4\vec{a})\)，\(\therefore \vec{b}(\vec{b}-4\vec{a})=0\)，
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\(\therefore 4+x(x-4)=0\)，\(\therefore x=2\)，选 D。
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4. 已知 \(\cos(\alpha+\beta)=m\)，\(\tan \alpha \tan \beta=2\)，则 \(\cos(\alpha-\beta)=\) 【答案】A
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A. \(-3m\) B. \(-\frac{m}{3}\) C. \(\frac{m}{3}\) D. \(3m\)
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【解析】\(\left\{\begin{array}{l}\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta=m \\\frac{\sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}=2\end{array}\right.\)，\(\therefore \left\{\begin{array}{l}\sin \alpha \sin \beta=-2m \\\cos \alpha \cos \beta=-m\end{array}\right.\)
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\(\cos(\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta=-m-2m=-3m\)，选 A。
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5. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 \(\sqrt{3}\)，则圆锥的体积为 【答案】B
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A. \(2\sqrt{3}\pi\) B. \(3\sqrt{3}\pi\) C. \(6\sqrt{3}\pi\) D. \(9\sqrt{3}\pi\)
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【解析】设它们底面半径为 \(r\)，圆锥母线 \(l\)，\(\therefore 2\pi r\sqrt{3}=\pi rl\)，\(\therefore l=\sqrt{3}\)，则圆锥的体积为 \(\frac{1}{3}\pi r^{2}h\)。 |