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### 代数式与整式复习资料 一、代数式 1. 代数式的概念
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由数和字母用运算符号连接所成的式子称为代数式。特别的，单独的一个数或一个字母也是代数式。
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2. 代数式的书写规则
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- 如果式子中出现了乘号，通常写作点或者省略不写。
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- 数字与字母相乘时，常把数字放在字母的前面。
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- 如果出现了除法，通常写成分数的形式。 3. 列代数式示例
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- 某瓜子的单价为16元每千克，购买N千克：16N元。
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- 1500米跑步测试，某同学跑完全程的成绩是T秒，平均速度：1500/T 米每秒。
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- 练习本单价1元，圆珠笔单价2元，买A本练习本和B支圆珠笔的总价：A + 2B 元（带单位的相加或相减式子要用括号括起来）。 4. 代数式的值
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一般的，用数值来代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系，计算得出的结果，称为代数式的值。
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5. 代数式求值方法
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- 直接代入法：例如当A=2，B=-1，C=-30时，求B²-4AC的值，直接代入计算得25。
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- 整体代入法：例如若A²+2A-1=0，求2A²+4A-1的值，可由A²+2A=1，整体代入得2×1-1=1。 二、整式 1. 整式的相关概念
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- 整式：单项式和多项式统称为整式。
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- 单项式：由数和字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或者一个字母也是单项式。
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- 单项式的次数：所有字母的指数和。
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- 单项式的系数：单项式中的数字因数（注意负号）。
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- 多项式：几个单项式的和。
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- 多项式的项：多项式中的每个单项式，不含字母的项叫做常数项。
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- 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数。 2. 整式的加减运算
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- 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。
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- 合并同类项法则：系数相加减，字母和字母的指数保持不变。
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- 去括号法则：括号前是正号，去掉括号后各项不变号；括号前是负号，去掉括号后各项都变号。 3. 整式的乘法运算
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- 幂的运算：
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- 同底数幂相乘：底数不变，指数相加（a^m · a^n = a^(m+n)）。
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- 幂的乘方：底数不变，指数相乘（(a^m)^n = a^(mn)）。
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- 积的乘方：各因式分别乘方，再把所得的幂相乘（(ab)^n = a^n b^n）。
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- 单项式与单项式相乘：系数、相同字母的幂分别相乘，单独的字母连同指数作为积的因式。
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- 单项式与多项式相乘：用单项式去乘多项式中的每一项（m(a+b+c) = ma+mb+mc）。
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- 多项式与多项式相乘：用一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式中的每一项（(m+n)(a+b) = ma+mb+na+nb）。 4. 乘法公式
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- 平方差公式：两数的和乘以这两数的差等于两数的平方差（(a+b)(a-b) = a²-b²）。
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- 完全平方公式：两数的和（或差）的完全平方等于两数的平方和加上（或减去）它们乘积的二倍（(a±b)² = a²±2ab+b²）。
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- 常见恒等变换：a²+b² = (a+b)²-2ab = (a-b)²+2ab；(a+b)² = (a-b)²+4ab。 5. 整式的除法运算
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- 同底数幂相除：底数不变，指数相减（a^m ÷ a^n = a^(m-n)，a≠0）。
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- 单项式除以单项式：系数、相同字母的幂分别相除，单独的字母连同指数作为商的因式。
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- 多项式除以单项式：用多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。 6. 因式分解
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- 定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式（整式乘法的逆运算）。
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- 方法：
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- 提公因式法：如果多项式中含有相同的因式，提取出来（ma+mb+mc = m(a+b+c)）。
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- 公式法：利用平方差公式（a²-b² = (a+b)(a-b)）和完全平方公式（a²±2ab+b² = (a±b)²）进行分解。
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- 步骤：一提（提公因式）、二套（套公式）、三检验（分解到不能再分解为止）。 7. 因式分解示例
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- x³-9x = x(x²-9) = x(x+3)(x-3)
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- 16x⁴-1 = (4x²+1)(4x²-1) = (4x²+1)(2x+1)(2x-1)
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- -9x²y+6xy²-y³ = -y(9x²-6xy+y²) = -y(3x-y)²
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- (2a-b)²+8ab = 4a²-4ab+b²+8ab = 4a²+4ab+b² = (2a+b)²
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### 总结
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通过以上复习，应熟练掌握代数式的概念及求值方法，整式的相关概念，整式的加减、乘除运算，乘法公式的应用以及因式分解的方法和步骤。 |