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"为什么说除法是乘法的逆运算"相关教学设计
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（孙兴华 长春市树勋小学）
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有关教学内容：除法的认识
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课程标准要求：（第二学段）在具体运算和解决简单实际问题的过程中，体会加与减、乘与除的互逆关系。
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课程标准要求学生体会乘与除的互逆关系。如问题13中所叙述的那样，可以有两种方法表示乘与除的互逆关系：一种方法是基于运算的，可以用符号表示为
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a ÷ b = y ←→ a = b × y；
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一种方法是基于倒数的，可以用符号表示为
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a ÷ b = a × (1/b)。
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对于后一种表示方法，称1/b为b的倒数，因此，后一种表示方法可以用语言叙述为："除以一个数等于乘以这个数的倒数"。这种表示方法更多地应用于分数的除法："除以一个分数等于乘以这个分数的倒数"。因此，在学生最初认识倒数时，更多地是关注分数的倒数。
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教学片断设计：认识倒数
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> 1. 通过分数认识1
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教师通过媒体演示，把一个月饼分为六份（如上第一个图所示）。教师指着其中的一份、并以回忆的口气询问学生：
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"每份月饼是原来月饼的多少？"
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当学生回答1/6以后，教师在黑板上书写：1×1/6 =
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1/6。然后，教师通过媒体演示（如上第二个图所示），把二份月饼合并、继续提问：
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"二份月饼是原来月饼的多少？
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当学生回答2/6以后，教师在黑板上书写：2×1/6 = 2/6。......
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然后，教师通过媒体演示（如上第三个图所示），把六份月饼合并起来、继续提问：
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"六份月饼是原来月饼的多少？"
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这时，学生的回答可能是各式各样的。教师要引导学生理解：六份月饼就等于原来的一个月饼。最后，教师在黑板上书写：6×1/6
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= 1。
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2. 通过1认识分数的倒数
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教师组织学生活动。教师提供两组填空题，同桌两名同学分别计算其中一组：
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A：3 × ﹏ = 1，1/4 × ﹏ = 1，12 × ﹏ = 1，1/15 × ﹏ = 1。
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B: 3/4 × 4/3 = ﹏ ， 7/2 × 2/7 = ﹏ ， 5/9 × 9/5 = ﹏ ，7/6 × 6/7 = ﹏
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。
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要求学生填空后，观察算式的特点是什么？同桌讨论后，班级同学交流。通过讨论，希望同学能够感悟：对于任意给定非0自然数或者分数，总存在一个数与给定数的乘积为1，并且，这个数与给定数以分数形式上下颠倒。教师总结：对于数a，称a
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与1/a 互为倒数：a × 1/a = 1；如果这个数是分数n/m，则称m/n
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与n/m互为倒数：n/m × m/n = 1。最后，教师给出一般结论：如果
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a × b = 1，
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称a和b互为倒数。然后再补充说：因为任何数乘以0到不能为1，所以0没有倒数。
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3. 通过倒数计算除数为分数时的除法
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仍然回到分月饼的媒体演示。如上面第一个图所示：把一个月饼分成六份。教师提出问题：
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"半块月饼是一个月饼的多少？"
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当学生回答1/2以后，教师在黑板上书写"1/2"。然后利用媒体演示，如上第二个图所示：把六份月饼分为相等的两堆（两堆各三份），教师引导学生思考：
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"我们已经知道了1份月饼是整个月饼的1/6，那么，半块月饼有几份呢？"
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当学生回答3份以后，教师在黑板上的"1/2"后面接续写出：
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1/2 ÷ 1/6 = 3
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然后分小组让学生讨论：这个3是如何得到的呢？教师一边巡视小组讨论、一边启发学生思考：除法与乘法有什么关系呢？讨论后每个小组派代表汇报，教师在学生汇报时要把握住两个要点：1/2
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× 6 = 3；6是1/6的倒数。于是，教师可以根据学生讨论的情况给出算式：
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1/2 ÷ 1/6 = 1/2 × 6 = 3
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这样，就可以启发学生得到结论：除以一个分数等于乘以这个分数的倒数。这时，教师需要引发学生思考：我们只计算了一个特殊的例子，这个结论是不是对别的问题也是正确的呢？教师进一步用媒体解释一个复杂的问题：
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1/2 ÷ 2/6 = ？
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我们来计算这个问题。教师启发学生思考：
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"2/6是1/6的两份，是整个月饼的多少呢？"
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当学生回答1/3以后，教师通过媒体把月饼分为3个1/3（如上第三个图所示），继续提问：
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"半块月饼是多少个1/3呢？"
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学生的回答可能是五花八门的，教师可以引发学生注意：半块月饼是一个1/3加上半个1/3（如图所示，利用原来的一份是1/6），在黑板上书写：
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1 + 1/2 = 3/2。
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于是，教师一边总结说："半块月饼有3/2个1/3"，一边在黑板上书写：
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1/2 ÷ 2/6 = 3/2。
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然后启发学生回答："2/6的倒数是多少？"当学生回答是6/2或者3以后，教师在黑板上写出总结的算式：
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1/2 ÷ 2/6 = 1/2 × 6/2 = 1/2 × 3 = 3/2。
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最后，教师一边指点算式一边引导学生说："除以一个分数等于乘以这个分数的倒数。"
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教学设计分析：这个片段包含的教学内容比较多，并不要求在一节课内完成，也不要求用连续的几节课完成，只是为了说明如何利用倒数来解释分数的除法。倒数在本质上表述的是两个数之间的关系：互为倒数。虽然可以用倒数来解释、并且计算除法，但是：定义倒数需要乘法、认识倒数关键在于1。因此，教学片断在内容安排上，首先通过分数重新认识1，是为了表示1是一个整体，这就为后来"用倒数计算除数是分数时的除法"的教学打下了伏笔。
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片段讲解倒数的过程是由个别到一般，因此教学过程大量使用媒体是必要的，目的是为了让学生感悟倒数的意义。遵循这样的教学过程至少有两个好处：一是可以感悟通过倒数来计算除法的道理，二是容易解释为什么0没有倒数。 |
