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小学数学教学中的若干问题
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史宁中
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东北师范大学数学与统计学院
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目 录
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前言
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第一部分 数的认识
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问题1 数量是什么？数量关系的本质是什么？
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数量是对现实生活中事物量的抽象 / 数量关系的本质是多与少
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问题2 如何认识自然数？
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数是对数量的抽象 / 数关系是对数量关系的抽象：大与小 / 可以有两种方法实现这种抽
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象：对应的方法和定义的方法
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问题3 表示自然数的关键是什么？
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十个符号和数位 / 数位法则是依次相差十倍 / 自然数集合
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问题4 如何认识自然数的性质？
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依据性质可以对自然数进行分类 / 奇数与偶数 / 素数与合数
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问题5 如何认识负数？
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负整数是与自然数数量相等意义相反的数 / 绝对值表示数量
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问题6 如何认识分数？
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分数本身是数而不是运算 / 整体与等分关系 / 整比例关系
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问题7 如何认识小数？
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对应的方法 / 重新理解十进制 / 基底与线性组合 / 表示有理数与无理数
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问题8 什么是数感？
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数与现实的联系 / 抽象的核心是舍去现实背景 / 联系的核心是回归现实背景
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第二部分 数的运算
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问题9 如何解释自然数的加法运算？
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可以有两种方法解释加法：对应的方法和定义的方法 / 如何体现数学思想
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问题10 为什么说减法是加法的逆运算？
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四则运算源于加法 / 减法是加法的逆运算 / 相反数 / 整数集合
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问题11 乘法是加法的简便运算吗？
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自然数集合上的乘法 / 乘法运算的性质 / 整数集合上的乘法不是加法的简便运算
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问题12 整数集合上的乘法是如何得到的？
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整数集合上的乘法运算是一种推广 / 为什么负负为正 / 运算与算理等价
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问题13 为什么说除法是乘法的逆运算？
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如何表示除法 / 得到的商是一个整数 / 得到的商不是整数 / 倒数 / 有理数集合
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问题14 为什么混合运算要先乘除后加减？
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运算次序的两个基本法则 / 所有混合运算都是在讲述两个以上的故事
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问题15 为什么要学习估算？
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精算有利于培养抽象能力 / 估算有利于培养直观能力 / 估算问题要有合适的实际背
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景：合适的量纲 / 大多数的估算问题是为了得到上界或者下界
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问题16 什么是符号意识？
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用字母表示数 / 代数学的开始 / 两类符号：概念符号和关系符号 / 基于符号的运算 /
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符号的表达具有一般性
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问题17 方程的本质是什么？
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用字母表示未知的量 / 讲述的是现实世界中的两个故事 / 两个故事的共同点 / 要用等
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式的性质解方程
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问题18 什么是模型？小学数学中有哪些模型？
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用数学的语言讲述现实世界中一类与数量有关的故事 / 总量模型 / 路程模型 / 植树模型 / 工程模型
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问题19 发现问题和提出问题有什么不同？
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从双基到四基 / 发现问题与创新意识 / 提出问题与创新能力
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第三部分 图形与几何
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问题20 为什么要把“空间与图形”修改为“图形与几何”？
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时间和空间是人类认识世界最为基本的概念 / 几何学是研究如何构建空间度量方法的
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学科 / 欧几里得几何是平直的 / 欧几里得几何的核心是直线距离
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问题21 如何理解点、线、面、体、角？
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看到的物体都是立体的 / 点、线、面、体、角是从立体图形中抽象出来的概念 / 如何用
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描述的方法给出几何概念
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问题22 认识图形的教育价值是什么？
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更重要的是让学生学会分类 / 制定标准和遵循标准 / 培养学生的抽象能力
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问题23 如何理解长度、面积、体积？
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长度是一维空间图形的度量 / 面积是二维空间图形的度量 / 体积是三维空间图形的度
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量 / 度量的基础是直线距离
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问题24 如何理解平移、旋转、轴对称？
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图形的运动 / 保持两点间直线距离不变：刚体运动 / 运动的参照物
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问题25 如何理解空间观念和几何直观？
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空间观念的本质是空间想象力 / 直观是对事物的直接判断因此是经验层面的 / 直观能
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力的养成依赖本人参与其中的思维活动 / 几何直观不限于几何甚至不限于数学
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第四部分 统计与概率
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问题26： 为什么要强调数据分析观念？
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统计学研究的基础是数据 / 描述数据分析 / 推断数据分析 / 通过样本推断总体
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问题27： 三种统计图之间有什么共性和差异？
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直观地表述数据是三种统计图的共性 / 条形统计图表述数量的多少 / 扇形统计图表
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述数量的比例 / 折线统计图表述数量的变化
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问题28： 如何理解数据的随机性？
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随机性与不确定性有所区别 / 减少系统误差 / 减少人为因素 / 估计是统计推断的重
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要手段 / 最大似然估计 / 通过样本频率估计概率
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问题29： 平均数的意义是什么？
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样本平均数不仅是一个算式 / 误差模型 / 误差的随机性：正负抵消和为零 / 样本平均
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数是随机的 / 样本平均数是无偏估计
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问题30： 什么是概率？如何得到概率？
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概率是随机事件发生的属性 / 概率是未知的 / 估计概率 / 定义概率 / 定义概率是一
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种度量 / 古典概率模型
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附录1 若干与小学数学有关的话题
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话题1 几种古代的数字符号
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话题2 数量的本质
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话题3 数量多少的比较
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话题4 十进制的自然数
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话题5 十二进制与六十进制
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话题6 公理体系定义的自然数
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话题7 借助算术公理体系解释加法运算
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话题8 公理体系的必要性与数学证明的形式
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话题9 加法运算和减法运算性质的证明
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话题10 负数的意义
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话题11 用符号表示分类
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话题12 素数的故事
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话题13 有理数与无理数
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话题14 用反证法证明 √2是无理数
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话题15 数学证明的思维过程
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话题16 逻辑推理的思维起点
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话题17 数学归纳法的逻辑基础
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话题18 用小数定义有理数和无理数
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话题19 乘法的定义
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话题20 除法运算规定0不能为除数
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话题21 除数是分数时的除法运算
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话题22 数学中的符号表达
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话题23 路程模型：绝对时间和相对时间
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话题24 几何学的由来
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话题25 欧几里得《几何原本》
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话题26 几何基本概念的进一步抽象
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话题27 长度单位的确定
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话题28 曹冲称象与浮力
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话题29 统计学的由来
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话题30 概率的定义和基于概率模型的估计
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附录2 相关内容的教学设计
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问题2“如何认识自然数”的相关教学设计
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问题3“表示自然数的关键是什么”的相关教学设计
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问题4“如何认识自然数的性质”的相关教学设计
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问题5“如何认识负数”的相关教学设计
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问题6“如何认识分数”的相关教学设计
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问题7“如何认识小数”的相关教学设计
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问题8“什么是数感”的相关教学设计
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问题9“如何解释自然数的加法运算”的相关教学设计
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问题11“乘法是加法的简便运算吗”的相关教学设计
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问题13“为什么说除法是乘法的逆运算”相关教学设计
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问题14“为什么混合运算要先乘除后加减”的相关教学设计
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问题15“为什么要学习估算”的相关教学设计
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问题16“什么是符号意识”的相关教学设计
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问题17“方程的本质是什么”的相关教学设计
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问题18“小学数学中有哪些模型” 的相关教学设计
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问题21“如何理解点、线、面、体、角”的相关教学设计
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问题23“如何理解长度、面积、体积”的相关教学设计
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问题24“如何理解平移、旋转、轴对称”相关教学设计
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问题27“三种统计图之间有什么共性和差异”相关教学设计
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问题29“平均数的意义是什么”相关教学设计
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前 言
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自从1998年担任东北师范大学校长以后，我开始关注基础教育，但关注的是一般性的问题，并没有深入到学科内部。2005年，接受教育部的委托，担任了《义务教育数学课程标准》修改组的组长以后，才开始真正思考数学教育。思考课程标准应当规定哪些教学内容，为什么要规定这些内容，这些内容的教育价值是什么？思考数学的本质是什么，应当如何在教学中体现这些本质？进一步，开始思考数学教育的本质，为了学生一生的发展，在义务教育阶段应当实施一种什么样的数学教育？开始思考培养创新性人才的核心是什么，应当通过什么样的教学活动进行培养？
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思考的结果，促使我在传统的课程目标、即基础知识和基本技能这“双基”的基础上，又加上了数学的基本思想和基本活动经验，形成了“四基”的课程目标。与传统的“双基”不同，基本思想和基本活动经验是一种隐性的东西，不言而喻，恰恰是这种隐性的东西体现了数学素养。我确信：数学素养的培养、特别是创新人才的培养是“悟”出来的而不是“教”出来的；数学的结果是“看”出来的而不是“证”出来的。可以想象，会“悟”会“看”的底蕴是把握数学思想，会“悟”会“看”的教育是一种经验的积累（包括思维的经验和实践的经验），需要受教育者本人的思考和实践，因此，受教育者本人参与其中的教育教学活动是至关重要的。
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令人欣慰的是，“四基”的提出得到修改组的成员的一致支持，后来又得到数学家、数学教育专家、教研员、以及活跃在教学第一线教师的广泛支持。这样的支持迫使我更加深入地思考：数学基本思想是什么？为此，我给出了一个判定数学基本思想的准则，这个准则包含两条：一是数学的产生和发展所必须依赖的那些思想；二是学习过数学的人与没有学习过数学的人的思维差异。这样，就把数学思想归纳为三方面的内容，可以用六个字表达：抽象、推理、模型。我计划写六本书来说明这些想法，即每一方面的内容写两本书。在东北师范大学出版社的敦促下，已经写完五本并陆续出版了。
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恰逢中国的基础教育要实现从“能上学”到“上好学”的转变，这个转变的核心是：实现教育公平，提高教学质量；实现这个转变的基础是：全员提高教师的教育教学水平。于是在我国，由政府主导的大规模的中小学教师培训开始了，培训内容从教育理念到教学方法是全方位的。在这个培训中，修改了的课程标准的解读与实施就自然而然地成为了重要内容。在培训的过程中，我收到了许多问题：有来自培训者的、也有直接来自学员的；有教育理念的、也有教学内容的。在回答问题的过程中，我深切地感悟到基础教育阶段的数学教育应当有所变化，而变化的依据就是“四基”。
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比如小学数学。小学阶段所涉及到的数学内容几乎都是常识性的，只要记住一些法则就会计算；此外，小学生的抽象能力、特别是演绎推理能力尚未养成，不应当、也不可能过多地讲授数学道理。或许就是因为这些原因，在我国长期以来就形成了基于“双基”的数学教学，不仅影响到了小学、并且影响到了整个基础教育。这种教学的目标是：基础知识（主要是概念和法则的记忆）扎实，基本技能（主要是计算和证明的能力）熟练；适于这种教学目标的主要教学形式是：通过大量反复的练习，达到记忆扎实、熟能生巧；对应于这种教学目标的考试是：概念的记忆与理解，计算的准确与速度。显然，对于这样的考试而言，上面所说的教学形式是合适的，效果也是明显的。简而言之，就短期行为而言，上面所说的教学方法是简便有效的。但是，这样的教学形式不利于培养学生的数学素养，不利于让学生感悟数学的思想，不利于帮助学生积累思维的和实践的经验，更不利于培养学生的创新意识和创新思维。因此，这样的教学形式将无法实现基于“四基”的课程目标。
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基于“四基”的课程目标对中小学数学教师提出了更高的要求，除了传统的“双基”之外，还要求教师：能够把握教学内容的数学实质、并且能够设计出符合学生认知规律的教学过程让学生感悟这些实质；引发学生思考问题、并且帮助学生建立起良好的独立思考习惯；引导学生能够正确地思维与实践、并且帮助学生积累思维的和实践的经验。在同样的条件下，一个人的事业成功与否，并不仅仅取决于知识掌握的多少，还取决于这个人的思维方法。毋庸置疑，为了实现新的教学目标就必须改变传统的教育理念和教学方法。
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这本书的写作目的就是讲述小学数学内容的实质，探讨能够实现“四基”课程目标的、适合小学生认知规律的表达方式和教学方法。为了讲述得更加直接，这本书尝试以回答问题的方式来讲述这些内容，其中大部分问题来自数学教育工作者和教学一线的数学教师。一共30个问题，我希望通过对这30个问题的理解就能够把握小学数学的核心，就可以增强教学的信心。作为小学阶段数学知识的拓展，又在附录1中设定了30个话题，了解这些话题的内容对于教学是有益处的。在问题和话题中，都没有直接涉及到“综合与实践”，因为我们讨论的问题针对的都是数学内容。既便如此，在问题和话题的讨论过程中多次特别提到，有些内容可以在“综合与实践”的课程中实现，进一步，这些想法还体现在附录2的相关教学内容设计之中。
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为了启发教师把“问题”所涉及的内容落实于具体的教学活动，东北师范大学教育科学学部的马云鹏教授组织了长春市的几位优秀小学教师，编写了部分教学片断设计。这些教师有着丰富的教学经验和饱满的工作热情。我多次参加他们的研讨会，商定了编写原则和编写体例，并且对他们编写的每一个教学设计都做了认真修改，这些内容构成了附录2。需要说明的是，这些教学片断的设计是为了说明“问题”内容的教学实现，而不是为了具体的教学活动，因此，所设计的内容含量与教学时间无关，只是供教师在设计自己的教学活动时参考。
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因为小学数学所涉及的内容，无论是基本概念（比如自然数、负数、有理数、点线面角等）还是基本法则（比如四则运算、交换律、分配率、全等、距离等）都是最基础的、因而是最本质的，要把这些本质的东西讲述清楚往往是非常困难的，因此我想，这本书的内容对于中学数学教师、甚至对大学生和大学教师都是有参考价值的。
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我没有小学数学的教学经验，也没有系统地研究过课程论和教学方法，因此，这本书的内容述说可能并不完全符合实际，特别是关于如何实施教学的那些内容。但是我相信，数学教育工作者、活跃在教学第一线的教研员和广大的教师有着无限的创造力，只要理解了这本书所述说的内容和理念，就一定能够创造出生动活勃、行之有效的教学方案和教学方法。
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第一部分 数的认识
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数是对数量的抽象，因此在认识数之前，首先要认识数量。但是，无论是认识数量还是认识数都不是数学的本质，数学的本质是：在认识数量的同时认识数量之间的关系，在认识数的同时认识数之间的关系。数量之间最基本的关系是多与少，与此对应，数之间最基本的关系是大与小。从零开始，依据数之间的大小关系就产生了自然数，表示自然数的关键在于十个符号和数位。
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为了减法运算的需要，人们把自然数集合扩充到整数集合；为了除法运算的需要，人们把整数集合扩充到有理数集合。减法运算和除法运算都是逆运算，因此，逆运算是数集合扩充的原因，详细讨论参见第二部分：数的运算。
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虽然可以把分数看作除法运算，但分数更重要的还是数，人们用这种数表示自然数之间的两种重要关系：一种是整体与等分的关系，一种是比例关系。最初人们用分数定义有理数，后来又用有限小数和无限循环小数定义有理数，这两个定义是等价的。
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问题1 数量是什么？数量关系的本质是什么？
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数量是对现实生活中事物量的抽象。从远古时代开始，在日常生活和生产实践中，人们就需要创造出一些语言来表达事物（事件与物体）量的多少，比如，狩猎收获的多少，祭祀牺牲的多少等等。在古代中国，这样的表述可以追溯到商代的甲骨文，参见附录的话题1。虽然在这样的表达中出现了数字，但这些数字都是有具体背景的：在这样的表达中，数字后面都有后缀名词。在现代汉语中，一些表示数量的后缀名词的具体形式已经被根深蒂固地保留下来了，比如，一粒米、两条鱼、三只鸡、四个蛋、五匹马、六头牛、七张纸、八顶帽子、九件衣服、十条裤子等等。我们称这种有实际背景的、关于量的多少的表达为数量。
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在上面的表达中，其中的数字还不具有数字符号的功能，只能把这些数字理解为与数量有关的事物的记载：一粒米与一头牛是不可同日而语的，虽然都是数量“一”的具体例子；此外，这样的表达是不利于进行运算的：一粒米加上一头牛是什么呢？因此，虽然数量是对现实世界中与量有关的事物的一种抽象，但数量还不能作为数学研究的对象，数学研究的对象应当是比数量更为一般的抽象。为了实现更为一般的抽象，就必须把握数量的本质，这个本质表现在数量的关系之中。
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数量关系的本质是多与少。经验告诉我们，动物也能够分辨清楚的东西，这些东西往往就是本质的。动物能够分辨多与少，一个生动的例子可以参见附录的话题2，因此，可以认为：数量关系的本质是多与少。可是，当人们还不会计数时，如何准确地分辨数量的多与少呢？
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对于同样的东西，问题还是比较简单的，因为数量是一个一个多起来的。比如，四个苹果是在三个苹果的基础上又多了一个苹果，所以四个苹果要比三个苹果多；同样的道理，五个苹果要比四个苹果多；又因为“多”的关系具有传递性，因此五个苹果要比三个苹果多。“少”与“多”是对应的，因此用同样的方法可以理解“少”。
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对于不同的东西，问题将变得比较复杂，因为很难理解四粒米要比三头牛多。这时，可以采用对应的方法来比较多少，比如，有若干个苹果，还有若干个橘子，如何判断是苹果多、还是橘子多呢？可以实施下面的过程来判断多少：把苹果看作一个集合，把橘子也看作一个集合；从苹果的集合中拿出一个，同时也在橘子的集合中拿出一个；重复这个过程，如果最后苹果的集合中还有剩余，这就说明：苹果的数量比橘子的数量多，反过来也说明：橘子的数量比苹果的数量少。我们称这种比较数量多少的方法为对应，人们最初就是用这种对应的方法来比较数量的多少，一些例子可以参见附录的话题3。在现代数学中，人们把这种对应的方法应用于无穷集合大小的比较。
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从上面的讨论可以看到，比数量更为一般的抽象，或者说，能够成为数学研究对象的抽象已经呼之欲出了。但是，应当如何来描述这个抽象呢？
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问题2 如何认识自然数？
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数是对数量的抽象，数的关系是对数量关系的抽象。在问题1中已经谈到，为了更好地研究现实世界中量的关系，就必须对数量进行更一般的抽象。抽象的结果就是自然数。在这个抽象过程中，人们把数量关系也一并抽象出来，形成数的关系。数量关系的本质是多与少，与此对应，数的关系的本质是大与小。因此，自然数是对数量、以及数量关系的抽象。可以有两种方法实现这种抽象，或者说，可以有两种方法认识自然数。
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一种方法是基于对应的。基于对应的抽象过程大概是这样的：首先利用图形对应表示事物数量的多少，然后再对图形的多少进行命名，最后把命名了的东西符号化。比如，
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□□ ←→ 2，
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□□□ ←→ 3，
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…… （1）
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在汉语中，分别称其为“二”和“三”。其中，小方块表示任何元素，既可以表示小石头（参见附录的话题3），也可以表示苹果或者橘子；符号“←→”表示对应关系。
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因为上面的表达具有一般性，因此可以把表达（1）称为模式，其中小方块就是沟通数量与数字之间对应关系的桥梁。之所以称这样的表达为模式，是因为这样的表达具有一般性，我们称能够表达或者解决一类数学问题的方法为模式。
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可以看到，这种基于现实背景认识自然数的方法是直接的、也是深刻的，因此，我国现行小学数学教材普遍采用的就是这样的写法，在教学过程中普遍采用的也是这样的教学方法。进一步，因为数量的“多与少”对应于数的“大与小”，所以从（1）的对应法则应当让学生知道：3﹥2。
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一般来说，需要从两个角度来把握这种抽象：在形式上，自然数去掉了数量后面的后缀名词；在实质上，自然数去掉了数量所依赖的具体背景。自然数的抽象过程深刻地表明，数学不是研究某一个有具体背景的东西，数学研究的是一般的规律性的东西；反过来，人们又可以把一般性的结果应用于某一个具体的事物，这就体现了数学的价值。比如，人们通过抽象了的自然数研究运算方法，反过来，又把自然数的运算方法应用于具体的数量运算。
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一种方法是基于定义的。数的定义紧紧地依赖于数的关系、即大小关系。通过大小关系定义自然数的方法在本质上是利用了“后继”的概念。比如，先有1；称1的后继为2，2比1大1，表示为2 = 1 + 1；称2的后继为3，3比2大1，表示为3 = 2 + 1；……，通过这样的后继关系，人们就得到了自然数。最初规定自然数是从1开始的，后来为了更一般的表示，又规定自然数从0开始。关于定义自然数的详细讨论参见附录的话题6。
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可以看到，通过定义认识自然数的方法完全排除了现实背景，这样的方法过于抽象，不适于小学阶段的数学教学。但是，作为数学教师应当知道这样的方法，并且要理解其中的逻辑关系，因为数学的严谨性是从数的定义开始的。
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在教学过程中还应当注意到，读数和用符号表示数是有所不同的，用符号表示数比读数更加抽象。在读数的过程中，人们只需要用一个词与数量的多少对应起来就可以了，比如，用“十”对应于“十个”那么多、用“百”对应“百个”那么多。但是，这样的方法对于符号表示是不可能的，因为不可能创造出无穷多个符号来表示数。那么，表示自然数的关键是什么呢？
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问题3 表示自然数的关键是什么？
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表示自然数的关键是十个符号和数位。十个符号是与十进制联系起来的，因为在使用二进制时只需要两个符号。人们在日常生活中之所以采用十进制，大概与人有十个手指头有关，正如前面问题所讨论的那样，人们在规定“数”的时候考虑到了对应，而十进制就是对应于人的十个手指头。在现实生活中，与数量有关的规定还有十二进制和六十进制，这些规定大多与时间有关、与古代历法有关，参见附录的话题5。
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自然数有无穷多个，可是，为什么用十个符号就能够表示所有的自然数呢？关键在于数位：在个位上的2与在十位上的2所表示的自然数是不同的，在表示过程中0起到了重要的作用，参见附录的话题4。从小到大，十进位的数位法则是依次相差十倍。即十个“个”是“十”、十个“十”是“百”、十个“百”是“千”，十个“千”是“万”等等。在现行小学教科书中，解释如何认识一万时说：一万是由十个一千产生的。这样的解释是不合适的，事实上，是“万”这个数位是十个“千”，而不是说一万这个数是十个“千”，数与数位是不同的 。在问题2中已经讨论过，数是一个一个大起来的，据此可以这样认识一万这个数：已经知道用千位表示的最大数是9999，现在又多了1，那么，应当如何称呼这个新的数是什么呢？在中国称这个数为“一万”，在西方称这个数为“十千”，但符号表示是一样的：10000。
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有了十个符号与数位，读自然数的法则是：符号 + 数位。比如，下面的形式
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十 个
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2 3
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表示的是两个“十”和三个“个”，在通常情况下读为二十三，符号表示为23。同样的道理，把两个“十”和零个“个”读为二十，符号表示为20。进一步，
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千 百 十 个
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3 0 0 2
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表示的是三个“千”零个“百”零个“十”和两个“个”，可以直接读为：三千零百零十二，在通常情况下可以简约读为：三千零二，符号表示为3002。更为详细的讨论可以参见附录的话题4。
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数位的名称。因为各民族传统文化的不同，对于数位的读法也不尽相同。比如，基于汉语的东亚语言系统的数位基础是四，即数位是
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个 十 百 千；万 十万 百万 千万； 亿 十亿 百亿 千亿； 兆 ……
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其中个、万、亿、兆所代表的数位分别是第1、5、9、13，差为4。与此不同的是，基于拉丁语的欧洲语言系统的数位基础是三，即数位是
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个 十 百；千 十千 百千；百万、十百万、百百万；十亿 ……
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其中个（ones）、千（thousands）、百万（millions）、十亿（billions）所代表的数位（digit）分别是1、4、7、10，差为3。虽然数位的读法不同，但用符号表示出来的“数”是一致的。现代会计系统源于西方，因此，所有会计报表中记账数字的数位基础是三。
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自然数集合。基于十个符号与数位就可以用符号表示所有的自然数，一般用N表示自然数集合：
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N = { 0, 1, 2, 3, … }。
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这种表示显示了自然数的序有开头无结尾。
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人类发明十进位的自然数计数系统实在是一件非常了不起的事情，这个发明经历了相当漫长的抽象过程，甚至现今仍然有一些原始部落还没有抽象出完整的数字概念，那里的人们只能分辨一、二和许多 ，详细讨论参见附录中的话题4。因此，在小学阶段的数学教学中，不可能让学生完全理解数的抽象过程，但是，应当努力创设出一些情景让学生清晰地感悟到这个抽象过程，比如，在问题2中曾经强调过的利用对应的方法。
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问题4 如何认识自然数的性质？
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虽然自然数是数学中最简单、最基础的研究对象，但要研究清楚自然数的性质却不是一件容易的事情，一些著名的命题和猜想都与自然数的性质有关。
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在下面的讨论中将会看到，依据性质可以对自然数进行分类。在2011年颁布的《义务教育数学课程标准》中强调了分类，因为“分类讨论问题”有助于人们认识事物的本质，这也是中国人认识问题的传统思维模式，这种思维模式一直影响到当代中国 。分类的核心是构建一个标准，基于这个标准把所要研究的东西分为两个、或者两个以上的集合，使得每一个要研究的东西属于、并且唯一属于某一个集合。因此，这里所说的标准实际上就是所要研究的重要性质：标准与性质是等价的。或许可以说，凡是不能用于构建分类标准的性质都不是重要的，参见附录的话题11。
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人们最常见的、也是小学数学教学内容包括的对自然数的分类主要有两种：一种是奇数与偶数的分类；一种是素数与合数的分类。
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奇数与偶数。可以有两种方法进行这样的分类，一种方法针对自然数序：从1开始每隔1个称其为奇数，从2开始每隔1个称其为偶数；一种方法针对非0自然数：称不能被2整除的为奇数，能被2整数的为偶数。所说的两种方法是等价的，有兴趣的读者可以尝试性地给出证明。乍一看，这样的证明几乎无从下手，但完成这样的证明能够体会到数学的严谨性。
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一个非常有趣的现象是，几乎所有民族在日常生活中遇到与数量有关的事件，都会通过数的奇偶性、或者一些特殊的数字来推断事件的凶吉，特别是对一些重大事件的推断，比如中国的《易经》就利用数的奇偶来表示阴阳，参见附录的话题12。另一方面，知道数的奇偶性也有利于直观判断运算结果：奇数加偶数为奇数，奇数加奇数为偶数，偶数加偶数为偶数；奇数乘奇数为奇数，偶数乘偶数为偶数。最后的性质被用来证明 √2是无理数，参见附录的话题14。
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素数与合数。对于非0自然数，人们称只能被1和自己整除的数为素数（质数），其他的数为合数（为了研究问题的方便，人们规定1既不是素数也不是合数）。比如，2，3，5等就是素数，4，6，9等就是合数。人们发现：任何一个合数都可以表示为若干个素数的乘积，并且表示方法是唯一的，比如，60 = 2×2×3×5，这样，60就与素数组（2，2，3，5）唯一对应。于是人们认为素数是最基本的数，加强了对于素数的研究，参见附录的话题12。
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后来，年轻的高斯（Johann Gauss，1777-1855）把这种表达方式引入高次方程的研究，高斯在他的博士论文中给出了代数基本定理，用代数因子乘积的方法清晰地构建了高次方程的基本结构 。对于一个n次多项式
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f(x) = xn + an-1 xn-1 + … + a1 x + a0，
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其中a0，a1，…, an-1 为多项式的系数，x 表示未知数。代数基本定理述说了这样一个基本事实：存在n个实数或者复数x1，…，xn,使得
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f(x) = (x - x1) … (x - xn)。
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这样，很容易验证x1，…，xn 都是方程f(x) = 0的根。也就是说，代数基本定理给出了一个非常重要的结果：在复数范围内，n次方程必然有n个根，并且，这些根是由系数唯一确定的。
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顺便说一句，二次方程因式分解中的十字相乘法不是本质的、因而是不重要的，因为通过求根公式可以得到方程的根，然后用上述高斯的方法就可以写成两个因式的乘积。
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问题5 如何认识负数？
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在小学阶段、甚至在整个义务教育阶段，数学教学中所涉及到的数都有明确的现实背景（所涉及到的法则也都有着明确的现实背景），负数也不例外。因此，虽然可以通过减法来定义负数，但负数的本质还是对数量的抽象，所代表的意义与正数是完全相反的。比如，某一个家庭每个月底都要计算这个月的收支情况，第一月份盈余30元钱，第2月份亏损15元钱，那么，应当如何用数字符号来表示这个家庭的收支情况呢？如果用自然数表示盈余，那么就需要创造出一个新的数来表示亏损。人们通常称这样的数为负数：用负数表示亏损。
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人们约定：在自然数的前面加上符号“-”表示负数，并称这个符号为“负号”。比如，在2的前面加上负号就变成了-2。用这样的方法表示负数是非常有道理的，因为负数与对应的自然数在数量上是相等的，表示的意义是相反的：一个是盈余、一个是亏损；一个是向西，一个是向东；一个是前进，一个是后退。所以，在一个自然数的前面加上符号“+”或者“-”是为了表示这个数量的性质，分别称其为“正数”或者“负数”。后来，人们定义距离和绝对值也是基于这个道理，并且根据现实生活的经验规定：
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数量越大（或者说绝对值越大）的正数越大；
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数量越大（或者说绝对值越大）的负数越小；
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0是正数和负数的分水岭，既不是正数也不是负数。
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这样，上面所说的那个家庭的收支情况就可以表示为：+30，-15，或者简约表示为：30，-15。因此，负数是因为日常生活和生产实践的需要创造出来的，并且，与正数的教学方法一样，也可以用这种对应的方法进行负数的教学。
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现有资料表明，最早提到负数、并且给出了正负数加减运算法则的是中国的《九章算术》 ，在这本书的“方程”篇中讨论了“正负术”，用不同颜色的算筹解释了加减法的运算法则，一个具体的例子可以参见附录中的话题10。大约在公元628年左右，印度数学家婆罗摩芨多（Brahmagupta，约598-665）给出了负数的四则运算 。
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通过上面的讨论可以看到，负数与减法运算关系密切，而减法运算又依赖于加法运算，关于这个问题更详细的讨论参见问题10。
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问题6 如何认识分数？
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虽然可以把分数看作是除法运算的一种表示（参见问题13），但分数本身是数而不是运算。人们通常称形如a/b的数为分数，称其中的a为分子b为分母，在一般情况下，要求分子和分母都是正整数。古希腊的学者对分数进行了深入的研究，他们最初认为现实中的所有数量关系都能写成分数的形式，也就是说，所有的数都能够用整数表示，后来发现 √2 不能写成分数的形式，于是称能写成分数形式的数为有理数，不能用整数表示的数为无理数。详细讨论参见附录的话题13。
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分数的本质在于真分数，即分数的分子小于分母。这样的分数有两个现实背景：一个是表达整体与等分的关系，一个是表达两个数量之间的比例关系。我们称后者为整比例关系。
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整体与等分关系。问题的关键是对整体的等分。比如，把一个月饼等分为5份，那么其中的一份是1/5，两份是2/5。应当注意到的是，通过等分得到分数单位：前面所述的1/5就是分数单位，而2/5表示的是两个分数单位：2/5 = 2 × 1/5 =1/5 + 1/5。
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利用分数单位，容易得到同分母分数的加法：1/5 + 2/5 = 3/5；这个运算表示的是：一个分数单位加上二个分数单位等于三个分数单位。
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对于分母不同的分数的大小比较、以及加法运算，必须对原有的分数单位进一步等分。比如，对分了5份的月饼的每份再二等分，得到的新单位是原来整体的1/10，即1/5 × 1/2 = 1/10。原来单位与新单位的关系是1/5 = 2/10；进一步，原来单位的两份等价于新单位的四份：2/5 = 2 × 1/5 = 2 × 2/10 = 4/10。正是因为这个原因，才有通常所说的分数的性质：分数的分子和分母同时扩大或者缩小相同倍数，分数大小不变。这样，分母不同的分数的大小比较可以化为分母相同的分数大小的比较，进而得到一般的不同分母分数的加法运算法则：
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a/b + c/d = ad/bd + cb/db = (ad + cb)/db。
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整比例关系。分数还可以表示两个事物量之间的比，或者说，以一个事物的量为基准对另一个事物的量进行整数倍的度量。比如，在一些小学数学教科书中有这样的例题：
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小红家有鹅4只，是鸭子数量的1/3，问有几只鸭子？
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其中的1/3说的就是比例：1只鹅对应于3只鸭子，2只鹅对应于6只鸭子，如此类推，4只鹅就对应于4 × 3 =12只鸭子。
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解释1/3的含义是一个破题的过程，可以看到，有许多问题只要破题清楚，就自然而然地得到了解题的思路。因此，在小学数学的教学过程中，许多应用问题必须重视破题这个环节。
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对于上面的问题，更一般性的表达是这样的：如果用x 表示鸭子的数量，得到比例关系4 : x = 1:3。借助这个比例关系，可以通过两种运算方法得到所求结果，一种方法是上面所说的乘法，一种方法是教科书所希望的除法：鸭子数量 = 4 ÷ 1/3 = 4 × 3 =12。因此，这个例子也说明：除法是乘法的逆运算。详细讨论参见问题13和附录中的话题21。
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通过上面对两种关系的分析还可以知道，分数是一种无量纲的数。也就是说，无论是一块小月饼还是一个大蛋糕，如果分五份的话，那么每一份都是1/5，与整体本身的大小无关；无论是4只鹅还是4百只鹅，与鸭子的比例都是1比3，这个比例与数量的无多少关。正因为如此，现实生活中一些看来无法比较的事情用分数就可以进行比较了，这就是通常所用的百分数。比如，一个大国与一个小国的GDP（国内生产总值）是不能进行比较的，但这两个国家GDP的增长率是可以进行比较的，通常用百分数来表示这种增长率：
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增长率 = [（今年GDP – 去年GDP）/ 去年GDP] × 100%。
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问题7 如何认识小数？
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人们对小数的认识要比对分数的认识晚得多，直到18世纪人们才建立起稳定的十进位小数表达形式，这比微积分的出现还要晚100多年。建立小数的概念，一方面是为了现实世界中数量表达的需要，比如，6元7角5分就可以表示为6.75元；另一方面是为了数学本身的需要，主要是为了表示无理数。如果没有无理数的小数表示，人们就就很难进行无理数的加法运算，比如，虽然人们很早就知道 √2和 √3，但无法进行这两个无理数数的加法运算。如果借助小数，就可以把这两个无理数分别数表示为：
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√2 = 1.4142135 … 和 √3 = 1.7320508 …，
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这样，于是就可以进行这两个无理数的加法运算：
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√2 + √3 = 1.4142135 … + 1.7320508 …
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= 3.1462643 … 。
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为了理解小数，需要重新理解整数，其核心在于重新理解十进制。人们终于发现，可以用10的幂（次方）的形式来表示十进制。因为10的正整数次幂、0次幂、以及负整数次幂可以表示为：
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101 = 10，102 = 100， 103 = 1000，…
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100 = 1，
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10-1 = 1/10 = 0.1， 10-2 = 1/100 = 0.01， 10-3 = 1/1000 = 0.001，…
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这样，无论是整数还是小数，都可以用10的整数次幂的组合表出，比如：
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238 = 2 × 102 + 3 × 101 + 8 × 100，
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6.75 = 6 × 100 + 7 × 10-1 + 5 × 10-2。 （2）
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人们通常称这样的表示为线性组合，称其中10的整数次幂为基底。因此，一个十进制的数就是一个以10的整数次幂为基底的线性组合，而一个小数就可以用10的负整数次幂表示。这样，就可以清晰地解释乘法运算 0.1 × 0.1 = 0.01，这是因为
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0.1 × 0.1 = 10-1 ×10-1 = 1/10 × 1/10 = 1/100 = 0.01。
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可以看到，这种运算的实质是对分数单位的进一步等分、得到新的分数单位，只要注意到每次进行的都是十等分。根据这个理由，为了更好地理解小数的乘法运算，教科书在教学内容的安排上，分数单位的进一步等分（参见问题6）应当安排在小数乘法运算之前。比如，在介绍分数的时候就介绍分数单位、并且介绍分数单位的进一步等分。否则就很难说明为什么0.1 × 0.1 = 0.01。
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需要强调的是，上面（2）式的表示方法是具有一般性的。基底原本是几何空间的概念，在几何空间中基底是一些向量，这些向量的个数与空间的维数是一致的。这些向量的重要性在于：几何空间上的任何一个向量都可以用这些向量的线性组合表出；反之，用这些向量的线性组合表出的向量必然对应于几何空间的一个点。在代数学中借用这种表示方法，就把几何与代数有机地结合起来了，从而建立了代数学的几何直观，比如，可以用这种方法建立代数方程解空间的概念。事实上，这种表示方法已经成为现代数学的基础，几乎应用于现代数学的每一个研究领域。
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后来，人们为了更好地解释实数理论，就用小数重新定义了有理数和无理数：有限小数和无限循环小数为有理数；无限不循环小数为无理数。有理数与无理数统称实数，详见附录的话题18。
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问题8 什么是数感？
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为了让广大中小学数学教师更好地理解教学内容，或者说，能够在整体上把握教学内容，《义务教育数学课程标准》给出了义务教育阶段数学内容所涉及到的最重要的十个核心概念 。其中第一个核心概念就是数感，《义务教育数学课程标准》中对数感的解释是：
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主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。
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从上面的论述可以看到，《义务教育数学课程标准》对数感强调的是一种感悟。这种感悟是重要的：在小学数学教学活动中，不仅要让学生感悟“数是对数量的抽象”，还应当反过来，让学生感悟“抽象出来的数与数量是有联系的”。
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抽象的核心是舍去现实背景，联系的核心是回归现实背景。可以这样理解“回归现实背景”，比如，同样是100这个抽象了的数，但100粒黄豆与100匹马给人的现实感觉是大不一样的；再比如，去商场买菜，带100元钱就足够多了，但要购买房子，只有100元钱是远远不够的。因此，对于在现实生活的许多情况，人们需要感悟数与现实背景之间的联系，从而感悟并且判断在日常生活和科学研究中数所提供的信息。此外，学生对于运算结果也应当有一定的感悟、或者说直觉判断，比如，应当能够直觉判断18加9比30大还是小，1/2加3/8比1大还是小。
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有了上面所说的感悟，学生就能在现实生活中比较合理地把握数以及数的运算。比如，合理地估计教室里同学的数量，估计一堆苹果的数量，等等。再比如，知道1000步大概有多长，知道1000名同学做广播体操大概需要多大的场地，等等。到了高学段，还涉及到对量纲、即数量单位的认识。应当让学生清楚，在思考或者判断问题时，需要根据问题背景的不同而选择不同的量纲。比如，思考商场让利促销的活动，如果是几千元的产品合适的让利单位是百元，几百元的产品合适的让利单位是十元，几十元的产品合适的让利单位是元，等等。
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通过上面的讨论可以看到，培养学生的“数感”不仅是学习数学的需要，这也有助于培养学生认识和解释现实事物的能力，这是一种数学素养的教育。
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第二部分 数的运算
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在定义自然数的同时也定义了加法运算。在加法运算的基础上，产生了减法、乘法和除法运算，统称为四则运算。其中减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算。自然数集合对于加法运算、进而对乘法运算是封闭的。为了保证逆运算的封闭性，数的集合就得到了扩张，比如，为了保证减法运算的封闭性，从自然数集合扩张到整数集合；为了保证除法运算的封闭性，从整数集合扩张到有理数集合。
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在混合运算中的两个法则是来源于现实计算的，是为了计算两个或者两个以上与数量有关的故事。在日常生活和生产实践中，人们遇到的大量计算都是估算。精算在本质上是对于数的运算，估算在本质上是对于数量的运算。
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符号表示数是数学发展的重要转折，使得数学由算数走向代数。一方面，符号可以像数那样用于运算和证明，另一方面，通过符号的运算和证明得到的结果是具有一般性的。可以利用符号表示未知的量，方程就是一种含有这种符号的等式。等式两边讲述的是与数量有关的两个故事，这两个故事有一个共同点，在这个共同点上两个故事的数量相等。
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模型是构建数学与现实世界的桥梁。小学数学“数与代数”部分在本质上只有两种模型，一种模型是基于加法的，一个模型是基于乘法的，小学数学中的所有应用问题几乎都是这两个模型的派生。
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发现问题和提出问题是有所不认同的，发现问题是用数学的眼睛“看”数学、看现实世界，提出问题是用数学的语言“说”数学、说现实世界。
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问题9 如何解释自然数的加法运算？
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在问题2中谈到，可以有两种方法认识自然数。与此对应，可以有两种方法来解释自然数的加法 ：一种方法是基于对应的，一种方法是基于定义的。在问题2中还谈到，因为定义的方法过于抽象，在小学阶段、特别是低年段的数学教学中，采用定义的方法认识自然数是不可取的。但不知道为什么，在现行小学数学的教科书中、以及在大多数小学的教学过程中，关于加法的解释却借助了定义的方法。很可能是教科书的编写者没有注意到这个问题，因而导致教师也没有注意到这个问题。事实上，除了定义的方法之外，还有对应的方法。下面，我们来仔细分析这个问题。
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在现行教科书中，都是用图来表示加法运算。具体呈现过程是这样的，给出下面的图
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□□□ ←□，
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于是就得到3 + 1 = 4。可是，为什么这样得到的就是4呢？这是利用了等号“=”的对称性：因为从自然数的定义知道4 = 3 + 1，所以利用对称性有3 + 1 = 4。因此，这是用定义的方法解释加法，详细讨论参见附录的话题7。
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用上面的方法解释加法当然可以，但是，这样的解释方法脱离了现实背景，特别是没有述说“相等”的涵义到底是什么、进而没有涉及到“等于”的本质。因此，这样的教学方法只是让学生记住了加法的计算规则，而没有让学生感悟到数学的思想。
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下面描述一下，如何利用对应的方法来解释加法。比如，同样是3 + 1 = 4的问题，可以采用这样的方法进行教学。
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首先，给出下面的两组方块
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□□□ □□□□ （3）
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问学生：哪边的方块多？学生当然会回答：右边的方块多。因为这个时候学生已经通过对应的方法认识了十以内的自然数：称左边的方块为3个，右边的方块为4个。可以通过这个图让学生再次感悟：4个比3个多、进而4比3 大。
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然后，再拿出一个方块加到右边，形成下面的图
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□□□ ←□ □□□□ （4）
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问学生：现在哪边的方块多？学生当然会回答：一样多。于是在这个直观的基础上，就可以向学生解释加法的算式：3 + 1 = 4。当然在具体的教学过程中，可以讲述的生动活泼一些，比如，左边的是小红的苹果数，右边的是小华的苹果数。甚至可以尝试地讲述，左边的是小红的苹果数，右边的是小华的橘子数，这样就更体现了抽象了的数。
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正如前面反复强调的那样，数学研究的不是概念本身，而是研究概念之间的关系，这样的解释突出的是一种相等关系：左边 = 右边。这就揭示了符号“=”的本质含义：符号两边的量相等。由此可以看到，通过这样的教学，既可以让学生感悟到“量相等”的本质（这对学生未来理解方程是非常重要的），又可以让学生感悟加法运算的本质特征：加上一个自然数比原来的数大。
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显然，不能期望通过一堂课或者几堂课就让学生感悟其中的道理。但是，通过日积月累的、富有启发性的引导，就必然会让学生逐渐感悟数学的思想，最终理解其中的道理 。
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问题10 为什么说减法是加法的逆运算？
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四则运算都是源于加法，因为从加法运算可以产生减法运算、乘法运算和除法运算。因此，如果不想无源头地、硬性地定义加法以外的其他运算，那么可以认为：四则运算都是源于加法。
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在最初阶段，可以采用问题9中所说的对应的方法，对小学低学段的学生解释减法运算。比如，仍然用图来解释减法：在（3）的基础上，利用下面的图
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□□□ →□ □□□
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来解释减法：4 - 1 = 3。
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显然，利用这样的与问题9对称的教学方法，可以让学生感悟加法和减法互为逆运算，并且让学生知道，减一个自然数比原来的数小。在这样教学的基础上，对于小学高年段的学生、以及初中阶段的学生，可以进一步通过加法的逆运算来解释减法。
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减法是加法的逆运算。比如，可以认为4 - 1 = 3是由4 = 3 + 1产生的。更一般地，对于a ≧ b，可以这样产生减法：
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a - b = x ←→ a = b + x，
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其中双向箭头 ←→ 表示等价关系。因为a ≧ b，所以计算结果 x ∈ N是一个自然数。这就表明了减法是加法的逆运算。可以用语言表达减法与加法之间的逆运算关系：
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对于数量而言，b比a“少”多少等价于a比b“多”多少；对于数而言，b比a“小”多少等价于a比b“大”多少。
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在上面的论述中所说的“多少”表述的是一个量化的过程，这也是a大于b的理由：a ≧ b等价于存在一个自然数x，使得 a = b + x。
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当a ﹤ b的时候，问题就变得复杂了，因为这时a - b 的差将小于0，这时的“差”将不是自然数。但在日常生活中，这样的数是有意义的，回顾问题5的讨论。
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除了像问题5中所说的那样，用对应的方法表示负数之外，还可以通过自然数和自然数的加法给出负数的定义：对于a ∈ N且不为0，称满足
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a + x = 0
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的数x为负数，把这个数表示为 –a，并且称 -a为a的相反数。必须注意到，这时 –a代表的是一个数，详细讨论参见附录的话题10。一般来说，对于任意数a，称a和 -a互为相反数。从定义的过程中可以看到，0对加法运算是重要的，因为有了加法运算和0就可以产生负数。这也是为什么自然数要从0开始而不是从1开始的理由。
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为了研究问题的方便，人们称不为0的自然数为正整数，正整数对应的相反数为负整数 ，把负整数、0和正整数统称为整数。这样，整数集合就可以表示为：
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Z = {负整数，0，正整数}。
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或者具体地表示为
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Z = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … }。
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这也表示了整数之间的大小关系：从0开始，正整数是一个一个大起来的；从0开始，负整数是一个一个小下去的。因此，整数的序既无开头也无结尾。
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现在，我们已经把数的集合从自然数集合扩充到整数集合。那么，数学进一步必须做的事情是：把加法运算由自然数集合扩充到整数集合。在教学活动中，虽然不需要让小学生知道这个扩充的过程，但应当让小学生知道，加上一个正数，比原来的数大；加上一个负数，比原来的数小。
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有了整数集合上的加法，就可以在整数集合上一般性地定义减法：对于a ∈ Z，b ∈ Z
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a - b = x ←→ a = b + x，
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其中 x ∈ Z是一个整数。容易验证，整数集合对于加法和减法运算都是封闭的。
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上面的表达式准确地说明：减法是加法的逆运算。基于这个结果，容易验证减法与相反数之间的关系：减去一个数等价于加上这个数的相反数。可以把这个关系表示为
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a – b = a + (- b)，
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详细讨论参见附录的话题9。
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问题11 乘法是加法的简便运算吗？
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人们一般认为，乘法是加法的简便运算，但事实并不这样简单，需要分两种情况讨论：一种情况是基于自然数集合，一种情况是基于整数集合。
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在自然数集合上，乘法是加法的简便运算。比如，8 = 4 × 3是由8 = 4 + 4 + 4 产生的，是3个4相加的简便运算。一般地，对于a ∈ N，b ∈ N有
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a × b = c ←→ a + a + … + a = c，
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其中“连加”表示有b个a相加，因此左边的乘法是b个a相加的简便运算。对于这样的表示，通常称a为被乘数、b为乘数、c为积。
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基于这样的运算，可以得到两个基本性质：对于任何a ∈ N有
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0 × a = 0，1 × a = a。
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通过附录话题19的讨论可以看到，这两个性质是乘法运算独有的。这两个性质构成了乘法运算的基本特征，近代数学所定义的任何乘法（包括矩阵的乘法）都保留了这两个性质。
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在整数集合上，乘法不是加法的简便运算。当被乘数为负数、乘数为正数时，还可以把乘法运算解释为加法的简便运算。比如，可以把
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-2 × 3 = -6 ←→ (-2) + (-2) + (-2) = -6，
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解释为3个 -2相加的简便运算。可是，当乘数为负数时，“乘法是加法的简便运算”这个命题就解释不通了。比如，不可能把乘法3 × (-2）解释为 -2个3相加的简便运算。因此，在整数集合上，我们不能说乘法是加法的简单运算。那么，到底应当怎样解释整数集合上的乘法呢？这就需要我们更加深刻地理解乘法，理解乘法的算理、以及基于算理的乘法运算法则。
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问题12 整数集合上的乘法是如何得到的？
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在上一个问题谈到，在整数集合上，乘法不是加法的简便运算，那么，应当如何定义整数集合上的乘法运算呢？
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整数集合上的乘法是自然数集合上乘法运算的推广，推广的工具是交换律和分配率。乘法的交换律与分配率可以表示如下：对于a ∈ Z，b ∈ Z，c ∈ Z有
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交换律：a × b = b × a。
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分配率：(a + b) × c = (a × c) + (b × c)。
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对于乘法运算，交换律与分配率是本质的。甚至可以认为，这两个定律与乘法运算是等价的，也正因为如此，才可能把乘法运算由自然数集合N推广到整数集合Z上，具体讨论参见附录的话题19。这样，对于问题11中所提出的乘数为负数的情况，通过交换律可以得到
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3 × (-2）= -2 × 3 = -6。
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可以看到，对于乘法运算，1是非常重要的数（相当于0对于加法运算），通常可以把这个数理解为乘法的单位元。用1和相反数 -1可以把乘法的计算法则表示为
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1 × 1 = 1
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1 ×（-1）= (-1) × 1 = -1
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（-1）×（-1）= 1。
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其中，第一个等式来自乘法的基本性质，第二个等式可以通过交换律直接得到，第三个等式可以用下面的方法给予证明：
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0 = 0 × (-1)
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= [(-1) + 1] × (-1)
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= [(-1) × (-1)] + [1 × (-1)]
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= [(-1) × (-1)] + (-1)。
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在上面最后的式子中，因为 -1的相反数为1，因此得到结论：（-1）×（-1）= 1。在上面的运算过程中，第一个等号是因为0乘以任何数为0；第二个等号是因为1与 -1互为相反数，和为0；第三个等号是因为乘法分配率；第四个等号是因为已知1 × (-1) = -1。
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在上面的证明过程中可以看到，交换律与分配率对于乘法运算是何等重要：没有交换律就解释不了1 ×（-1）= -1；没有分配率就解释不了（-1）×（-1）= 1。当然，也可以利用相反数的概念直观解释乘法： [(-1) × 1] 这个数是 (1 × 1) 这个数的相反数，所以从1 × 1 = 1知道 (-1) × 1 = -1；同样的道理可以得到（-1）×（-1）= 1。但是，这样的述说至多是一种直观解释，因为我们并没有讨论“相反数”与“运算”之间的关系，更没有讨论“相反数”与“算理”之间的关系。
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因此，算理是重要的：绝不可以简单地把算理理解为依附于运算方法的一种性质，而应当把算理理解为运算方法的本质，详细讨论参见附录的话题19。也正因为如此，《义务教育数学课程标准》专门设定了一个核心概念运算能力，其中特别强调：培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。
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问题13 为什么说除法是乘法的逆运算？
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与减法是加法的逆运算类似，除法是乘法的逆运算。不同之处在于：加法逆运算的表达是通过0，乘法逆运算的表达是通过1。我们来分析这个问题：对于a ∈ Z，b ∈ Z，
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a ÷ b = y ←→ a = b × y。
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这个关系表明除法是乘法的逆运算，因为除法可以与乘法对应。通常在上式中，称a为被除数，称b为除数，称y为商。
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如果得到的商是整数，那么，很容易通过语言说明上面的关系式、进而说明除法是乘法的逆运算：命题“a是b的y倍”等价于命题“b的y倍是a”。通过上面的式子还可以看到，对于前一个命题、即“a是b的多少倍”这样的问题应当用除法；对于后一个命题、即“b的y倍是多少”这样的问题应当用乘法。因为理解除法比理解乘法要困难一些，因此在实际教学过程中，往往需要借助乘法来说明除法，一个具体的例子参见附录的话题21。
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如果得到的商不是整数，比如，5 ÷ 2就不能表示为整数，这就需要构建一种新的数，人们称这样的数为有理数。这样，通过除法，可以把数的集合由整数集合扩充到有理数集合，通常用R表示这个集合。进一步，可以把加法运算、减法运算、乘法运算和除法运算扩充到有理数集合，这便是四则运算。人们把四则运算扩充到有理数集合的同时，也把相应的运算法则扩充到有理数集合。但是，在扩充过程中需要特别注意逆运算，对于逆运算
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分配率成立：(5 + 6) ÷ 3 = (5 ÷ 3) + (6 ÷ 3)；
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交换律不成立：5 – 3 ≠ 3 – 5；5 ÷ 3 ≠ 3 ÷ 5。
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除法与倒数。在问题10中，曾经利用相反数来定义负数，同时把自然数集合扩充到整数集合。类似，也可以利用倒数来定义有理数，把整数集合扩充到有理数集合。倒数的定义方法如下：对于b ∈ Z且不为0，称满足
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b × y = 1 （5）
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的数y为b的倒数，表示为1/b。与相反数类似，称b与1/b互为倒数。进一步，对于任何a ∈ Z，用a/b表示a个1/b这样的数。通过这样的表示，就可以利用倒数把整数集合扩充到有理数集合，即把有理数集合表示为
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R = { a/b；a ∈ Z，b ∈ Z - {0}}，
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其中Z为整数集合。
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上面关于有理数集合的表示是具有一般性的：用大括号囊括所有集合中的元素；分号前面表示的是集合中元素的形式；分号后面表示的是集合中元素的属性。其中符号 b ∈ Z- {0} 表示b可以是除去0以外的所有整数，这种表示也意味着“0不能为除数”这个基本要求，关于这个要求的详细讨论参见附录的话题20。
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容易验证，有理数集合对加、减、乘、除这四种运算都是封闭的。这样，人们就从自然数集合出发，通过四则运算（主要是通过减法和除法这两种逆运算）把数的集合扩充到整数集合、继而扩充到有理数集合。事实上，有理数集合也是四则运算能够扩充到的最大数集。除却四则运算之外，还有一种重要的运算就是极限运算，人们通过极限运算把数集由有理数集合扩充实数集合。
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在问题10中，我们讨论了相反数与减法之间的关系：减去一个数等于加上这个数的相反数。采用类似的方法，我们可以得到倒数与除法之间的关系：除以一个数等于乘以这个数的倒数。可以把这句话用关系式表示为
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a ÷ b = a × (1/b)。
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在乘法运算过程中，人们通常会省略其中的乘法符号“×”（参见附录的话题19），因此，基于上面的表达式，人们有时也把除法写成倒数的形式：a ÷ b = a/b。虽然这种表示方法与分数是一致的，但从抽象的本意来说，分数与除法是有本质差异的，回顾问题6的讨论。
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问题14 为什么混合运算要先乘除后加减？
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在混合运算中，关于运算次序有两个基本法则：有括号，先计算括号中的算式；没有括号，先计算乘除后计算加减。比如，用下面的两个例子来表示：
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(3 + 2) × 4 = 5 × 4 = 20；
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3 + 2 × 4 = 3 + 8 = 11。
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显然，这两个基本法则是一种规定。可是，为什么要有这样的规定呢？这样的规定合理吗？如果这样的规定是合理的，那么合理性表现在哪里呢？为了述说这个合理性，就必须回到现实世界，因为我们已经反复说过，小学阶段数学的一切概念和法则都是从现实世界中抽象出来的。
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第一个算式是什么意思呢？思考下面的具有实际背景的问题：
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操场上有4排同学，每排有3名女同学2名男同学，问操场上有多少名同学？
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对于这个问题，如果分步计算，显然应当先计算每排有多少同学，然后再计算4排一共有多少同学。因此，计算的道理是 ：
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同学总数 = 每行同学数 × 行数
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= (3 + 2) × 4
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可以看到，上面括号中表达的是一个故事：每行的同学数。这个故事是整体算式中的一个独立部分，因此，先算括号中的算式是有道理的。可是，这个例子是具体的、因而是特殊的，这个特例所蕴含的运算次序的一般道理是什么呢？我们接下来分析第二个算式，然后归纳出一般道理。
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如果把乘法理解为加法的简便运算，第二个算式可以表示为 3 + 2 × 4 = 3 + 4 + 4 = 3 + 8 = 11。用这样的方法来解释先乘除后加减是可以的，但是，这样的解释仅仅关注了计算方法，因此，这样的解释与上面的例子就没有共同点了，就无法抽象出共性了。为了把问题分析清楚，我们还是思考一个具有实际背景的问题：
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操场上原来有3名同学，又来了一队同学，这队同学每排有2名同学，共有4排，问现在操场上有多少名同学？
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显然，这个问题中包含了两个故事：一是原来的同学数，二是后来的同学数。类似第一个算式，可以写出计算这个问题的道理：
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同学总数 = 原来的同学数 + 后来的同学数
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= 3 + 2 × 4。
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因此，先计算乘法是为了完成一个故事：后来的同学数。现在问题已经很清楚了：所有混合运算都是在讲述两个、或者两个以上的故事。在混合运算中，可能是大故事包含小故事，也可能是几个故事并列。在原本的意义上，这些故事应当分别计算，即先计算每一个具体的故事然后再计算整体的故事，统观数学史，早期的数学都是这样计算的。如果希望用一个式子表达这样的计算，就形成了混合运算：用括号表示大故事所包含的小故事，用加号表示并列的故事。这样，为了保证混合运算的计算结果与分别计算的结果保持一致，就必须建立起前面提到的那两个基本法则。
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问题15 为什么要学习估算？
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在日常生活和生产实践中，人们遇到的大量计算都是估算，因此应当让学生知道估算。此外，精算在本质上是对于数的运算，估算在本质上是对于数量的运算，因此，学习估算对于培养学生的数感是有好处的。法国脑科学家研究了人们在进行精算和估算时大脑的反射部位，研究结果表明：精算主要激活脑左额叶下部，与大脑的语言区有明显重叠；估算主要激活脑双侧顶叶下部，与大脑运动知觉区联系密切 。因此，就教育价值而言，根据脑科学家的研究成果，很可能会有这样的区分：精算有利于培养学生的抽象能力，估算有利于培养学生的直观能力。显然，抽象能力与直观能力是人们日常生活和生产实践中必不可少的两种能力，这两种能力都是数学素养的根本，所以，小学数学的教学内容不仅要有精算也要有估算。同时，根据上面所说的道理还可以推断：估算不是近似计算，更不是精算以后的四舍五入。此外，估算也不是估计：估算也是需要算的。据此，我们可以得到一个基本结论：小学阶段的数学教育，估算问题要有合适的实际背景，否则就失去了估算的教育意义。
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首先，估算往往要涉及到在哪个数位上进行计算的问题，因此，需要在计算之前针对实际背景选择合理的量纲。选择量纲的过程可以让学生感悟估算是对现实问题的度量，进而感悟如何进行估算才是合理的。所谓量纲也就是问题8中所说的数量单位，比如，我们考虑距离的度量：如果要度量北京到纽约的距离，那么用万公里比较合适；如果要度量长春到北京的距离，那么用百公里比较合适；如果要度量教室的大小，那么用米比较合适；如果要度量书桌的大小，那么用厘米比较合适，等等。确定了量纲以后，在具体计算时，就可以在量纲的整数位上进行估算，至多以量纲为基准取小数点后一位进行计算，一个类似的例子可以参见《义务教育数学课程标准》的例6。
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其次，对于已经给定了数量，大量的估算问题是为了得到上界或者下界，为此，需要对给定的数量进行适当地放大或者缩小，然后凑整计算。我们用《义务教育数学课程标准》的例26来解释这个道理，问题是：
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李阿姨去商店购物，带了100元，她买了两袋面，每袋30.4元，又买了一块牛肉，用了19.4元，她还想买一条鱼，大一些的每条25.2元，小一些的每条15.8元。请帮助李阿姨估算一下，她带的钱够不够买小鱼？能不能买大鱼？
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这个例子提出了两个问题，这两个问题的核心都是估计100元购物后的剩余金额，但两种估计方法有所不同。
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第一个问题“够不够买小鱼”是估计剩余金额的下界（至少剩余多少钱）：如果下界超过15.8元，那么肯定可以买小鱼。对于估计下界的问题，购物金额的数量要适当放大：两袋面粉不超过62元，一块牛肉不超过20元，因此，剩余金额钱至少有100 – 62 – 20 = 18（元），够买小鱼。
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第二个问题“能不能买大鱼”是估计剩余金额的上界（至多剩余多少钱）：如果上界不到25.2元，那么肯定不能买大鱼。对于估计上界的问题，购物金额的数量要适当缩小：两袋面粉至少要60元，一块牛肉不少于19元，因此，剩余金额至多有100 – 60 – 19 = 21（元），不够买大鱼。
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通过上面的例子可以看到，把这样的估算方法应用于日常生活是非常有趣的，这种思维判断后的计算过程，不仅能引发学生的学习兴趣，提高学生的计算能力，还能够培养学生日常生活中对事物的直观判断能力，培养学生生活的自信心。
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问题16 什么是符号意识？
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符号意识是《义务教育数学课程标准》提出的第二个核心概念。这里所说的符号意识主要包括两方面的内容，一个是关于概念的符号，一个是关于关系的符号。
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概念符号。在问题2和问题3中已经谈到，自然数就是一种符号，人们用自然数这样的符号表达数量的多少。但“符号意识”中所说的概念符号比自然数更为抽象，在小学“数与代数”中主要是指：用字母表示数。因为数是对数量的抽象，因此这种表示也蕴含着用字母表示一般的数量。事实上，人们对这样的表示已经约定俗成，比如：用t表示时间，用r表示半径；用拉丁字母的前几个a、b、c表示已知量，用拉丁字母的后几个x、y、z表示未知量，等等 。
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在现代社会，“用字母表示数”是每一个受教育者必须知道的概念，也是最早接触到的、最为抽象的教学内容，这些教学内容是小学生学会一般抽象的开始。建立符号意识，对于学生未来学习数学、养成数学素养都是至关重要的，因为符号表达是现代数学的基础，也是现代自然科学、甚至是人文社会科学的基础。关于符号意识，《义务教育数学课程标准》是这样述说的：
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能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。
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可以看到，符号意识主要强调两条，一条是知道符号可以像数那样进行运算和推理，一条是知道通过符号运算和推理得到的结果具有一般性。虽然符号表达对于数学至关重要，但人类真正学会符号表达却经历了漫长的岁月，参见附录的话题22。因此在教学活动中，应当创造一些情景，让学生逐渐感悟符号表达的重要性、以及符号表达的实质。我们通过下面两个例子进行分析。
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第一个例子：符号表达。考虑这样的问题：两个和为10的自然数可以组成数对，那么，都可以组成怎样的数对呢？这个问题可以参见《义务教育数学课程标准》的例10。对于这样的问题，低学段学生的回答可能非常随机的，比如3和7，4和6，等等。这样回答问题往往会出现重复或出现遗漏，因此，教师要引导学生有规律地思考问题，这就需要借助符号（或者图形）进行表达。比如，如果其中一个是不超过10的自然数是a，那么，另一个自然数就是10-a，组成的数对是 (a，10-a)。这样就可以有规律地回答问题：
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a 0 1 2 3 4 5
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10 – a 10 9 8 7 6 5
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由此可以看到，有规律地回答问题可以避免杂乱无章、是一种理性的表现。特别是，有规律地回答问题可以从中发现一些共性的东西，参见下面关于方程的讨论。因此，在这样的教学过程中，可以培养学生有序思维的习惯，积累数学思维的基本经验。
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第二个例子：解释算理。要一般性的解释一种规则，必须借用符号。比如，解释加法交换律的教学步骤可以是这样的，先让学生作一些与交换律有关的数字例子：
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2 + 3 = 5，3 + 2 = 5 → 2 + 3 = 3 + 2，
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7 + 8 = 15， 8 + 7 = 15 → 7 + 8 = 8 + 7，
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……
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通过这些例子，可以启发学生猜想，这个结果是不是一般性地成立呢？如果一般性成立，那么应当如何表达这个结果呢？引导学生思考：如果用a和b表示两个数，类比上面的数字结果，一般的结果是不是可以写成
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a + b = b + a （6）
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这样的等式？这就是通过归纳推理提出猜测的思维过程，这是一个从具体走向一般的思维过程。从这个例子可以看到，只有通过符号才能清晰地表达一般性的结果。
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但是，教师也应当让学生逐渐明白这样的道理，归纳推理的基本思路是“通过经验过的东西推断没有经验过的东西”，因此，通过归纳推理得到的结论不一定是正确的。在数学上，要判断一个结论的正确与否必须通过证明，也就是说，必须通过演绎推理。上面（6）式所表达的加法交换律的证明可以利用数学归纳法，一个类似的证明参见附录的话题17，有兴趣的读者可以尝试写出证明的步骤，从中体会演绎推理的逻辑魅力。
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关系符号。关系符号在数学中是必不可少的，这是为了述说的简单准确。除了用“+”“-”“×”“÷”等符号表示概念之间的运算之外，还用符号表示概念之间的性质关系。比如，用“=”表示相等的关系，用“≈”表示大约等于的关系，用“＞”表示大于的关系，用“∈”表示隶属关系，用“⊂”表示包含关系，等等。需要注意的是，用这样的符号表示的是两个或多个概念之间的性质关系，因此在使用这些符号时，一定要清楚符号所代表的性质本身的含义是什么。比如，在问题9中讨论加法运算时，就应当清楚符号“=”的含义到底是什么。
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关系符号也可以用来表示逻辑，这是用来表示两个命题之间的关系。比如，我们曾经用“→”表示“则”，“A→B”意味着命题A成立“则”命题B成立；用“←→”表示“等价”，“A←→B”意味着命题A成立“则”命题B成立，反之，命题B成立“则”命题A成立。
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在数学算式的表达中，使用了字母符号就意味着代数学的开始 ，因此可以说，符号表达为方程、函数等代数学核心内容的出场做好了准备。
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问题17 方程的本质是什么？
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方程、以及与方程有关的函数，是义务教育阶段乃至整个基础教育阶段数学教学最为核心的内容。小学阶段的数学教学是这些核心内容的起始，其重要性是不言而喻的。这个起始是从“字母表示数”开始的，这个开始能让小学生明显感悟到抽象；在这个感悟的基础上，“方程”是小学生接触到的最为抽象的概念。在大多数的教科书中，对方程的定义是：含有未知数的等式。但是，这种定义只是一种形式上的描述，这种形式表述不可能把握方程的本质。
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一般来说，在方程的教学中必须把握两条：列方程和解方程。无论是列方程还是解方程，都有其基本原则，在教学活动中应当让学生感悟这些基本原则，从而感悟方程的本质、感悟如何通过数学的形式表述现实生活中的数量关系，这对学生未来的学习和发展都是非常重要的。
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关于列方程。方程中的等号是问题的核心。回顾在问题9中讨论加法时曾经说过，符号“=”的本质含义是：等号两边的量相等，因此：方程的本质是描述现实世界中的等量关系。更具体的说，方程描述的是现实世界中与数量有关的两个故事，其中用字母表示未知的量；这两个故事有一个共同点，在这个共同点上两个故事的数量相等。这就是列方程的基本原则。比如，可以基于问题9中的模式（3）和模式（4）来构建基于现实生活的问题：
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小华有4个苹果，小红有3个苹果，问小红再有几个苹果就会与小华一样多？
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这个问题实在是太简单：4 = 3 + x，其中x表示未知量，几乎所有的学生都能够直接得到这个问题的答案。但是，利用这个简单的例子能够阐明列方程的基本原则：述说的是两个故事（等号左边是小华的苹果，等号右边是小红的苹果）；这两个故事的某个量相等（小红的苹果增加后与小华的苹果数量相等）。当然，通过这样简单的问题看不出列方程的必要性，也很难引发学生学习的兴趣，所以可以考虑复杂一些的问题：
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男女同学分别列队，每行2名同学。女同学20人，男同学16人，问女同学比男同学多几行？
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可以用四则运算直接回答这个问题：（20-16）/2，但这个思考过程有一定的难度。也可以列方程来解决这个问题，设女同学比男同学多x行，那么方程为：20 = 16 + 2x，可以看到，通过这个例子可以更好地体会方程的本质。当然，还可以考虑更为复杂的问题：
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一个房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16个，如果椅子腿数与凳子腿数共60个，那么有几个椅子和几个凳子？
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这个问题也可以用四则运算的方法解决：椅子数 = 60 - 3×16 = 12，凳子数 = 16-12 = 4，最后验算：4×12 + 3×4 = 48 + 12 = 60。用这样的方法计算虽然简单，但思维过程比较复杂：考虑椅子和凳子共16个，先计算椅子4条腿中的3条腿与凳子的腿数的总数：3×16 = 48，那么，剩余的腿数60-48 = 12就都是椅子的了，因此有12个椅子。无论是在日常生活还是在生产实践中，下面这个道理是一致的：计算简单的方法往往需要付出逻辑思维的代价。
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方程的特征是用字母表示数，这个数往往就是所要求的数，因此称这个数为未知数，通常用拉丁字母的用后几个x、y、z表示，参见问题16的讨论。在实际操作中，可以通过逻辑关系得到两个故事之间的数量关系。比如，在上面讨论的问题中，如果用x表示椅子的数量，那么，凳子的数量就是16-x；因为已知椅子腿和凳子腿的总数，就可以根据这个已知条件得到下面的关系：
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椅子腿数 + 凳子腿数 = 总腿数。
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用符号表示就是：4x + 3（16 – x）= 60。可以看到，就逻辑思考而言，列方程的方法比四则运算的方法要清晰简洁，但计算要复杂一些。
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还可以用归纳的方法得到方程，《义务教育数学课程标准》的例51讨论了这个问题。众所周知，这个例子的原型是中国古代的鸡兔同笼问题 ，但为什么要变成凳子椅子的问题呢？这是因为凳子椅子差1条腿，比鸡兔差2条腿简单，有利于进行归纳推理：归纳推理是一个循序渐进的过程，通过这样的过程中发现数量之间的规律。现在看来，用这个例子解释归纳推理并不妥当，因为这个例子过于简单，用归纳推理很可能会引起学生思维的混乱，还不如用逻辑推理的方法简洁明了。但是，通过凳子椅子的例子过渡到鸡兔同笼的问题还是有意义的：通过简单的问题理清思路，通过复杂的问题验证思路。比如，老师在教学的过程中讨论凳子椅子的例子，在课后练习时让学生讨论鸡兔同笼的问题。
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关于解方程。解方程的基本原则是利用方程的性质：等式两边加减乘除同一个数，等式不变；等式两边交换，等式不变。比如，一个非常简单的例子，求方程
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5 – x = 3
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的解。根据所说的原则，可以如下教学：
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等式两边同时加x，得到：5 = 3 + x
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等式两边同时减3，得到：5 - 3 = x
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等式两边交换，得到：x = 5 – 3
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最后计算，得到：x = 2。
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许多教师会认为，这样计算实在是多此一举，因为可以通过减法直接得到结果。但应当清楚的是，现在是在教如何解方程，就应当让学生掌握解方程的通性通法，让学生更好地把握方程的本质。一题一解的教学方法是不足取的：技能表现于一般性，技巧表现于特殊性。事实上，问题稍微复杂一些，就不可能用减法直接得到结果了，比如5 – x = 3 + 2x这样的问题，就很难直接得到结果。因此在数学教学过程中，需要培养的是技能而不是技巧，在“四基”中强调的是技能。
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通过上面的计算过程，容易归纳出解方程的一个重要的计算形式：移项。就是说，可以把一个项（数字或者字母）从方程的一边移到方程的另一边，移项的法则是：移项时必须改变项的符号。通过上面的简单推导可以看到，移项的法则是从方程的性质推导出来的，因此，像移项这样的解方程的计算形式都是从方程的性质中总结出来的。通过一段时间的学习和训练，学生可以通过方程的性质和计算的形式把握解方程的本质：字母可以参与四则运算；解方程的过程是：把字母项移到方程的左边，把数字项移到方程的右边，然后进行四则运算。
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问题18 什么是模型？小学数学中有哪些模型？
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在《义务教育数学课程标准》中还提到一个核心概念，就是模型思想。什么是模型呢？许多数学教育工作者认为，一个数学表达就是模型，比如，方程就是模型、甚至一个代数式就是模型。就广义来说，这样理解模型是可以的，但更确切地，单纯的数学表达是模式而不是模型 。《义务教育数学课程标准》中所说的模型，强调模型的现实性，是用数学的语言讲述现实世界中的故事；强调在建立模型的过程中，让学生感悟如何用数学的语言和方法描述或者解决一类现实生活中的问题。在《义务教育数学课程标准》中，是这样解释模型思想的：
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是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。
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由这个解释可以看到，模型有别于一般的数学算式，模型也有别于通常的数学应用，模型是能够用来解决一类具有实际背景问题的数学方法。必须强调的是，模型的重要性往往不是取决于数学表达是否完美，而是取决于对现实世界的解释，关于这个问题的详细讨论参见附录的话题23。我想，在小学阶段的数学教学中，至少需要考虑两个模型：一个是总量模型，一个是路程模型。
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总量模型。顾名思义，这种模型讨论的是总量与几个部分量之间的关系，其中部分量之间的地位是平等的，是并列关系，因此这种模型的运算要用加法 。如果单纯从数学计算的角度考虑，还可以称这个模型为加法模型。这种模型可以具体表示为：
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总量 = 部分量 + 部分量。 （7）
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显然，可以用这个模型来解决现实中一类涉及到总量的问题，这样的问题在小学低年级的数学教学中是屡见不鲜的。比如，图书室各中类型书的总和是多少，在商店中买几样商品的总花费是多少，等等。进一步，针对现实生活中具体问题背景的不同，可以引导学生灵活地使用这种模型，比如，可以在“部分量”那里讲一些故事，就像问题14中所述说的那样；也可以在总量那里讲一些故事，把加法运算变为减法运算：部分量 = 总量 - 部分量。
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路程模型。这种模型讲述的是距离、速度、时间之间的关系，如果假设速度是均匀的（或者平均速度），可以得到模型的形式：
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距离 = 速度 × 时间。 （8）
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虽然所说的是路程问题，但这个模型可以适用于一类现实中的问题，比如，还可以解决“总价 = 单价 × 数量”的问题，解决“总数 = 行数 × 列数”的问题，等等 。但就描述自然界的规律而言，上面（8）式所表述的距离模型是本质的，详细讨论参见附录的话题23。
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因为这种模型强调的是乘法，因此单纯从数学角度考虑，还可以称这种模型为乘法模型。显然，在具体使用这类模型的时候，可以在时间那里讲一些故事，比如，甲比乙晚出发多长时间；还可以在速度那里讲一些故事，比如，甲在行程中途改变速度，等等。当然，也可以在距离那里讲一些故事，把乘法变为除法：时间 = 距离 / 速度。
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针对具体问题的不同，还可以把总量模型（7）和路程模型（8）结合使用，在结合的过程中，方程就成为了有力的数学工具。通过对模型的构建和理解，我们可以逐渐认识到：数学不仅仅是对现实世界中数量关系和图形关系的抽象，数学也不仅仅是逻辑推理的典范，数学所形成的概念、方法和命题还是描述现实世界强有力的工具。
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在小学阶段的数学教学中，虽然《义务教育数学课程标准》没有提出明确要求，但还有两类模型是可以考虑的，一类是植树模型，一类是工程模型。
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植树模型。这类模型的问题背景是：在直线上、或者平面上有规律地挖一些洞（也可以假设有一些洞），在洞中植树。在一般情况下，植树的数量小于洞的数量，这就可以提出两类问题：一类问题是按一定规律在一部分洞中植树，问可以植树多少颗；一类问题是确定植树的颗数，探索植树的规律。可以想象，在现实生活中这类问题是层出不穷的，也是非常有趣、非常有意义的。比如，要在一条道路沿线设立若干个加油站，就可以把道路的里程看做洞。再比如，要在一个区域要设立若干个商业点，就可以把居民住宅区看做洞。特别是在现代社会，这个模型被广泛应用于资源调查或者环境调查，因为可以设想所要调查的区域有若干个洞，而调查点就是植树。
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显然，在平面上设计这类问题要比在直线上困难得多，因此在小学阶段的数学教学中，问题的背景应当主要是针对直线而不是平面。
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工程模型。这类模型的问题背景是：有一个工程，甲工程队和乙工程队单独完成分别需要A天和B天，考虑两个工程队合作完成这个工程所需要的时间。解决这样的问题，一个简便的方法是假设工程为1，因为有了这个假设就可以确定甲工程队和乙工程队一天分别能完成工程的：1/A和1/B。正因为如此，人们又称这样的问题为归一问题。当然，在具体使用这个模型的时候，可以假设两个工程队合作会提高效率、或者降低效率；也可以假设甲工程队先工作几天之后乙工程队再参加；还可以假设有三个、或者更多的工程队来完成这个工程。这种模型的传统问题还可以是注水问题：有几个水管向一个池子中注水，还可以考虑一边注水一边放水的情况，等等。
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可以看到，使用模型的过程可以充分发挥人的想象力。这个想象力主要表现在构建现实背景，想象背景中事物之间的各种数量关系，想象数量关系的各种可能组合。因此，在这样的教学过程中，不仅要培养学生分析问题和解决问题的能力，还要培养学生发现问题的能力和提出问题的能力。事实上，数学《义务教育数学课程标准》中的例54就提供了一个很好的范例。在这个例子是针对路程模型的，给出了数量关系和一些坐标图，让学生判断与数量关系有关的坐标图。事实上，还可以反过来引发学生思考这样的问题，比如先给出坐标图，让学生根据坐标图上的数量关系构建一个关于路程模型的故事。
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总之，引导学生探索模型的过程是帮助学生积累数学活动经验的有效方法，这样的教学所需要的时间可能要多一些，因此在《义务教育数学课程标准》中专门设定了“综合与实践”的教学内容，希望通过这样的教学内容能够特殊地培养学生的应用意识和创新意识。
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问题19 发现问题和提出问题有什么不同？
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中国传统的数学教育重视的是“双基”，即基础知识和基本技能，要求是基础知识扎实，基本技能熟练；与此对应，培养的是两个能力：分析问题的能力和解决问题的能力。毋庸置疑，重视“双基”的教育对我国基础教育的贡献是巨大的。
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重视“双基”的教育与传统的“以知识为本”的教育理念是一脉相承的，但随着社会的发展，教育理念也在不断地更新。现代社会的基本理念不是“以物为本”而是“以人为本”，这种新的理念落实在教育上就是：以学生发展为本 。这种新的教育理念强调培养学生的基本素质，强调培养学生的社会责任感、创新精神和实践能力。为了与这种教育理念相对应，在修改《义务教育数学课程标准》的课程总体目标时，在传统的“双基”的基础上又增加了两基：基本思想和基本活动经验，这样课程目标就由“双基”变成了“四基”，与此同时，在原有两个能力的基础上又增加了两个能力：发现问题的能力和提出问题的能力。现在的问题是，在数学教学的过程中，发现问题与提出问题有什么不同吗？
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发现问题的前提是勤于思考、敢于质疑，因此与培养学生的创新意识关系密切；提出问题则要求能用数学的语言阐明问题，因此与培养学生的创新能力关系密切。进一步，提出问题可以分为两个层次：一个层次是用语言表述，一个层次是用符号表达。可以看到，无论是发现问题的能力培养、还是提出问题的能力培养都是我国现行教育的薄弱环节，这个环节的缺失对培养创新性人才的影响是重大的，因此，加强这样的教育应当是我国未来基础教育改革的重点。
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下面，我们举例说明发现问题和提出问题的区别，在说明的过程中探讨在数学教学中应当如何培养这两种能力。
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代数的例子。我们讨论《义务教育数学课程标准》中所给出的两个例子，这两个例子是前后照应的。我们把这两个例子分别抄录如下：
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例28 利用计算器计算15 × 15，25 × 25，……，95 × 95，并探索规律。
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例50 利用公式证明例28所发现的运算规律。
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可以看到，例28强调的是发现问题。虽然例50说的是证明问题，但没有明确说出问题是什么，因此这个例子在本质上强调的是提出问题。并且通过下面的讨论将可以看到，对于许多问题，如果能够明确地提出问题，就意味已经有了解决问题的思路。
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因为在两个例子中乘数和被乘数是一样的，因此无论是发现问题还是提出问题，都必然是探讨乘数与乘积之间的关系。我们曾经反复说过，归纳推理是发现问题（发现规律）的有效途径，而操作过程最好是一步一步依次递进。这样，我们就可以依次给出乘数与乘积之间的关系：
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15 × 15 = 225，25 × 25 = 625，35 × 35 = 1225，……。
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通过对结果的分析，学生可以感悟到其中是存在规律的，因此教学的重点是引导学生如何用语言表述出其中的规律。很明显，上面计算得到的乘积是一个三位数或者四位数，其中个位数和十位数都是25，而百位数和千位数存在这样的规律：1 × 2 = 2，2 × 3 = 6，3 × 4 = 12，……。这样，学生通过一些具体数值的依次计算，能够发现其中存在的规律，并且能够用语言来表达这个规律，这就是发现问题的过程。
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那么，在发现问题的基础上，应当如何提出问题呢？我们前面谈到，提出问题可以分两个层次。通过下面的讨论可以看到，在教学过程中可以跳过第一个层次，即语言表述的层次，而直接进入第二个层次，即符号表达的层次。但是，在思维过程中，第一个层次是不可逾越的。
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语言表述直接来源于发现问题。在发现问题的基础上，需要进一步引导学生表述出一个结论性的东西，这个结论性的东西就是人们通常所说的数学命题。比如，可以表述出这样的结论：个位数是5的两位数的平方是一个三位数或者四位数，其中后两位是25、百位或者千位是乘数的十位数与这个数加1的乘积。可以看到，语言层次的表述往往是很困难的，因此在教学过程中不能要求学生用语言表达的非常准确，甚至可以越过这个环节。但是，在人的思维过程中，这样思考的环节是不可缺少的，因为思考必然要经历一个从混沌到清晰的过程。事实上，只有利用符号才能摆脱用语言表达的困境，使得结论的表述清晰明了，这也体现了符号表达的重要性。
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符号表达是数学表述的重要形式。对于上面讨论的问题，如果用a表示乘数的十位数，这个两位数就可以一般表示为a ×10 + 5。那么，就可以把语言表述的结论用符号表示为
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(a ×10 + 5) 2 = a × (a + 1) × 100 + 25。 （9）
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这样，就用符号表达了一个公式，现在的问题是：这个公式是否正确。这就是一个提出问题的过程，可以看到，用符号表达可以使问题非常清楚。因为这是一个通过归纳推理提出问题的过程，因此所得到的结论不一定是正确的，结论正确与否还需要通过演绎推理进行验证。但无论如何，得到结论的过程是非常重要的，这是培养创新能力的核心。特别是，对于大部分数学问题，一旦用符号表达了结论，那么就有了证明结论的方向，比如，对于上面的问题，我们很容易验证这个结论是正确的。
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在上面公式的基础上，还可以把结论进一步扩充，而扩充的过程往往不需要经过具体数值计算的尝试，只需要进行形式化的扩充。比如，把上面的问题扩充到不是平方、而是十位数差1的情况，通过（9）式可以形式化地考虑这样的问题：
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(a ×10 + 5) [ (a + 1) ×10 + 5)] = ?
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当然，还可以把结论扩充到三位数的情况，等等。
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几何的例子。几何的问题看起来简单，但要叙述清楚却很困难，这主要是因为很难用符号对问题给予直接表达，因此在符号表达的过程中往往要借助代数的工具。考虑下面的问题：
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直线上的任何一个点都能把直线分为两个部分。
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在教师的引导下，通过画图等实际操作，学生能够发现上面所说的问题，甚至能够用语言表述这个问题：点的右边为一部分，点的左边为一部分。可是，应当如何用数学符号提出问题呢？
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符号表达的第一步是表示出直线上的点。为了表示直线上的点，就必须建立数轴、即在直线上定义方向、原点和单位：确定数轴的方向是为了表示数的大小关系；确定数轴的原点是为了用点到原点的距离来表示数；确定单位是为了度量距离。这样，借助数轴就把直线上的点与数一一对应起来了。
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然后由特殊到一般的原则，先考虑具体的数值计算，即把直线上的某一个点转化为数，比如2。因为已经把直线上的点与数一一对应起来了，因此可以有两种形式把直线分为两部分：“小于2的数”为一部分，“大于等于2的数”为一部分；或者，“小于等于2的数”为一部分和“大于2的数”为一部分。因为对于其他具体的点都可以这样处理，因此可以用字母a来代替2、或者其他具体的数值，一般性地表示这个问题。更为一般地，可以用集合（参见问题13）表示划分后的两个部分：
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A = { x；x ≦ a} 和 B = { x；x ﹥ a}；
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或者
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B = { x；x ﹤ a} 和 B = { x；x ≧ a}。
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通过上面的表示和论证过程可以看到，在许多情况下，用代数的方法处理几何问题，可以使表达更加清晰，逻辑更有条理；反过来，用几何的方法来分析代数问题，可以提供分析问题的直观，有利于厘清解决问题的思路。上面的问题可以进一步扩充：一条直线可以把平面分为两个部分；一个平面可以把空间分为两个部分；等等。
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进一步，还可以考虑更加复杂一些的问题，比如下面的问题：
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如果多边形的周长给定，什么形状的多边形面积最大。
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这个问题对小学生似乎是困难的，但只要学习了面积的计算方法，通过具体的数值计算，还是能够猜想出结果的。特别是，通过对这样问题的探索，能够让小学生感悟“对称”对于数学、以至于对于自然界的重要性，让小学生感悟数学的美。因为探索需要较多的计算和想象，因此，这样的内容可以安排在小学高年级“综合与实践”的课程中。
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探索的过程还是遵照循序渐进的原则，即从简单的情况开始思考。首先探索三角形的情况，通过计算容易知道，三角形的三个边长之和一定时，三角形的形状不同面积的大小是不一样的，这是一个发现问题的过程。进一步，可以用语言提出问题：
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周长一定时，是不是存在一个最大面积的三角形？这个三角形的形状是什么样的？
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要回答这个问题，就要进入深入探索规律的过程。还是从最简单的情况入手：从直角三角形开始计算。通过计算可以推测：在三个边长之和给定的情况下，两个直角边长的比是2:1时面积最大 ；因为两个这样的三角形可以合并为一个等边三角形，因此可以想象：对于周长给定的三角形，等边三角形时面积最大。因为等边三角形是一种“对称”，可以让学生感悟到，这种不偏不倚的情况能够使三角形的面积达到最大。
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然后探索四边形的情况，还是从最简单的情况入手：从矩形开始计算。通过具体数值计算能够推测：周长给定的矩形中，正方形的面积最大。很容易把这个结论推广到一般的四边形。
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进而猜想五边形时正五边形面积最大，......，一般多边形时正多边形的面积最大。遵循这个思路在想下去，可以猜想：对于任意图形，圆的面积最大。圆是最对称最和谐的。
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可以看到，这就是一个完满的提出问题的过程。虽然对于小学生来说，证明这些结论是困难的，但也可以给学生们留下一些进一步学习的悬念，感悟到发现问题和提出问题的魅力。
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要鼓励学生自己得到一般性结论，并且用数学的语言、数学的符号来表达一般性的结论，哪怕是很简单的问题。让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的全过程，是帮助学生积累思维经验和实践经验的有效方法，这应当是未来数学教育改革的重点。
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第三部分 图形与几何
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空间是一个关于物体存在形式的基础概念，人们从物体的存在形式中抽象出关于图形以及图形关系的概念，构成数学的研究对象，人们还构建空间的度量方法来研究这些概念的位置关系和变化规律，而几何学就是研究如何构建空间度量方法的学科。人们根据度量方法的不同称谓不同的空间。
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在日常生活中，人们看到的物体都是立体的，所谓的点、线、面、体、角都是人们抽象出来的概念。这种抽象不仅舍去了物体的颜色、构成材料等物体的本质要素，还忽略了所占空间：点不分大小、线不分宽窄、面不分薄厚。这些抽象了的概念本身不是现实的存在，只是一种理念上的存在。
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在欧几里得几何空间中，两点间的直线距离是本质的。通过两点间的直线距离还可以定义线段的长度。所谓矩形就是两个对边长度分别相等的四边形；所谓两条直线平行是指两条直线之间的距离处处相等；所谓两个图形全等就是指这两个图形任意两个对应点之间距离相等；所谓勾股定理就是描述直角三角形三个边长之间的关系；所谓三角函数就是描述直角三角形中的锐角与边长之间的关系。
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在线段长度的基础上，人们在平面定义了面积的度量，在空间定义了体积的度量，这些度量的基础都是两点间的直线距离。
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平移、旋转、轴对称是小学数学“图形与几何”的内容中最为生动的部分，是在“图形的运动”这样的标题下给出的。运动是需要参照物的，平移和旋转的参照物都是一条射线，轴对称的参照物是一条直线。这类运动有一个共同的特点，就是运动之后保持两点间距离不变，这样就保证了物体运动之后形状不变，称这类运动为刚体运动。
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在小学阶段，与“图形与几何”的内容关系密切的核心概念是“空间观念”和“几何直观”。空间观念是对空间中物体的位置、以及位置之间关系的感性认识；几何直观是指能够利用图形描述和分析问题，是指借助图形对事物的直接判断。
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问题20 为什么要把“空间与图形”修改为“图形与几何”？
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在《义务教育数学课程标准》的实验稿中，把研究“图形与图形关系”的学习内容归纳为“空间与图形”，而2011年的最终版本则修改为“图形与几何”。为什么要作这样的修改呢？理解清楚这个问题，对于全面把握义务教育阶段“图形与图形关系”这部分教学内容的本质是有意义的。
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时间和空间是人们认识世界最为基本的概念：通过时间可以分辨事物之间的先后关系，得到事物的顺序差异；通过空间可以分辨事物之间的位置关系，得到事物的性质差异。因此，空间是一个关于物体存在形式的基础概念，人们从物体的存在形式中抽象出关于图形以及图形关系的概念，构成数学的研究对象。为了研究这些概念的位置关系和变化规律，人们必须构建空间的度量方法，几何学就是研究如何构建空间度量方法的学科，详细讨论参见附录中的话题24。在义务教育阶段，这方面的学习内容主要是欧几里得几何，研究对象是抽象出来的那些平直的概念，比如，点、线、面、体、角；度量方法主要是两点间的直线距离。
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从上面的讨论可以知道，构建空间的度量方法是至关重要的，人们根据度量方法的不同称谓不同的空间。比如，把基于直线距离的有限维空间称为欧几里得空间，把基于内积的无穷维空间称为希尔伯特空间，把基于曲线坐标的空间称为黎曼空间，等等。
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在欧几里得几何空间中，两点间的直线距离是本质的，特别是，通过两点间距离还可以定义线段长度，这就构成了空间的度量。比如，所谓矩形就是两个对边长度分别相等的四边形；所谓两条直线平行是指这两条直线之间的距离处处相等；所谓两个图形全等就是指这两个图形任意两个对应点之间的距离相等；所谓勾股定理就是描述直角三角形三个边长之间的关系；所谓三角函数就是描述直角三角形中的锐角与边长之间的关系；等等。
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特别是，小学阶段学习的平移、旋转、轴对称这样的形式可以统称为变换，这一类变换有一个显著的特征，就是保证变换后任意两点间的距离不变，人们称这样的变换为刚体变换。
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问题21 如何理解点、线、面、体、角？
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如上问题20中所说的那样，小学数学教学中涉及到的点、线、面、体、角都是平直的，是基于欧几里得几何的。这些概念是所有受教育者最早接触到的几何概念，这些概念的特点是：看的见、说不清。事实上，越是基本的概念就越难说清楚，这是因为在描述的过程中无法借用其他的概念，而小学数学中所涉及到的概念基本如此，这就给小学数学教学带来了难度。
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在日常生活中，人们看到的物体都是立体的，因此，所谓的点、线、面、体、角都是人们抽象出来的概念。这种抽象不仅舍去了物体的颜色、构成材料等物体的本质要素，还忽略了所占空间：点不分大小、线不分宽窄、面不分薄厚。因此，这些抽象了的概念本身是不存在的，或者说，这些抽象了的概念只是一种理念上的存在，具体的讨论参见附录中的话题24。
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因为这些概念源于立体图形，因此小学数学“图形与几何”内容的教学应当首先认识立体图形。为了把握立体图形的特征，可以引导学生对立体图形进行分类，在分类的过程中发现共性和差异。在熟悉了各种立体图形的基础上，在一些特殊的立体图形（比如长方体）中抽象出点、线、面的概念，就像图1那样，关于这方面的讨论可以参见《义务教育数学课程标准》的例58。
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在教学过程中应当注意的是，这些概念涉及的线都是直的，涉及的面都是平的，这是欧几里得几何最显著的特征。为了使这部分的教学更加生动，可以把理解几何概念与计数有机地结合起来，如《义务教育数学课程标准》的例46所表述的那样。
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图1 点、线、面的抽象
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在小学阶段数学教学中，关于点、线、面这些数学概念只能给出描述性定义。比如，关于线段的概念，只能先画出一条线段，然后定义说：称这样的图形为线段。在所有描述性定义的教学中，阐述图形的性质是格外重要的，比如进一步述说：线段有两个端点。这样，线段的一边无限延长则称为射线，射线有一个端点；线段的两边无限延长则称为直线，直线没有端点。显然，这里所说的线段是直线段，在教学过程中不能过分强调“直”，但又应当让学生感悟“直”，因为通过这样的感悟可以得到直线段的一个根本性质：两点间的所有连线中直线段最短，这就为未来学习“距离”构建了直观。
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角是很难描述、也是很难理解的概念。在现行小学和初中的数学教材中，都是用“具有公共端点的两条射线组成的图形”来定义角，这样的定义是非常模糊的 ：角是组成图形哪里？是指射线之的面积吗？此外，这样的定义要求角的边的长度是无限的，与现实世界不符，用这样的定义很难解释现实生活中所遇到的角，比如三角形中的角。因此，这样的定义不仅令人费解，并且不可能揭示角的本质。
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图2 如何描述角、如何比较角的大小
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在义务教育阶段、特别是小学教育阶段，关于角还是应当给出描述性定义。比如，可以利用图2中的 (a) 给出角的描述性定义：
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称上面的图形为角。角由两条线段所夹部分组成，这两条线段的一个端点重合。称这两条线段为角的边，角的大小与边长无关。
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在上面的描述性定义中，“角的大小与边长无关”这句话是本质的，因为这句话既包括了射线的情况，又利于对角的理解。在这句话的基础上，为了更好地理解角，教师可以引导学生进一步思考这样的问题 ：如果角的大小与边长无关，那么角的大小是由什么决定的呢？或者提出更加具体的问题：应当如何比较角的大小呢？
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显然，可以用图2的 (b) 来解释如何比较角的大小：因为∠2包含∠1，因此可以说∠2大于∠1。在比较大小的过程中，可以让学生加深理解描述性定义所说的“角由两条线段所夹的部分组成”这句话的涵义。因为图2 (c) 的解释与图2 (b) 的解释是一致的，因此可以用图2的 (c) 来进一步定义角的大小：是由这个角所对应的单位圆的弦长决定的，或者说，是由这个角所对应的单位圆的弧长决定的。其中之所以用“单位圆”是为了统一度量标准，有利于统一比较角的大小；而所谓单位圆半径的大小是人为确定的。由此可以看到，角的大小与两点间的直线距离有关，这样，问题又回归到了欧几里得几何的本质，而三角形的内角和180度也与此有关。
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问题22 认识图形的教育价值是什么？
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在小学阶段“图形与几何”的教学中，有许多内容都与认识图形有关。认识图形不仅仅是为了让学生学会区别图形，知道哪一种图形叫什么名字，更重要的是让学生通过认识图形学会分类。因为认识某种具体图形的教学还只是个案的，只有让学生感悟到了图形的分类才使得教学具有一般意义。在分类的过程中可以让学生感悟如何合理地制订分类标准，学会如何遵循标准进行合理的分类。因为在日常生活和生产实践中，制定标准和遵循标准都是不可或缺的，因此，有效地实施这样的教育过程，特别是让学生在这个过程中感悟标准是如何制订的，对培养学生的数学素养是非常重要的。此外，分类的过程还能培养学生的抽象能力，因为在分类的过程中，既要关注图形的共性也要关注图形的差异，而共性和差异都是抽象的结果，是抽象的具体体现。因此，可以在低年级“综合与实践”中安排这样的教学内容，让学生在动手实践和小组讨论中感悟如何制定标准和遵循标准。
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经验告诉我们，对于差异大的东西分类比较容易，对于差异小的东西分类比较困难。比如，要分辨三角形和四边形就比较容易，因为只需分辨图形（多边形）边数的多少，因此可以制订这样的分类标准：边数不同的图形（多边形）为不同的图形。要分辨长方形和正方形就比较困难，因为长方形包括正方形、或者说正方形是长方形的特例。在这样的教学过程中，只是给出长方形和正方形的定义就不够了，最好能让学生动手操作，在操作的过程中积累基本活动经验，包括思维的经验、也包括实践的经验。具体的操作过程可以是这样的，给学生两张纸，让学生分别折出一个长方形和一个正方形，并且说出其中的道理。这个过程的关键是：长方形只需要对边相等，因此只需要对边折叠相等就可以；正方形还需要邻边相等，因此还需要对角折叠相等。在具体的教学过程中，一定要让学生述说理由，因为会动手还只是培养学生的直观，只有通过述说才能培养学生的思考能力。
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要分辨锐角三角形和钝角三角形就更加困难了。事实上，在分辨锐角三角形和钝角三角形的过程中有一个重要的分水岭，那就是直角三角形。事实上，在分类的过程中，制定标准的核心就是找到分水岭。因此在教学过程中，可以给出上面的图3，其中的直角三角形就是分水岭，在借助图分辨锐角三角形和钝角三角形的过程中，让学生感悟分水岭的作用，为学生学会自己建立分类标准提供几何直观。
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问题23 如何理解长度、面积、体积？
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长度、面积、体积这三个概念都是对图形的度量：长度是对一维空间图形的度量，面积是对二维空间图形的度量，体积是对三维空间图形的度量。这三种度量的基础都是直线段的长度，直线段长度的基础是两点间的直线距离。要度量就必须确定度量单位，而所谓的度量就是：计算所要度量的图形包含多少个度量单位。面积和体积度量单位的基础是一维空间的长度单位，这个长度单位是人为规定的，关于这个长度单位的确定有许多有趣的故事，详细的讨论参见附录的话题27。
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在教学过程中应当注意的是，人们设计度量单位的目的是为了便于度量，因此可以从生活常识出发来设计度量单位，然后再过渡到标准的度量单位。比如，分别用橡皮和铅笔来度量课桌的长度，比较度量的精度并讨论两种度量方法的好坏；分别用步长和脚长来度量教室的长度，比较度量的精度并讨论两种度量方法的好坏。类似这样的教学可以让学生感悟，世界上的所有标准都是人为制定的，因此，要敢于针对实际情况制定自己的标准，敢于对已经制定标准的好坏进行判断。进一步，还可以分别用扑克牌和课本来度量课桌的面积，比较度量的精度并讨论两种度量方法的好坏；分别用茶杯和碗来度量水的体积（进而度量容器的体积，参见附录的话题28），比较度量的精度并讨论两种度量方法的好坏；等等。最后过渡到以厘米（cm）、平方厘米（cm2 ）和立方厘米（cm3 ）为度量单位的标准度量。
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问题24 如何理解平移、旋转、轴对称？
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平移、旋转、轴对称是小学数学“图形与几何”的内容中最为生动的部分，是在“图形的运动”这样的标题下给出的。既然是运动，就不仅要知道运动的结果，还需要想象运动的过程。这类运动有一个共同的特点，就是运动之后保持两点间距离不变，这样就保证了物体运动之后形状不变，人们称这类运动为刚体运动。刚体运动是两个图形全等的充分必要条件，因此可以用刚体运动来定义图形的全等 ，也就是说，可以通过平移、旋转、轴对称来定义图形的全等。
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显然，判断一个物体是否运动是需要参照物的，因此，描述三种图形运动必须构建参照物。因为是在平面上描述这些运动，因此，参照物必须是二维的。可以如下构建三种图形运动的参照物，进而借助参照物定义三种图形运动：
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平移：参照物是一条射线。称图形上的所有点与射线的距离保持不变，沿射线的方向移动相同的距离的运动为平移。
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旋转：参照物是一条射线。称图形上的所有点到射线原点距离保持不变，相对射线移动了相同的角度的运动为旋转 。
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轴对称：参照物是一条直线。称图上的每一点到直线的距离不变的运动为轴对称 。
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从本质上说，应当是先有参照物然后再规定图形的运动，当然，也可以先有了图形的运动然后判断这个运动的参照物是什么。因为后一个问题涉及到判断，因此更加困难。
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图形的许多几何性质可以通过图形的运动直观得到，这是小学数学“图形与几何”内容的要点。比如：如果一条直线是另一直线通过平移得到的，那么这两条直线平行，甚至可以借此来定义平行线；等腰三角形关于底边上的中位线对称，因此等腰三角形的两个底角相等；一个四边形是正方形的充分必要条件是关于对角线对称；等等。在教学过程中教师要把握一个最基本的原则，就是图形的这三种运动保持两点间距离不变，直观地说，就是保持图形的全等。
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在日常生活中，图形的这三种运动的表现丰富多彩，许多教科书中都给出了生动的例子。但有一个例子是富有哲理的，其应用也是非常深刻的，这就是《义务教育数学课程标准》中的例35。这个例子是信息技术中图形数字化的思维基础，这个想法可以直接应用于电视画面的输送，也可以应用于网络图形输送过程中的加密，解密的方法就是知道输送图形与原有图形之间的变换关系。在高年段“综合与实践”的教学中可以安排这样的内容，让学生在游戏中感悟图形的运动，学会用符号表示图形的运动。
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问题25 如何理解空间观念和几何直观？
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空间观念和几何直观都是《义务教育数学课程标准》中提出的核心概念。这两个核心概念都与“图形与几何”的教学内容有关，但又不限于这些教学内容，特别是几何直观并不是仅仅针对几何而言的。
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空间观念是对空间中物体的位置、以及位置之间关系的感性认识，在《义务教育数学课程标准》中关于空间观念是这样叙述的：
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主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形的。
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从上面的论述可以看到，建立空间观念的本质是为了提高学生的空间想象力。这个想象力既包括从现实物体到平面图形的抽象，也包括从平面图形到现实物体的想象，参见《义务教育数学课程标准》中的例11和例16。除此之外，空间观念还包括对方位的认识，以及利用方位判断物体所在位置，例如《义务教育数学课程标准》所要求的：会描述简单的路线图（参见例36）。在帮助学生建立空间观念的过程中，需要把握这样一个基本情况：以“我”为基准判断方位或者位置比较容易、以“他”为基准判断方位或者位置比较困难，因此在教学过程中应当注意到这个区别。
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几何直观这个核心概念不局限于“图形与几何”的内容。直观是指对事物进行的不经过逻辑分析的直接判断，是一种经验层面的东西。生活的经验告诉我们：有些人得直观能要强一些，他们往往能够直接洞察事物的本质，他们的直接判断也往往能够抓住事物的核心；此外，还有些人对某一类事物有着特殊的直观，这要涉及这一类事物他们往往能够给出很好的直接判断。这种直观是思维的前提，这种直观能力的形成既有先天的因素、也有后天的养成，而养成的过程依赖的不是他人的传授，而是本人参与其中的思维活动或者实践活动，因此，这是一种经验的积累。也正因为如此，在《义务教育数学课程标准》的“四基”中包含了“基本活动经验”。
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事实上，不仅仅是数学，几乎所有学科都应当把培养这个学科的直观作为重要的教学目标。数学中的直观主要包含三种：代数直观，几何直观和统计直观，因为建立代数直观和统计直观是非常困难的，因此在义务教育阶段强调的是几何直观。关于几何直观，在《义务教育数学课程标准》中强调的是：利用图形描述和分析问题，因为：
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借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要的作用。
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正如我们在前面讨论过的那样，养成良好的几何直观的作用不局限于数学，对于其他学科（特别是物理学）的学习都是非常重要的，比如，初中物理将要学习的“力”的概念就需要借助向量进行数学表达，特别是表达几种“力”之间的平衡关系。几何直观甚至可以影响到日常生活和生产实践，比如，人们在表述几种事物之间的关系时，通常都会利用几何的图形或者符号，并且用这样的直观来辅助思考、理清思路，使得表述更加清晰、结论更加可靠。
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第四部分 统计与概率
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统计学研究的基础是数据，是通过对数据的分析得到产生数据背景的信息。因此，在“统计与概率”的教学过程中一定要强调数据，强调数据分析观念。
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数据分析大体可以分为两种情况：一种情况不考虑数据的随机性，被称为描述统计；一种考虑数据的随机性，被称为推断统计。在推断统计中也经常会用到描述统计的方法。描述统计只是针对调查了的数据本身进行表述，推断统计则希望推断调查了的数据以外的信息。现代统计学主要研究推断统计，是通过经验了的东西推断未曾经验的东西，得到的结果是或然的。
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通过样本得到的数据具有随机性。这里所说的随机性与不确定性有所区别：为了数据分析科学性的需要，随机性要求数据的获取尽可能地排除人为干扰的影响，排除系统误差的影响。估计是推断统计的重要手段，估计的方法可以是多样的，在义务教育阶段介绍的是被称为最大似然估计的方法。
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如果仅就数学而言，平均数只是一个包含了加法和除法的算式，实在是无足轻重，但平均数在统计学中却是一个非常重要的概念。通过误差模型可以看到使用平均数进行估计的合理性，也可以看到对随机性的两个要求（排除人为干扰的影响，排除系统误差的影响）是必要的。
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概率是指随机事件发生可能性的大小，在一般情况下这个可能性的大小是未知的。虽然概率是未知的，但经验告诉我们：可以认为概率是一个非负的、不大于1的数。除却估计的方法以外，还可以人为地定义概率，这是关于随机事件发生可能性大小的一种度量。度量就必然要涉及模型，在义务教育阶段主要是介绍古典概率模型（简称为古典概型），即要求随机事件出现的可能结果是有限的、出现每一种结果可能性的大小是一样的。
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现实世界的大多数事件都是以随机形式出现的，因此在义务教育阶段的数学教育中学习“统计与概率”的内容是必要的，是培养学生基本数学素养的需要。
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问题26： 为什么要强调数据分析观念？
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统计学研究的基础是数据，是通过对数据的分析得到产生数据背景的信息。由此可以知道，虽然在数据分析的过程中要用到数学，但统计学与数学还是有所不同的，因为数学研究的基础是抽象了的定义和假设。因此，在“统计与概率”的教学过程中一定要强调数据，强调数据分析观念。
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粗略地说，数据分析大体可以分为两种情况：一种情况不考虑数据的随机性，被称为描述统计；一种考虑数据的随机性，被称为推断统计。当然，在推断统计中也经常会用到描述统计的方法。
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描述统计。描述统计只是针对调查了的数据本身进行表述。比如，调查了全班同学的身高可以得到一个表格，但为了把这些数据表述得更加清晰，可以把身高分段、然后计算每个身高段的人数，形成条形统计图或者扇形统计图。还可以对这些数据进一步分析，得到一些特征数据，比如，最高身高、最低身高、平均身高等等，这样就表述了全班同学身高的信息。
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在上述过程中，引导学生对身高进行合理分段是非常重要，因为这关系到能否对数据进行清晰表达和有效分析。一般来说需要强调两件事情：一是分段之前要制定准则，这个准则可以是自己设计的；二是设计的准则要合理，比如，分段区间太小就会导致每一段中的人数太少，分段区间太大就会导致每一段中的人数过多。无论如何，这样的教学活动是非常重要的，有利于培养学生良好地思维习惯，有利于帮助学生积累基本活动经验，包括思维的经验也包括实践的经验。
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可以看到，描述统计是非常重要的，事实上，统计学也是由此发端的，参见附录中的话题29。因此在现代社会的日常生活和生产实践中，描述统计依然应用广泛，比如，家庭收支状况，企业会计报表，政府财政预算，全国人口普查等等。可以看到，在描述统计中没有也不必要强调数据的随机性，只是对数据本身的一种统计。
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推断统计。推断统计希望推断调查了的数据以外的信息。比如，通过一个班级同学的身高信息推断全年级同学的身高情况。如果认为只考虑一个班级的情况不具有代表性，那么可以针对全年级同学身高情况进行抽样调查，之所以要抽样调查是因为全年级同学太多，没有必要全部调查。所谓抽样调查就是抽取这个年级的一部分同学测量身高，对这些同学的身高进行数据分析后推断全年级同学的身高情况。数据分析的方法可以与描述统计的方法完全一样，但得到的结论是或然的、是一种估计。比如，可以估计全年级各身高段人数的比例，可以估计平均身高等等。
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在上述过程中，如何合理地抽取一部分同学是非常关键的，通常称这样的过程为抽样。针对研究问题的不同，可以有各种抽样的方法，但在小学阶段主要介绍的是随机抽样。随机抽样是最一般的、最有效的抽样方法，比如可以事先在“随机数表”中得到一些随机数，然后根据学生的班级顺序和同学的学号进行抽样；可以事先决定在每个班抽相同比例的同学，然后根据同学的学号随机抽样；也可以根据男女同学的比例分配在男生和女生中的抽样数量等等 。
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抽样的重要性，不仅仅是因为总体的数量太大，而是在大多数情况下无法掌握总体。比如，希望知道某种产品的寿命，就不可能把所有的产品都拿来做实验。
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可以看到，推断统计的核心就是通过经验了的东西推断未曾经验的东西，或者说，是通过对样本的数据分析推断总体的情况。因为现实世界的大多数事情都是以随机现象出现的，并且不可能完全知道事情的背景（或者说，不可能完全知道总体的情况），因此，现代统计学主要是研究推断统计，具体的讨论参见附录的话题29。
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正因为现实世界中随机现象是普遍存在的，因此“统计与概率”的教学内容是重要的，并且应当是生动活泼的、是富有启发的。但是，就小学教学而言，不可能让小学生完全理解这些思想，因此《义务教育数学课程标准》中对“数据分析观念”只是要求：
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了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中蕴含着信息；了解对于同样的数据，可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。
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因此，在小学阶段对数据分析观念的要求主要强调两条，一条是知道数据蕴含着信息，知道许多事情应当通过调查研究得到结论；一条是知道通过样本得到的数据是具有随机性的，因此通过样本得到的结论是或然的。显然，小学生理解上述第二条是困难的，因此在教学过程中不能仅仅依靠教师的说教，而应当创设情境让学生感悟其中的道理。
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问题27： 三种统计图之间有什么共性和差异？
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在“统计与概率”的教学内容中涉及到三种统计图：条形统计图，扇形统计图和折线统计图。这三种统计图都可以用来直观地表述数据，使得数据表述信息一目了然，这是三种统计图的共性。但就信息表述的功能而言，这三种统计图还是有所区别的：条形统计图更有利于表述数量的多少，扇形统计图更有利于表述数量所占的比例，折线统计图更有利于表述数量的变化。应当注意到的是，虽然各种统计图的功能有所不同，但只有“好坏”之分而无“对错”之分，也就是说，在实际描述中无论使用那种统计图都不能说是错，而应当说表述的不够好、或许还有更好的方法。这也是统计学与数学的不同之处，因为数学对结果更多地是强调对、或者错。
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即便如此，在教学过程中应当引导学生学会选取合适的表述方式，学会确立判断事物好坏的准则，学会基于准则的判断。因为日常生活中的许多问题往往没有“对错”之分只有“好坏”之分，因此引导学生学会选择更合适的方法是重要的。这也像“数据分析观念”中所解释的那样：了解对于同样的数据，可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法。当然，这里所说的分析方法还包括估计等许多内容，但思想的本质是一样的。
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问题28： 如何理解数据的随机性？
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数据随机性中所说的数据主要是指通过抽样所得到的那些数据，也就说，是推断统计所使用的那些数据。既然是从总体中抽取的一部分样本，那么样本数据就必然存在不确定性：多次抽取样本，每次得到的样本数据会有所不同。但是，这里所说的随机性与不确定性还是有所区别的，为了数据分析的需要，数据的随机性要求数据的获取尽可能地排除人为干扰的影响，尽可能地排除系统误差的影响。比如，可以参见《义务教育数学课程标准》的例22，这个例子是在“综合与实践”的内容中：
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让学生记录自己在一个星期内每天上学途中所需要的时间，并从这些数据中发现有用的信息。
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针对随机性，这个例子的“说明”中特别强调：事先调整家里钟表的时间，使其和学校钟表的时间保持一致；在调查期间需要保证每天上学途中的行为尽量一致。可以看到，前一个要求是为了避免系统误差，后一个要求是为了排除人为干扰。之所以这样要求的理由，我们在下一个问题“平均数的意义是什么”中再详细讨论。
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为了在课堂上容易实施，在《义务教育数学课程标准》中还给出了一个简单易行的例子来解释如何引导学生理解数据的随机性，这就是例40：
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袋中装有4个红球和1个白球。只告诉学生袋中球的颜色为红色和白色，不告诉他们红球数目与白球数目，让学生通过多次有放回的摸球，统计摸出红球和白球的数量及各自所占比例，由此估计袋中红球和白球数目的情况。
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针对学生理解能力的不同，可以确定估计内容不同。比如对于低年级的学生，可以估计红球多还是白球多；对于高年级的学生可以估计红球（或者白球）所占比例，或者进一步，分析所占比例之和为什么等于1；等等。在教学过程中，最好让学生参与其中亲身体验，比如，分小组摸球、每一个小组都有放回地摸20次。在大多数情况下，每个小组摸球的结果是不同的，这就是数据的随机性；但通过摸球的结果可以对袋子中球的情况进行估计，这就是统计推断。
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通常的估计方法是这样的，如果一个小组摸球 n 次，其中摸到红球m次，那么这个小组就可以估计红球所占比例为m/n，这种估计被称为最大似然估计。当然，我们还可以构建其他的估计方法，详细讨论参见附录的话题29.
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显然也是因为随机性，不一定每个小组都恰好估计出红球所占比例为4/5。但因为4/5 = 8/10，那么，估计红球所占比例在7/10和9/10之间的可能性就比较大了 。这个可能性的大小与摸球的次数有关，一般来说，摸球的次数越多则可能性越大：为了使可能性达到80% 左右，应当摸球在20次以上；为了使可能性达到90% 左右，应当摸球在60次以上。这就是通过抽样推断总体的过程，或者说，是通过样本频率估计概率的过程 。除了概率以外，平均数的估计也是非常重要的。
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问题29： 平均数的意义是什么？
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如果仅就数学而言，平均数只是一个包含了加法和除法的算式，对数学运算来说实在是无足轻重，但平均数在统计学中却是一个非常重要的概念。我们通过下面的统计模型来解释这个重要性，从中体会模型的重要性（参见问题18中关于模型的讨论），并且体会如何用数学的方法表述问题26和问题28中所说的随机性。
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因为对事物进行观测或者观察会有误差，因此在大多数情况下，通过抽样得到的数据也会有误差。我们通过下面的算式来描述这个问题，通常称这个算式为误差模型：
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x = μ + ε （10）
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其中x表示观测数据，希腊字母 μ 表示真实数据，希腊字母 ε 表示观测误差。显然，在上面的误差模型中只有观测数据是可能知道的，而真实数据和观测误差都是不知的，那么，通过什么样的方法才能估计真实数据 μ 呢？只有一个办法，就是反复观测。
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假设观测了n次，就得到了一个大小为n的样本，具体数据为：x1，x2，……,xn。根据（10）式所给出的误差模型，可以得到下面n个式子：
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x1 = μ + ε1
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x2 = μ + ε2
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……
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xn = μ + εn
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把上面n个式子的左边和右边分别相加，可以得到
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x1 + x2 + … + xn = nμ + (ε1 + ε2 + … + εn) （11）
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回忆在问题28中对数据随机性的讨论，随机性要求尽可能地排除数据获取过程中的系统误差和人为干扰。可以设想，如果数据的获取满足了随机性的这两条要求，那么，观测误差就必然有正有负；更一般地，当样本数量较大时，还可以要求观察误差正负抵消，因此可以得到 ε1 + ε2 + … + εn ≈ 0。把这个设想的结果代入（11）式，就可以得到
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μ ≈ (x1 + x2 + … + xn) / n，
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上式的右边正是样本数据的平均数，式中的约等号表示是用样本平均数估计真实数据。
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通过上面的分析可以看到，在假定条件下，样本平均数是真实数据的一个好的估计。事实上，我们还可以证明，在误差模型的假定下，样本平均数的数学期望就等于真实数据，因此样本平均数是真值的无偏估计，在这里我们就不讨论这个问题了。
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显然，在小学阶段的数学教学中不可能直接教授这些内容，但教师应当了解上面所描述的数据分析的思想、理解数据分析的方法，应当清楚人们是如何用数学的语言来表述随机性的要求。如果教师能够根据上面所说的基本原则，在教学过程中采取有效的形式渗透这些思想和方法，就能够让学生体验和感悟数据分析的要义。
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问题30： 什么是概率？如何得到概率？
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在上面的几个问题中多次谈到了随机性。经验告诉我们，在日常生活和生产实践中，一些事情可能发生、也可能不发生，可能这样发生、也可能那样发生，人们通常称这样的事情为随机事件。而统计学和概率论的研究对象就是随机事件。
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概率是指随机事件发生可能性的大小，在一般意义上，这个可能性的大小是未知的。因为概率的英文单词是probability，于是人们通常用英语字母 p 表示概率。虽然概率是未知的，但生活经验告诉我们：可以认为概率是一个非负的、不大于1的数，即 0 ≦ p ≦ 1。当概率p = 0 时认为随机事件发生的可能性为0，即意味着这个事件几乎不能发生；当概率p = 1 时认为随机事件发生的可能性为1，即意味着这个事件几乎必然发生；而其他的随机事件都在几乎不能发生和几乎必然发生之间。
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至少可以有两种方法得到未知的概率：一种方法就是前面谈到的估计的方法，比如问题28中所说的估计红球所占比例，如果把这个比例理解为摸出红球的可能性的大小的话，那么问题28的操作过程就是在估计概率；还有一种方法就是不借助数据而直接根据背景定义概率，定义的概率实质上就是对随机事件发生可能性大小的一种度量，这个度量是人们在理想状态制定出来的。
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要度量就必须构建度量的背景，人们通常称这种背景为模型。在整个义务教育阶段，关于概率的内容只涉及到古典概率模型，简称为古典概型。古典概型描述的是这样的背景：事件发生的可能结果是有限的，发生每种结果可能性的大小是一样的；进一步用数学语言阐述就是：如果事件发生的可能结果有n个，那么发生每个结果的可能性的大小都是1/n。详细讨论参见附录的话题30。
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我们通过问题28中所讨论的摸球的例子说明古典概率模型中的概率是如何定义的。显然，摸球的背景是典型的古典概型：因为有5个球，每次摸球必然要摸到这5个球中的1个，因此结果是有限的；因为是在袋子里随机摸球，因此摸到每个球的可能性的大小是一样的，都是1/5。下面考虑随机事件的概率是如何定义的。如果随机事件是：摸一次球，摸到的是红球；用A表示这个事件。因为有4个红球，而这4个红球都有可能被摸到，因此定义随机事件A的概率为：P(A) = 4/5。如果随机事件是：摸一次球，摸到的是白球；用B表示这个事件。因为只有1个白球，因此定义随机事件B的概率是：P(B) = 1/5。显然，如果摸一次球，那么摸到的不是红球就是白球，因此有P(A) + P(B) = 1。
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进一步考虑复杂一些的例子，通过复杂的例子可以更好地了解概率是如何定义的，可以更清晰地把握定义概率的理由和背景是什么。假如考虑的随机事件是：有放回地摸两次球，两次摸到的都是红球；用C表示这个事件。因为袋子里有5个球：4个红球1个白球，因此就球的颜色而言，有放回地摸两次球可能会出现四种情况：红红、红白、白红、白白。所谓红红是指摸两次都是红球，如果把四个红球编上号：1、2、3、4，那么，摸到的两个红球就可能有11、12、13、14、21、…、44 这样不同的搭配。不难计算，一共有16个不同的搭配，或者说有16个不同的结果。根据同样的想法，四种情况的可能结果数分别为
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红红的可能结果数 = 4 × 4 = 16；红白的可能结果 = 4 × 1 = 4；
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白红的可能结果数 = 1 × 4 = 4；白白的可能结果数 = 1 × 1 = 1。
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因此，摸球两次一共有16 + 4 + 4 +1 = 25 个可能结果，摸两次都是红球有16个可能结果。根据前面定义概率同样的思路，可以定义这个随机事件的概率为P(C) = 16/25。事实上，因为事件C是事件 A 连续发生两次，因此也可以通过计算直接得到
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P(C) = P(A)·P(A) = 4/5 × 4/5 = 16/25。
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可以看到，两种方法得到的概率是一样的，因此这样定义的概率是相容的、或者说是无矛盾的。通过类似的计算方法，有兴趣的读者可以得到其他的一些结果，比如，摸两次球都是白球的概率，摸两次球得到一个红球一个白球的概率，等等。
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通过上面具体例子的说明，我们可以总结古典概型定义概率的方法了。如果用 N 表示所有可能结果的个数，用 M 表示事件A发生的可能结果的个数，那么定义事件A发生的概率为
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P(A) = M/N。
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因为事件A可能发生的结果必然是所有可能结果中的一部分结果，因此有0 ≦ M ≦ N，因此必然有0 ≦ M/N ≦ 1，即0 ≦ P(A) ≦ 1，这个结果与前面关于概率的约定是一致的。也可以完全通过语言来表示这个定义：
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P(A) = 事件A的可能结果数 / 所有的可能结果数。
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可以看到，上面关于概率的定义是非常合理的，是符合人们通常思维的。但我们也必须认识到，这样的定义依然是人为的，是人们在理想模型下构建出来的。正因为如此，在构建定义的初期，还是有许多学者通过抛掷硬币等实验手段，对这样定义的合理性进行了验证，关于这个问题更详细的讨论可以参见附录的话题30。
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附录：若干与小学数学有关的话题
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话题1 几种古代的数字符号
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所有的创造出文字的古代文明，都创造出了数字符号。下面的图中，给出了几个古代文明所创造的数字符号 。从图中可以看到，古巴比伦楔形数字是以60进位的。
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话题2 数量的本质
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数量的本质是多与少，因为动物也能够分辨出多与少，比如，一只狗对一只狼的反应与对一群狼的反应是不一样的，这就说明狗知道狼数量的多与少。在一本书中描述了一个故事，这个故事表明动物对于数量的多少具有相当强的分辨能力 ：
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在欧洲某地庄园的望楼上有一个乌鸦巢，主人打算杀死这只乌鸦，可是几次都没有成功，因为他一走进这个望楼乌鸦就飞走，栖在远远的树上，直到他离开望楼才飞回来。后来他想了一个聪明的办法：两个人一起走进望楼，一个人出来，一个人留在里面。可是乌鸦不上当，直到第二人离开望楼才飞回来。主人不死心，连续试验了几天：三个人，四个人都没有成功。最后用了五个人，四个人走出来，一个人留在里面，现在乌鸦分辨不清了，飞了回来。
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对于数量多与少的感知，即便是原始人似乎也应当强于乌鸦，不论乌鸦有多么聪明。由乌鸦的故事似乎可以推断，人类对于数量多少的感知可能比语言的形成还要早，但是，我们也应当知道，与创造文字一样，人类能够从数量、或者说从数量的多与少中抽象出数的概念，最终形成数字系统还是一件非常不容易的事情，这个形成过程经历了相当漫长的岁月。甚至在一些文献中记载 ，至今为止，一些原始部落依然没有形成系统的数字概念，那里的人们只能区分一、二和许多。
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通过上面的讨论我们可以知道，数量的本质是多和少。那么，从数量、以及从数量的多少关系中抽象出数的概念，大概要经历怎样的过程呢？
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话题3 数量多少的比较
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大多数古代文明都是借助对应关系来记载数量的多少。比如，《周易·系辞传》中记载：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契”，就是说上古的人们在绳子上系结来纪录发生过的事件。直到上个世纪初，在满族的风俗中，对于特殊事件的纪录仍然保持这种结绳记事的习惯。
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英语单词中“计算”一词为calculate。这个词的词干来源于拉丁语calculus，这是一个阳性名词，原意是“小石头”，这就意味着，古代欧洲人是利用石头来表示数量的多少。大约在公元前9世纪至公元前8世纪成书的、古希腊著名的荷马史诗中，就是这样记数的 ：
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当俄底修斯刺瞎独眼巨人波吕裴摩斯并离开克罗普斯国以后，那个不幸的盲老人每天坐在山洞口照料他的羊群。早晨母羊外出吃草，每出来一只，他就从一堆石子中捡起一颗石子；晚上母羊返回山洞，每进去一只，他就扔掉一颗石子。当他把早晨捡起的石子都扔光时，他就确信所有的母羊全都返回了。
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故事中讲述的方法，就是把羊的个数与石子个数相对应。这是因为独眼巨人关心的只是母羊是否全都返回山洞，而不是关心一共有多少只母羊。
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在《天空中的圆周率》这本书中还记载这样一件事情 ，1929年，考古学家在公元前15世纪的努孜城废墟（现在伊朗境内）发现了一个很小的圆形土质容器，外侧的楔形文字记载：
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与绵羊和山羊有关的物体
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4只小公羊
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21只生过小羊的母羊 6只生过小羊的母山羊
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6只小母羊 1只公山羊
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8只成年公羊 2只小羊
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这些数字加起来是48。当人们打开这个容器后发现，里面正好有48个泥球。
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通过上面的几个例子可以知道，人类在远古时代就知道借助集合与集合之间元素的对应关系可以分辨多少：如果两个集合的元素能够一一对应，那么这两个集合的元素一样多；如果一个集合有剩余，那么这个集合元素的个数就多于另一个集合元素的个数；反之，就少于另一个集合元素的个数。正是利用这样的对应关系，古代的人们就抽象出了数，并且用符号来表达数。这也是我们为什么在问题2中强调要用对应的方法来认识自然数，在问题9中强调要用对应的方法来解释自然数的加法的理由。因此，在小学阶段、特别是低年段的数学教学中，应当重视数与数量的对应关系，应当重视数的大小与数量的多少的对应关系，并且应当创造出各种生动的案例让学生感悟这样的关系。
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在现代数学中，凡是涉及到集合的问题，都可以看到这种对应关系的应用。比如高中数学，关于函数的定义就利用了这样的对应关系。再比如大学数学，关于集合大小的比较也利用了这样的对应关系，只不过是把这样的一一对应的思想推广到无穷的情况，使得这样的对应方法可以应用于无穷集合元素个数的比较，并据此确立了比较无穷集合大小的准则。
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话题4 十进制的自然数
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在古时候，为了表示更大的自然数，人们除了创造出一到九的符号外，还创造出表示十进制数位的符号，比如，在中国是十、百、千，在古罗马相应的是X、C、M。应当注意到的是，在这个符号系统中，十、百、千等是数位的符号，而在利用数位符号的数字系统中，数位符号是一种具体的存在，是不允许忽略的。比如，在这个数字系统中，用十二来表示12这个数，但要读为一十二、即要把一个十读出来；同样的道理，五十并不是指50，而表示的是五个十。因此可以认为，利用数位符号的数字系统是由语言符号系统向完全数字符号系统的一种过渡。同时也可以看到，利用数位符号的数字系统保留了语言符号系统的合理内核，因此在问题3中，我们强调了这样的“读数”方法。
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在古代汉字系统中，表示数字符号最大的数位符号是“兆”，这是10的12次方，虽然这是一个很大的数，但终究是有限的。由此可见，利用数位符号的数字系统使用起来还有一些不方便的地方。那么，怎样构建一个完全数字符号系统呢？
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可以回想我们的祖先发明的算盘，在算盘上同样多的珠在不同的位置表示的量是不同的，比如，两个珠在个位表示的是二，在十位表示的是二十。由此可以知道，借助算盘可以帮助学生建立数位的直观认识，正因为如此，在修订的《义务教育数学课程标准》恢复了对算盘的认识。但是，应当如何通过数字符号来表述这样的数位功能呢？就像算盘中的空挡一样，只需要再发明一个符号：零。
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“零”是印度人发明的，用sunya表示，原意是“空”。大概因为佛教的影响，印度人认为“空”是一种存在，甚至是绝对的存在。后来阿拉伯人在公元十世纪左右把这个数字符号系统带到了欧洲，现在人们称含有0的数字符号系统为阿拉伯数。
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十进制的数字系统对人类的贡献极大。马克思终生喜爱研究数学，他称赞十进制记数法是：最妙的发明之一 。关于十进制的数字系统，拉普拉斯 有一段非常精彩的阐述：
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用十个记号来表示一切的数，每个记号不但有绝对的值，而且有位置的值，这种巧妙的方法出自印度。这是一个深远而又重要的思想，它今天看来如此简单，以致我们忽视了它的真正伟绩。但恰恰是它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方便，才使我们的算术在一切有用的发明中列在首位；而当我们想到它竟逃过了古代最伟大的两位人物阿基米德和阿波罗尼斯的天才思想的关注时，我们更感到这成就的伟大了。
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可惜在那个时代，拉普拉斯对于中国还不十分了解，于是把这项发明完全归功于印度。许多史料表明，更早地萌发了使用十进制记数法是中国，正如吴文俊 所说：
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位值制的数字表示方法极其简单，因而也掩盖了它的伟大业绩。它的重要作用与重要意义，非但为一般人们所不了解，甚至众多数学专家对它的重要性也熟视无睹。而法国的数学家拉普拉斯则独具慧眼，提出算术应在一切有用的发明中列首位。中华民族是这一发明当之无愧独一无二的发明者。这一发明对人类文化贡献之巨，纵然不能与火的发明相比，至少是可与文化史上我国的四大发明相媲美的。中华民族应以出现这一发明而引以自豪。
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话题5 十二进制与六十进制
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十二进制可能与历法有关，大概来源于月历的使用。几乎所有古老民族的历法最初都是月历，也就是人们通常所说的阴历。这大概是因为月亮伴随着人们度过漫漫长夜，月亮的圆缺变化又是那么明显，于是人们就参照月亮的变化来制定时间。
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通常把朔日，也就是夜空看不见月亮的那一天作为一个月的开始。月亮本身不发光，月光是由于阳光的反射，每逢朔月，月亮正好运行到地球和太阳之间，与太阳同时出没，于是被阳光照亮的那一半背向地球，而面向地球的是黑暗的一半，所以在这一天地球上看不到月球。
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过了朔日，黄昏后在西方天际可以看到弯弯的月亮，称之为新月；十五天后圆月在中天，称之为望月；过了望月，黄昏后的月亮逐渐移向东方，直到下一个朔月，周而复始。这样，人们就称月亮的运行周期为朔望月。可以观察到，一个朔望月应当是30（29.53）日。但是，一个结束的朔日恰好又是新周期的开始，这样就必须以两个月为单位计算周期，因为共有59日，于是人们就调整为大月30日、小月29日。既便如此，两个月还有0.06日的盈余，因此每过一段时间还要增加一个大月，才能保证月初必朔、月中必望。
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月亮的圆缺变化非常明显，因此，把月和日组合在一起容易记忆日月的流逝。但是，基于月的历法很难判别一年的四季，这是因为阴历一年12个月共354日，与地球公转一周365日相差11日多，三年将积34日。这就意味着第一年的春分和第二年的春分相差11天，三年之后春分相差一个月，这个差实在是太大了。一年四季的确定将影响到春种秋收，这对农业生产是一个大问题，因此，许多古老民族在阴历的基础上又用阳历加以补充，这样的历法被称为阴阳合历。
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在古巴比伦，根据出土的乌尔第三王朝（公元前2010-前2003）的行政管理文件，在历法中规定25年加入10个闰月。古巴比伦还规定了7日为周期的星期，分别用太阳、月亮和行星命名，这个规定一直影响到今天。在古代中国，人们使用二十四节气来指导农业生产。二十四节气的基础是阳历，比如，夏至总是在阳历的6月21日左右，冬至总是在阳历的12月21日左右。这样，古代的人们就利用增加闰月的方法来调整阴历的历法，使这个历法尽量与自然季节相吻合，正如《尚书·尧典》所说 ：“以闰月定四时成岁”。比较古巴比伦的历法，古代中国采用的添加闰月的方法更加准确，即19年加7个闰月，如《淮南子·天文训》所记载：“故十九岁而七闰”。很可能是为了与阴历中的月对应，人们在阳历中也规定一年十二个月。
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十二进制在本质上只限于对与季节周期有关、与时间周期有关的表述，虽然在英美等一些国家在某些场合还以十二为单位进行计算，比如，称十二个鸡蛋为“一打”或者“一罗”(gross)，但是在英文中“十二”这个词twelve是由古英语twalif演变而来的，而后者含有“漏掉两个”的意识 ，因此英美的这种单位表述还是基于十进制的。
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在中国传统文化中，12这个数字是非常重要的，甚至影响到今天的每一个中国人，这便是与人的出生年份有关的十二生肖。十二生肖把十二种动物与十二地支联系到一起，这种表示至少可以追溯到汉代，因为在王充 的著作《论衡》中就有与今日述说完全相同的记载。与此有关，古代中国的十二个时辰也是用十二地支命名的，十二地支分别为：
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子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、 亥，
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其中“子时”对应于现在时间23:00–1:00，其余顺推。到了汉代，为了皇宫守夜更替的需要，又把夜晚分为五更，其中“三更”半夜，对应于“子时”在23:00–1:00之间；“五更”黎明，对应于“寅时”在3:00–5:00之间，其余类推。到了宋代，人们进一步把每个时辰一分为二，分别称其为初和正，比如，子被分为初子、正子，并且称这样划分了的时间为小时，这便是现在汉语中“小时”这个词的由来。这样，一日就被划分为二十四小时，延续至今。
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关于使用六十进制记数法的原因众说纷纭，没有一个合理的解释 。不管原因如何，古巴比伦人确实使用六十进制记数方法，参见话题1中的图。这种记数方法至少可以追索到公元前3200年到公元前2900年的乌鲁克时代 。在现代时间的表达中，人们普遍采用六十进制，这可能是受了圆周角的影响，这要归功于对中世纪的欧洲产生巨大影响的古希腊科学家托勒密 ，因为在他的名著《天文学大成》中把圆周划分为360度，每度60分，每分60秒，这个划分沿用至今。
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在古代中国，至少在汉代以前，中国就测定阳历一年的周期是365又1/4日，这是通过土星的运行周期计算得到的，《淮南子·天文训》中用较大的篇幅讨论了这个问题。还有一种方法可以计算阳历一年的周期，这就是利用日影长度的变化周期，古代中国称之为土圭之法。比如，用每年冬至那一天的日影长度进行比较，可以得到一年为365又1/4天，正如《后汉书·律历》中所说：“日发其端，周而为岁，然其景不复，四周千四百六十一日，而景复初，是则日行之终。以周除日，得三百六十五度四分度之一，为岁之日数。”这段话就是说，观察冬至那一天的日影长度，一岁过去后，日影长度不能重合，四岁即1461日过去之后日影长度才重合，所以用4除1461得到一年天数为365又1/4日。古代中国以北极星为参照观察天象，因为一年之后天象复原，于是古代中国规定一个圆周角为365又1/4度，而不是现在通用的360度。
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关于如何纪年，与现在世界通用的公元纪年法不同，古代中国是用60年为一个纪年周期，称60年为一个甲子，这就是干支纪年法。干又称天干，是指岁阳，一共10个，包括：
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甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、葵。
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支又称地支，是指太岁，一共12个，前面已经提到。天干与地支是这样组合的：天干的单数配地支的单数；天干的双数配地支的双数。可以看到，这样组合的所有可能结果正好是10与12的最小公倍数，即2×5×6 = 60。从东汉至今，六十甲子周而复始，干支纪年法没有中断 。
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话题6 公理体系定义的自然数
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虽然用前面提到的对应方法可以抽象出、并且可以用符号和数位来表示自然数，但是，随着数学研究的深入，特别是在用极限理论解释微积分的过程中，人们逐渐认识到必须严格定义实数，而要严格定义实数就必须严格定义有理数，追根溯源，就需要严格定义自然数。严格定义的基础就是公理化，于是用公理化体系定义自然数是势在必行的。
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在现代数学中，人们普遍采用皮亚诺算术公理体系来定义自然数，这个公理体系是意大利数学家皮亚诺（Giuseppe Peano，1858-1932）在1889年发表的文章《用一种新方法陈述的算术原理》中提出的。皮亚诺算术公理体系的基本思路是利用“直接后继”的概念，也就是说，从1开始通过“直接后继”产生1以后的所有自然数。所谓“直接后继”就是在已经定义了的自然数后面再加上1，得到后继自然数，具体形成过程如下：
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2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1，4 = 3 + 1，…… （A1）
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直到无穷多个自然数。可以看到，所谓“直接后继”的方法符合人们认识数的常理，抓住了数的本质规律：数是一个一个大起来的。
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显然，如果遵循“直接后继”的方法，那么，在定义自然数的同时也自然而然地定义了自然数的加法运算，详细讨论参见下一个话题7。后来，皮亚诺又把自然数改为从0开始，这是为了说明0不是任何自然数的后继。
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为了保证自然数存在的唯一性、自然数大小的比较、以及自然数加法运算的可行性，皮亚诺算术公理体系提出下面九条公理：
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1. 0∈N。
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2. a∈N，则a=a。
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3. a,b∈N，a=b等价于b=a。
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4. a, b, c∈N，如果a=b, b=c，则a=c。
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5. a=b，如果b∈N，则a∈N。
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6. 如果a∈N，则a+1∈N。
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7. a, b∈N，如果a=b，则a+1=b+1。
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8. a∈N，则a+1≠0。
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9. 令A是一个类，1∈A。如果a∈N∩A，则必有a+1∈A，那么，N⊆A。
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在上述公理体系中，第5条说的是：与自然数等价的元素都是自然数；第6条说的是：自然数的后继是自然数，这就保证了通过后继就可以得到所有的自然数。必须注意到，在这个体系中，用什么进制方法、以及用什么符号表示自然数都不是本质的，无论是人们在日常生活中使用的“十进制”，还是计算机科学所使用的“二进制”，都可以用来表示自然数。
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公理体系的重要性在于，摆脱了现实背景，实现了最一般意义的抽象：任何“数系”只要满足公理体系，那么，“数系”之间就是等价的，也就是说，虽然“数系”可以各自的符号系统表示运算法则和数的性质，但这些法则和性质之间都是等价的，是可以相互变换的。这条基本原理，保证了可以用计算机的“二进制”来进行我们通常使用的“十进制”的数值计算。
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公理体系中的第7条和第8条是非常重要的，这两条公理保证了自然数的后继是唯一的，进而保证了用“直接后继”产生自然数的合理性。比如，我们要说明
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4 ≠ 3，
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可以用反证法来证明这个结论：如果假设4 = 3，那么根据第7条公理有3 = 2、2 = 1，进而1 = 0，因为最后这个结果与第8条公理矛盾，因此假设不成立，所以根据排中律有4 ≠ 3。
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基于皮亚诺算术公理体系，人们就清晰地定义了自然数，进而就可以通过四则运算、主要是减法和除法这两种逆运算，把自然数扩充到整数、有理数，最后扩充到实数。而严格地定义了实数，就为极限理论的确立奠定了坚实的基础。
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同时也应当看到，这样定义自然数完全排斥了现实背景，在小学阶段的数学教学中引入这样的内容是不合适的。但作为一名数学教师，知道这些的内容还是必要的，因为知道了这些内容就可以更加理性地认识自然数，从而更好地把握课堂教学。
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话题7 借助算术公理体系解释加法运算
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正如在话题6中所说的那样，可以通过“直接后继”的方法，每次加1可以依次得到所有的自然数。显然，这样产生的自然数不是与现实物体对应的、通过问题2中所说的模式“抽象”出来的，而是借助公理体系“定义”出来的：2是1的后继数，3是2的后继数，…… 。
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事实上，通过这种定义也得到了加法运算。因为符号“=”表示的是一种等价关系，这种等价关系有一个很重要性质，那就是对称性。可以把这个对称性表示为
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a = b ←→ b = a。
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因此，通过这个等价关系，就可以得到了加法运算。比如，与话题6中（A1）式的定义对应，就可以得到加法运算规则
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1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 1 = 4， …… （A2）
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虽然（A2）与（A1）的表示是等价的，但两种表示的含义却有着本质的不同:（A1）定义的是自然数，（A2）定义的是自然数的加法。有了这个加法定义之后，借助公理体系中的第9条就可以严格地得到一般的加法运算。我们来论证这个问题。
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第9条述说的是数学归纳法的公理框架 ，其中的关系可以述说如下。令P(a) 是与元素a有关的命题，用A表示关于命题P成立的元素a所构成的集合。这样，利用公理9可以知道：对于任何自然数a（表示为a∈N），如果命题P(a) 成立（表示为a∈N∩A），则必然有P(a+1) 成立（表示为a+1∈A），那么，这个命题对所有自然数N都成立（表示为N⊆A）。这正是数学归纳法的公理框架，参见话题17。下面，我们借助数学归纳法定义自然数的加法运算。
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从0开始，对于任意自然数a∈N，由公理6可以得到a+1。
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如果对于自然数b∈N，得到了a+b，
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那么，可以进一步得到
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a+(b+1)=(a+b)+1。
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根据公理9，加法对a加以所有的自然数成立。
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因为a是任意自然数，所以加法对所有自然数成立。
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上面的论述过于抽象，为了便于理解，我们举一个具体的例子来说明上面的论述。比如，首先定义基于自然数5的加法，通过公理6可以得到5+1。又因为
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5 + 2 = 5 + (1 + 1) = (5 + 1) + 1，
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就得到了5 + 2。进一步，因为
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5 + 3 = 5 + (2 + 1) = (5 + 2) + 1，
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就得到了5 + 3。如此类推，就得到了所有基于5的自然数的加法运算。而“如此类推，就可以得到”的合理性是由公理9保证的。因为上面论证的出发点自然数5是任意选取的，这就证明了加法运算对于所有的自然数是成立的。
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大多数人都会认为，这样产生加法真是繁琐、实在是多此一举。可以为了数学的严谨性，数学家们不能不这样小心翼翼。也正因为如此，我们才在问题9中强调，在小学数学的教学中，不能用这样的定义的方法来讲解自然数的加法，而应当采用对应的方法。
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有了加法，我们就可以明确地在自然数集N上定义大小关系了：对于a, b∈N，称a大于b，如果存在不为0的自然数c∈N，使得a = b + c。把大于关系记为：a﹥b。类似地，可以定义小于关系，用a﹤b表示a小于b。进一步，还可以用第9条数学归纳公理证明数学中著名的“三歧性”定理：对于a, b∈N，下面三种情况：a﹤b，a = b，a﹥b，有且仅有一种情况成立。
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无论如何，借助公理体系定义加法运算是可行的、也是严谨的。正是因为有了这样的严谨，在加法运算基础上产生的四则运算、以及后来的极限运算也都有了根基，使得数学能够得到合理发展。
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话题8 公理体系的必要性与数学证明的形式
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我们在话题6中介绍了算术公理体系，在话题7中用算术公理体系论证了加法运算的合理性。在这个话题，我们将讨论建立公理体系的必要性，进而讨论基于公理体系的数学证明的形式到底是什么。显然，一名数学教师、包括中小学的数学教师，应当从结构上了解现代数学论理的形式，这样就可能从形式上对数学有一个整体的把握，因此，这个话题所要讨论的内容对数学教师提高专业化水平是非常必要的。关于数学证明的逻辑过程，可以参见话题15。
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数学中使用的证明方法通常被称为演绎方法，这是一种形式逻辑的论证方法。这种论证的方法起源于古希腊，集大成者是古希腊哲学家亚里士多德（Aristotle，前384-前322），而在数学上成功地实现了这种论证方法的是古希腊数学家欧几里得（Enclid，约前325-前265）。
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除了必须清晰数学中所使用的概念之外 ，亚里士多德认为，要把问题论证清楚必须把握两个要点：一个要点是论证前提，一个要点是论证形式。
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毋庸置疑，要进行所谓的论证（或者说要进行数学证明），就必须清楚论证的前提是什么。亚里士多德认为论证前提应当是一些公认的基本事实，特别强调：论证前提本身的正确与否是不需要证明的，或者说，论证前提本身的合理性应当是不证自明的、甚至是不可证明的。关于这一点，亚里士多德在《工具论·后分析篇》是这样述说的 ：
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我们认为，并不是所有知识都是可以证明的。直接前提的知识就不是通过证明获得的，这很显然并且是必然的。因为如果必须知道证明由已出发的在先的前提，如果直接前提是系列后退的终点，那么直接前提必然是不可证明的。以上就是我们对这个问题的看法。我们不仅主张知识是可能的，而且认为还存在着一种知识的本原，我们借助它去认识终极真理。
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进一步，亚里士多德又把不需要证明的直接前提分为两类：一类是获得任何知识的都必须把握的前提，称之为公理；一类是获得某些专门领域的知识必须把握的前提，称之为公设。可以看到，亚里士多德的建议是非常重要的，否则我们论证问题将没有一个合理的出发点，而没有合理出发点的论证是没有根基的。也正因为如此，我们在前面的30个问题中反复强调，要在数学教学的过程中引导学生学会从头思考问题，要知道自己思考问题的开始是什么。可以知道，这样强调地目的就是让小学生从小养成良好的思维习惯，一个人的思维习惯是从小养成的。
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在很长一段时间，人们普遍认同亚里士多德的说法，即认为公理应当是那些近乎真理的东西，后来人们逐渐意识到把握真理实在是一件非常困难的事情，因为人们逐渐认识到，对于自然科学而言，绝对的真理是不存在的，所有的结论都依附于一些使得这些结论成立的条件。于是现代数学、包括现代自然科学，一并认为公理和公设是一种假设，参见话题16的讨论。
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欧几里得成功地实现了亚里士多德所提倡的“论证问题需要直接前提”的方法，这表现在欧几里得《几何原本》这部书中 。为了更好地归纳古希腊学者关于几何学方面的研究成果，在这部书中，欧几里得给出论证问题的直接前提：五个公理和五个公设。欧几里得把下面五个命题称为公理：
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1. 等于同量的量彼此相等。
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2. 等量加等量，其和相等。
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3. 等量减等量，其差相等。
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4. 彼此能重合的物体是全等的。
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5. 整体大于部分。
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可以看到，这五个命题所涉及的问题是超出数学的，符合人们生活的经验和思维的常理，因此完全符合亚里士多德对公理所提出的要求。特别是这五个公理的表述简洁高雅，不仅体现了数学的严谨性，也充分体现了数学的美。
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欧几里得《原本》奠定了几何学公理体系的基本结构，影响是深远的。这是人类建立的第一个能够被称之为科学的学科体系，给数学的发展、甚至给物理学等自然科学的发展作出了楷模。许多数学家、科学家都是在学习了《原本》之后才开始了他们的研究生涯，据说牛顿最初对数学并没有兴趣，是他读了《原本》之后才热衷于数学，开始了他天才的思考 。爱因斯坦更是给出了高度的评价 ：
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西方科学的发展是以两个伟大成就为基础，那就是：希腊哲学家发明的形式逻辑体系（在欧几里得几何中），以及通过系统的实验发现有可能找出因果关系（在文艺复兴时期）。
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后来，德国数学家希尔伯特（David Hilbert，1862-1943）又给出了现代数学的几何公理体系。在19世纪前期和20世纪初期，人们建立了一系列的公理体系，比如，皮亚诺算术公理体系，德国数学家策梅罗（Ernst Zermelo,1871-1953）于1908年给出集合论公理体系 ，等等。这些公理体系已经成为现代数学的基础。关于什么是公理体系，德裔美国数学家柯朗（Richa Courant,1888-1972）有一段清晰的论述，他在著作《什么是数学》中谈到 ：
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用通常的话来说，公理体系的观点可以描述如下：在一个演绎系统中，证明一个定理就是表明这个定理是某些先前业已证明过的命题的必然逻辑结果；而这些命题的证明又要利用另一些已证明的命题，这样一直逆推上去，所以数学证明的过程是一个无限逆推的不能完成的任务，除非允许在某一点停下来。因此，必须有一些称为公设或公理的命题，把它们当作真的事实接受下来，而无须加以证明。从它们出发，我们可以设法用纯粹的逻辑论证，推导出所有其他定理。如果一个科学领域中的事实能被纳入这样一个逻辑次序，使得所有的事实都能够从一些选择好的命题出发来证明，则称这个领域已被表示为公理体系。
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借助公理化体系，人们就逐渐构建了现代数学的基本特征：研究对象是基于定义（符号）的，论证逻辑是基于公理（假设）的。可以看到，虽然公理化体系是从现实中抽象出来的，但其表述形式则完全脱离了现实背景。正如希尔伯特解释的那样 ：
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欧几里德关于点、线、面的定义在数学上并不重要，它们之所以成为讨论的中心，仅仅是因为公理述说了它们之间的关系。换句话说，无论是称它们为点、线、面，还是称它们为桌子、椅子、啤酒杯，最终推理得到的结论都是一样的。
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公理化体系对现代数学是必要的，因为凡是具体的东西都必然会出现反例（参见话题26），因此一个科学严谨的数学必须实现高度抽象，而研究对象的符号化、以及论证逻辑的公理化就是实现这种高度抽象的有效手段，这种高度的抽象也深刻地影响了现代数学的教学活动。但我们也应当看到，在义务教育阶段、特别是在小学教育阶段，传授这种抽象的东西是不应该的、也是不可能的。因此，我们在前面的30个问题中反复强调，在教学过程中要重视问题的背景，强调在讲解数、负数、点、线、面、角等基本概念时要重视与现实世界的对应，强调在讲解四则运算法则、在讲解先乘除后加减等运算规则、在介绍各种数学模型的时候也要重视与现实世界的对应。
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除了上面谈到的两个基本特征之外，现代数学还有一个显著特征，那就是论证方法是基于形式的。论证方法的形式化也就是上面所说的、亚里士多德所提倡的第二个要点。这个要点突出体现在亚里士多德所提倡的“三段论”之中，关于这个问题的详细讨论参见后面的话题15。
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这样，论证前提和论证形式就构成了演绎推理的要义，也构成了数学证明的要义。虽然就发现知识而言，演绎推理的作用是微乎其微的 ，但这样的论证形式对于验证命题，对于理清知识体系，甚至对于理清研究思路都是极为重要的。无论如何，古希腊哲学家超乎寻常的直觉和逻辑，为人类思维方法的确立、以及思维能力的提高奠定了坚实的基础。
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在下一个话题中，我们将再一次尝试用公理体系证明加法运算和减法运算的性质，教学一线的教师可以在这些证明中体会数学论理的思维过程，可以加深对数学概念本身的理解。
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话题9 加法运算和减法运算性质的证明
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虽然话题8中的五个公理超出了数学的范畴，但也可以理解这五个公理就是针对数学述说的。如果把公理中的“等于”扩充到“大于等于”，并且用数学的语言“等式”和“不等式”表示，就可以把其中的前三个公理合并写成下面两个数学命题：
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命题1. 等式（不等式）关系具有传递性。
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命题2. 等式（不等式）两边加减相同的量，等式（不等式）不变。
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可以看到，上面这两个命题对于数学是最为基本的、是非常重要的。虽然让小学生完全理解这两个命题是困难的，但教师在教学活动中应当很好把握这两个基本命题，让小学生通过具体的实例感悟这些命题的内涵，而不是单纯地记忆命题的语言表述。事实上，从这两个命题出发，可以论证小学数学中许多常识性的、概念性的东西。
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加上一个正数比原来的数大。如果用数学符号表示，那么，这个命题是说：对于任意的数a和正数b，必然有a + b ＞ a。这个命题的证明过程如下：因为b为正数，因此b ＞ 0；在这个不等式两边分别加上一个数a，根据上述命题2可以得到
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a + b ＞ a，
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因此结论成立。利用类似的方法可以证明与这个结果对称命题：加上一个负数比原来的数小。下面我们来证明两个稍微复杂一些的问题，证明方法是相似的。
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减去一个正数等于加上这个正数的相反数。如果这个命题成立，因为正数的相反数是一个负数，因此通过上面的结论知道：减去一个正数比原来的数小。
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现在证明这个命题。用数学符号表示这个命题：a - b = a + (-b)，其中b ＞ 0。回忆问题10关于“减法是加法逆运算”的定义：
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a - b = x ←→ a = b + x。
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根据命题2，在上面右边等式的两边分别加上（-b）等式不变：a + (-b) = b + (-b) + x。根据相反数的定义可以得到：a + (-b) = x。于是，根据命题1和上面左边等式知道命题成立。
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减去一个负数等于加上这个负数的相反数。如果这个命题成立，因为负数的相反数是一个正数，因此通过这个命题知道：减去一个负数等于加上一个正数。这样，利用已经证明了的结论可以知道：减去一个负数比原来的数大。
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现在证明这个命题。用数学符号来表示这个命题：a - (-b) = a + b。首先令x = a + b。在这个等式分别两边加上b的相反数（-b），由命题2可以得到
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x + (-b) = a + b + (-b)
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= a。
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然后，在上面等式的两边同时减去(-b)，再由命题2知道等式不变，即可以得到：
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x + (-b) – (-b) = a – (-b)。
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因为同样的数相减为0，因此上式意味着：x = a – (-b)。又因为假设x = a + b，所以根据命题1有：a - (-b) = a + b，这就证明了命题。
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上面加重的命题都是加减法运算中最重要的概念，记住这些命题对于学生掌握计算方法、特别是判断运算结果是非常有用的，因此，在教学过程中应当让学生知道这些命题。再一次强调的是，虽然让学生完全理解这些命题的证明过程是困难的，但在教学过程中，还是应当通过一些实际的例子、或者具体的例子让学生感悟其中的道理，而不是让学生单纯的背诵记忆。特别是，如果能够设计出好的教学方案，一定能够成为“帮助学生积累数学思维经验”的有效载体。
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话题10 负数的意义
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在具体讨论负数之前，我们先来分析一个问题，这个问题是在培训的过程中小学一线的数学教师提出来的。说是在对小学数学教师的测试中，有时会有这样的问题：最小的一数位是几？据提问题的小学数学教师说，出题者希望的正确答案是0而不是1，这大概是为了说明自然数的起始是0而不是1。无论如何，这样的问题是不全面的、因而是不确切的，因为在不同的数集回答，问题的答案是不一样的：
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在正整数集合中，最小的一位数是1；
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在自然数集合中，最小的一位数是0；
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在整数集合中，最小的一位数是 -9。
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由此可以看到，在提出或者回答类似问题时，首先应当清楚是在哪个集合讨论问题，这个集合决定了讨论问题的范围。在这个问题中，集合是论证问题的出发点，正如话题8中所讨论的那样，出发点是论证的基础。关于集合的进一步讨论，可以参见下一个话题。
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此外，对于这样的问题，还应当加强对负数符号的理解、进而加强对负数的理解。如果利用对应的方法认识负数（参见问题5），-9应当是一个符号而不是由两个符号组成的，-9表示的是与自然数9量相同、意义相反的数。
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现在，让我们回顾古代中国是如何提出负数的，从而加强对负数意义的理解。如问题5所说，负数及其加减运算最初出现在《九章算术》这本书的《方程》篇中，我想，其中的第八题就能够很好地说明古代先哲为什么要引进负数。第八题是这样表示的 ：
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今有卖牛二、羊五，以买十三豕，有余钱一千。卖牛三、豕三，以买九羊，钱适足。卖羊六、豕八，以买五牛，钱不足六百。问牛、羊、豕价各几何？
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答曰：牛价一千二百，羊价五百，豕价三百。
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术曰：如方程。置牛二、羊五正，豕一十三负，余钱数正；次置牛三正，羊九负，豕三正；次置牛五负，羊六正，豕八正，不足钱负。以正负术入之。
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上面所得“术曰”是讨论解题的方法。要列方程，并且“置”、“次置”、“次置”表示这是一个三元一次方程组；其中特别提示说：如果“卖”所得的钱是“正”的话，那么“买”所付的钱为“负”，如果“余钱”为正的话，那么“不足钱”为“负”；最后，用正负数的加减法运算求得方程组的解。
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下面，我们用现代符号来表述“术曰”中所说的三元一次方程组。分别用x、y、z表示牛价、羊价和豕（猪）价的话，那么，“术曰”中所说的三元一次方程组为：
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2x + 5y + (-13z) = 1000
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3x + (-9y) + 3z = 0
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(-5x) + 6y + 8z = -600
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把“答曰”所示：x = 1200，y = 500，z = 300代入上面的方程，方程成立，即“答曰”所示的数是方程的解。
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由此可见，至少在汉朝，古代中国的先民就已经在日常生活和生产实践中广泛地使用负数了，特别难能可贵的是，他们能够非常清晰地理解负数的意义。
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话题11 用符号表示分类
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在这个话题，尝试用符号来表示分类。我们将看到，用符号表示分类，不仅能够更加清晰地表达分类，并且能够更加深刻地理解分类的标准、进而能够更加深刻地理解所要研究问题的性质。在问题4中曾经谈到，凡是不能用于构建分类标准的性质都是不重要的，或者说，凡是重要的性质必须是那些能够成为构建分类标准的性质。我们来分析这个问题。
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用x表示所要研究的东西，称之为元素，用 Ω 表示所有元素所构成的集合。这样，符号x ∈ Ω 就表示x是一个属于集合 Ω 的元素 。例如，要研究非0自然数（除去0以外的自然数），那么 x 就表示任意一个非0自然数，Ω 就表示所有非0自然数构成的集合。
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令P表示一个与元素x有关的命题，为了讨论问题的方便，有时也用P表示性质或者标准；用A和B表示基于标准得到的两个集合，其中A表示满足标准P的那些元素构成的集合，B表示不满足标准P的那些元素构成的集合。例如，我们进一步讨论基于集合 Ω 的问题、即讨论所有非0自然数的问题。用P表示命题：能被2整除。那么，集合A就包含所有能被2整除的非0自然数，集合B就包含所有不能被2整除的非0自然数。
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以上面所述的实例为背景，就可以给出分类标准的定义：性质P是分类标准的充分必要条件是集合A和B满足下面两个条件：
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A ∪ B = Ω 和 A ∩ B = φ， （A3）
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其中 φ 表示空的集合、即不存在元素。在这个表达中，符号“∪”被称为“并”，表示“或者”的意思，因此第一个等式表示：如果元素x∈A或者x∈B，则x∈Ω；反之，如果x∈Ω 则x∈A或者x∈B。符号“∩”被称为“交”，表示“同时”的意思，0表示空集合，因此第二个等式表示：“属于集合A同时属于集合B”的元素不存在。
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可以看到，前面例子中的集合A和B满足（A3），因为：一个非0自然数或者能被2整除、或者不能被2整除，二者必居其一，这是第一个等式；一个非0自然数不可能同时被2整除又不被2整除，这是第二个等式。因此对于集合 Ω，命题“能被2整除”可以作为分类的标准，因此对于非0自然数而言，这个命题是一个重要性质。
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也可以看到，在分类的过程中，限定讨论问题的范围、即限定集合 Ω 是重要的，比如针对上面的例子，如果把讨论问题的范围限定在所有自然数，那么（A3）将不成立，因为自然数集合包括0：对于整除而言，0是一个特例。
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有兴趣的读者可以尝试，小学数学教学中常见的性质都能按照这个方法进行分类。
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话题12 素数的故事
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如果要研究素数，那么，第一个要研究的问题是：素数是否会有无限多个。回顾问题4中关于素数的定义：只能被1和自己整除的自然数。凭借直觉，我们很难想象这样的数会有无限多个，因为很难想象一个非常大的数“只能被1和自己整除”。因此，这个命题的正确与否是需要证明的。
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为了方便起见，证明这个命题的等价命题：不存在最大的素数。证明方法就是前面讨论过的演绎推理。据说，是欧几里得第一个给出这个命题的证明。更重要的是，在这个证明过程中使用了反证法，这很可能是人类最早使用反证法论证问题的例证。具体证明如下：
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假设存在最大的素数（通常称这样的假设为归谬假设，是所要证明命题的反命题），设这个素数为p。令p! 表示所有小于等于p的素数的乘积，那么，p! 就必然能被所有的素数整除。下面考虑自然数p!+1，因为p!+1除以任何素数都将余1，所以p!+1是一个素数。但p!+1大于p，这就与“p是最大的素数”这个归谬假设矛盾，所以根据矛盾律，归谬假设不成立。再根据排中律，归谬假设的反命题、即“不存在最大素数”这个命题成立，这便是所要证明的结果。
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可以看到，上面的证明过程是符合人们的思维常理的。事实上，绝大多数用反证法证明的命题都可以直接证明，但因为用反证法证明问题简洁有力，因此反证法不仅在数学证明中被普遍采纳，在其他学科、甚至在日常生活中也被广泛采纳。在话题14，我们将用反证法证明 √2是无理数。现在要说明的是，上述证明的基本依据是矛盾律和排中律，这两个命题就是亚里士多德所说的直接前提，这两个直接前提的正确与否是不需要证明的，详细讨论参见话题16。
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即便证明了素数有无限多个，但人们仍然会感觉到：很大的素数一定会很少。如果要把这个想法抽象为数学问题，可以这样设想：1100到1200之间的素数应当比100到200之间的素数少，虽然两个数之间的间隔是一样大的。这就意味着，随着数的增大，存在素数的数的区间也应当增大。因此，可以进一步用符号来表示这个问题：是否存在随着自然数n变化的自然数的区间，使得这个区间内必定存在素数？1845年，法国数学家伯特兰（Joseph Bertrand，1822-1900）提出了猜想：
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令 n 为大于 1 的自然数，那么，至少存在一个素数p，使得n ﹤ p ﹤ 2n。
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1850年，俄罗斯数学家切比雪夫（Пафну́тий Чебышёв，1821-1894）证明了波特兰的猜想是正确的，人们称这个结果为波特兰-切比雪夫定理。至今为止，人们发现最大的素数是230402457 – 1，这是一个位数超过900万位的数，几乎是不可想象的。
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很大程度上是因为陈景润 的原因，中国的中老年人几乎都知道哥德巴赫 猜想。这个猜想描述了偶数与素数之间的关系：任意一个大于2的偶数可以表示为两个素数之和，即
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偶数 = 素数 + 素数。
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比如，4 = 2 + 2，6 = 3 + 3，8 = 3 + 5，10 = 3 + 7，… 等等。人们诙谐地称哥德巴赫猜想为“1加1”，即1个素数加1个素数。这个问题简单易懂，但要严格地证明这个结论、或者否定这个结论却不是一件容易的事情。人们利用电子计算机对所有小于一亿的偶数进行了验证，结果显示这个猜想是对的，但在严格证明之前，猜想依然是猜想。哥德巴赫猜想是当今数学领域最重要的猜想之一，至今为止最好的结果仍然是陈景润给出的 。
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谈到对于数的认识，必然要提到古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约前572-约前497），因为他以及他所创立的学派对数的近乎宗教的崇拜，罗素在他的《西方哲学史》中说 ：“自从他以来，而且部分由于他的缘故，数学对哲学的影响是既深刻又不幸。…… 数学是我们得以信仰永恒而严格真理的主要源泉，也是得以信仰存在一个超感而可知世界的主要源泉。”
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比如，毕达哥拉斯学派认为大于1的奇数代表男性、偶数代表女性（或许是一个巧合，这个认识与古代中国关于单数为阳、双数为阴的说法是一致的，但古代中国的阳是从1开始的 ）。因为5 = 3 + 2是第一个男性数与第一个女性数之和，因此他们认为5象征男女的结合。
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毕达哥拉斯学派还认为，如果一个数所含有的因数之和正好等于这个数（因数之和等于因数之积），这个数就是一个完满数，显然第一个完满数是6，因为6含有的因数是1，2，3，而6 = 1 + 2 + 3。后来，基督教思想家圣奥古斯丁（St. Augustine，354-430）基于这个想法，在《天堂》一书中说：“虽然上帝能够在瞬间创造世界，但为了表现天地万物的完满，他还是用了6天。”容易验证，第二个完满数是28，因为因数1，2，4，7，14之和等于28。现在人们得到的最大的完满数是一个130000位数，回想问题3中所说的人们用语言表达的最大数位是“兆”，这是10的12次方、即一个12位数，由此可见这个完满数之大。人们用两个数的乘积来表示这个最大的完满数：2216090 ×（2216091 – 1）。至今为止，人们得到的完满数都是偶数，于是可以提出猜想：所有的完满数都是偶数。与哥德巴赫猜想猜想一样，这个问题也是简洁易懂的，但要严格证明这个结论、或者严格否定这个结论都是相当困难的，其困难程度或许不亚于对哥德巴赫猜想的验证。
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数学中有一个分支叫做数论，主要是研究整数的性质，其中有许多问题都与素数有关。因为数论的一些结论可以直接应用于现代信息传递的密码设计，因此数论的研究依然方兴未艾。
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话题13 有理数与无理数
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古希腊大多数数学家都非常重视整数，比如毕达哥拉斯。毕达哥拉斯、以及他所领导的学派认为：万物皆数。他们对整数近乎宗教的崇拜，把所有的事情都与数字联系在一起，最为生动而且影响深刻的例子是，他们发现可以把音乐归结为数与数的关系：两个绷得一样紧的弦，如果一根是另一根长的二倍，就会产生和谐的声音，这两个音相差八度；如果两个弦长的比为3：2，那么会产生另一种和谐的声音，这两个音相差五度。由此可以得到一般的结论：音乐的和声在于多根弦的长度成整数比，比如，三根弦的弦长比为3：4：6。这样，他们就发明了音阶。在一本书中，生动地描述了毕达哥拉斯发现音乐和声规律的故事 ：
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真是天赐好运，他碰巧走过一个铁匠铺，除了一片混杂的声响外，他听到了锤子敲打着铁块，发出多彩的和声在其间回响。毕达哥拉斯立即跑进铁匠铺去研究锤子的和声。…… 他对锤子进行分析，认识到那些彼此间音调和谐的锤子有一种简单的数量关系：它们的质量彼此之间成简单比，或者说简分数。就是说，那些重量等于某一把锤子重量的1/2，1/3或者1/4的锤子都能产生和谐的声音。
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在同样的碗里注入成比例容量的水，也能产生这样的效果。在古代中国，一个类似的定音阶的方法被称为“三分损益法”，这个方法记载在《管子》一书中，命名得到的五声音阶为 ：宫、商、角、徵、羽。从时间上推算，这个结论要比毕达哥拉斯至少早一百多年。
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毕达哥拉斯学派确信：可以用整数或者整数的比（分数）来度量一切事物的量。因此，当他们中的一员发现边长为1的正方形的对角线长为 √2，而这个数无法用分数形式表示时，非常吃惊，于是他们就把这个人扔到了海里 。为此，古希腊学者称可以用整数或者整数的比表示的数为有理数，而称其余的数为无理数，这也就是教科书中称“能够表示为整数或者分数形式的数为有理数”的原因。关于√2是无理数的证明，参见下一个话题。
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话题14 利用反证法证明 √2是无理数
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在上一个话题中谈到，因为 √2的出现促使古希腊数学家把数进行了分类：一类称为有理数，一类称为无理数。其分类的标准就是这个数是否能用整数表示，更具体地说：是否能用整数或者整数的比表示。而 √2就体现了无理数的存在性。后来，古希腊数学家给出了“√2是无理数”这个命题的证明，证明过程使用了反证法。具体证明如下。
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首先提出归谬假设：√2是有理数。
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如果这个假设成立，那么√2就能够表示为两个整数比的形式：√2 = a/b，其中a和b为整数，不失一般性，可以认为两个整数a和b没有公因数。上式等号两边同时平方，整理后得到：
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a2 = 2b2。
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这样，a2 就是一个偶数。因为只有偶数的平方才能为偶数（因为任何一个奇数都可以表示为2n+1的形式，其中n为自然数，由恒等式 (2n+1)2 = 4n2+4n+1可以知道奇数的平方必为奇数，所以只有偶数的平方才能为偶数），所以a为偶数。因为a和b没有公因数，那么a为偶数则b必然为奇数。因为a为偶数，可设a = 2c，其中c为自然数。等号两边同时平方得到a2 = 4c2，于是又有
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2b2 = 4c2，
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即b2 = 2c2。因此，由b2 为偶数可以得到b为偶数。
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根据矛盾律，b不可能又是奇数又是偶数，因此√2不能表示成两个整数比的形式，这就意味着归谬假设不成立。
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根据排中律，归谬假设的反命题成立，即 √2是无理数。
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显然，这个结论与古希腊学者固有的“一切与量有关的事物都可以用整数或者整数比进行度量”的理念相悖，于是，崇尚理性的古希腊学者基本放弃了对代数学的深入研究、而热衷于几何学的研究，甚至用几何学的研究结果来解释代数学的问题，后来人们称这样的研究为几何代数。事实上，用几何作图的方法可以很好地解释诸如 √2这样的无理数，但无法处理更为复杂的诸如 π 这样的无理数。
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话题15 数学证明的思维过程
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在话题8中，我们讨论了现代数学的三个特征：研究对象的符号化、论证逻辑的公理化、证明过程的形式化。在上面的几个话题中，我们进一步讨论了一些数学命题的证明。在这个话题，我们将讨论数学命题是什么、数学证明是什么；讨论数学命题是如何证明的、证明的道理是什么。如果能够理解这些道理，对提高数学教师的数学素养，对数学教师更好地把握数学教学都是很有必要的。
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首先应当清楚的是，数学的目的不是论证研究对象的存在性，即不是论证数是什么、数是如何存在的；也不是论证点、线、面、角是什么、这些东西是如何存在的。数学的目的是论证这些研究对象之间的关系，可以回顾话题8中引用的希尔伯特关于这个问题的述说。因此，除去定义以外，数学命题论述的都是研究对象之间的关系。
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数学命题。在一般意义上，命题是一个能够进行肯定或者否定判断的语句。因此，数学命题也是这样的一个语句。数学命题的核心，就是表示研究对象之间的关系，即把关系概念应用于对象概念。数学命题主要有两种叙述形式。一种命题的形式可以表示为：
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数是可以比较大小的。 （A4）
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称这种形式的命题为正命题。另一种命题的形式可以表示为：
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不是所有的乘法都满足交换律。 （A5）
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称这种形式的命题为否命题。我们称“正”或者“否”是命题本身的属性。
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数学证明的目的、或者说数学证明的功能，就是对数学命题进行“肯定”或者“否定”的判断。显然，数学命题只存在四种可能结果：正正、正否、否正、否否，前面的“正”或者“否”表示判断的结果，后面的“正”或者“否”表示命题本身的属性 。
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直接判断。所谓的直接判断，就是明确地对命题给出“肯定”或者“否定”的判断。这种判断是针对命题本身的，而不是针对命题的内容。比如，如果肯定命题（A4），那么就是肯定命题的主张，认为数是可以比较大小的 ；再比如，如果否定命题（A5），那么就是否定命题的主张，而认为所有的乘法都满足交换律 。因此，这种判断是一种直接的行为，判断的正确与否依赖于对命题、以及对命题所涉及概念的理解。
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比如关于代数命题，要判断“11是一个素数”这个命题是否正确，就取决于对素数的理解：如果真正理解了素数的概念，就应当直接验证11是否能被所有小于11的素数整除，即验证是否能被2、3、5、7整除。因为11不能被这些数整除，因此这个命题是正确的。
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比如关于几何命题，如果真正理解了“三角形内角和为180度”这个概念，那么就应当能够对下面的命题：“一个三角形有两个钝角”、“四边形内角和为360度”、“三角形外角和为360度”这样的命题的正确与否做出直接判断。
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可以看到，小学数学的大部分问题的证明都是基于直接判断，因此在教学过程中，应当注意上面提到的两件事情，一件事情是对命题本身的说明，这便是所谓的“破题”，参见问题6中所提到的例子；另一件事情是加强学生对概念的理解，而不能满足于学生对概念的知道。
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数学推理。所谓推理是从一个命题判断到另一个命题判断的思维过程。回顾话题9中关于“减去一个正数等于加上这个正数的相反数”这个命题的论证，就至少经历了下面三个判断过程：
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1. 令x = a + b。在这个等式分别两边加上b的相反数（-b），由命题2得到
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x + (-b) = a。
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2. 在上面等式的两边同时减去(-b)，再由命题2得到：
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x = a – (-b)。
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3. 利用x为中介体，即利用 x = a + b 且x = a – (-b)，根据命题1就得到了命题。
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这就是数学推理的过程，即从一个命题判断到另一个命题判断，最终得到达到所要论证的结论。依据直觉，我们可以认为上面的推理过程是正确的，得到的结论是可信的。因此，数学推理是推理的一种形式，是指那些推理过程正确的推理。可是，如何才能知道推理过程是否正确呢？这就要求推理的过程符合逻辑。那么，什么样的推理过程才是符合逻辑的呢？
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逻辑推理。假设一个推理经历了若干命题判断的步骤，并且假设每一个步骤对命题的判断都是正确的。那么，如果这些命题的内涵之间具有传递性，这个推理就是有逻辑的，否则这个推理就是没有逻辑的。更通俗地说，如果有一条主线能够把命题从头到尾地串联起来，推理就是有逻辑的，否则就是没有逻辑的。
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为了说清楚什么是能够串联命题的主线，我们分析两个话语。第一个是亚里士多德曾经说过的名言：
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凡人都有死。
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苏格拉底是人。
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所以苏格拉底有死。 （A6）
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这段话是由三个命题组成的，从头至尾的判断是一种推理。因为三个命题涉及的都是“死”，因此存在一条主线，这样的推理是有逻辑的。再比如，英国数学家、逻辑学家德·摩根（A. De Morgan, 1806-1871）举例说明不具有传递性推理可能会出现错误的结果 ：
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苹果是酸的。
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酸的是味道。
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所以苹果是味道。
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这段话也是由三个命题组成的，从头至尾的判断也是一种推理。直觉告诉我们，这样的推理是不对的，或者说，这样的推理是没有逻辑的。为什么是没有逻辑的呢？就在于没有贯穿前后的主线：第一个命题与第二个命题的联系是“酸”，第二个命题与第三个命题的联系是“味道”。
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那么，有逻辑的推理就必然是正确的吗？
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逻辑推理的两种形式。在一个推理过程中，假设每一个步骤对命题的判断都是正确的，并且假设命题的内涵之间是具有传递性的，这就构成了逻辑推理。可以想象，在本质上逻辑推理只存在两种形式：一种形式是命题内涵由大到小，称这样的逻辑推理为演绎推理；一种形式是命题内涵由小到大，称这样的逻辑推理为归纳推理。
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演绎推理。因为这是一种命题内涵由大到小的推理，因此演绎推理是一种从一般到特殊的推理。因为在大的范围内成立的事情在小的范围必然成立，因此通过演绎推理得到的结论一定是正确的。
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我们来分析（A6）的前后逻辑：第一个命题涉及到“所有”人都具有的，第二个命题涉及到“一个”人所具有的，因此，第三个命题的“结论”必然是正确的。亚里士多德依次称这三个命题为“大前提”、“小前提”和“结论”，并且称这种推理形式为“三段论”。“三段论”还有其他的表现形式，但其核心就是那一条贯穿于各个命题的主线 。
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数学证明在本质上就是演绎推理，在形式上就是三段论。所以，数学证明能够使得：通过证明得到的结论与证明起点具有同样的正确性，更明确地说，只要证明的假设条件是正确的，那么通过数学证明得到的结论就是正确的。或许，这就是人们感觉“数学结论类似真理”的缘由。显然，对于数学和一切自然科学，这种形式的推理是不可或缺的，甚至社会科学和人文学科也需要这种形式的推理，因此对于学生来说，了解和掌握这种形式的推理是一种数学素养。事实上，很长一个历史时期，我国基础教育阶段所讲授的数学推理就是这种形式的。
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但是，对于培养创新性人才，仅仅靠演绎推理是不够的，因为演绎推理不能用于发现新东西，我们来说明这个问题。从形式上看，演绎推理从条件到结论的基本形式是：已知A求证B，其中A和B都是已经知道的命题，因此即便数学证明无误，这样的形式也产生不了新的东西；从逻辑上看，演绎推理是从“大命题”的结论得到“小命题”的结论，正像亚里士多德所希望的那样，“大命题”的结论是已知知道的、或者是不可证明的，因此，从逻辑上也产生不了新的东西。
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对于发现新东西而言，还需要另一种形式的逻辑推理，这就是归纳推理。
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归纳推理。这是一种命题内涵由小到大的推理，因此与演绎推理相反，归纳推理是一种从特殊到一般的推理。形象地说，人们借助归纳推理，通过经验过的东西推断那些未曾经验过的东西。比如，对应于述说（A6），归纳推理的述说形式是：
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苏格拉底是人，苏格拉底有死。
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柏拉图是人，柏拉图有死。
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亚里士多德是人，亚里士多德有死。
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…… 。
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所以，凡人都有死。
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可以看到，这样的述说形式就是从经验过的东西推断未曾经验、或者不可能经验的东西：凡人都有死。数学上所有重要的结论，包括已经证明了的重要定理和没有证明的重要猜想，其结论都是这样得到的。或许可以这样说：数学的结论是“看”出来的，而不是“证”出来的。当然，通过这样的“看”所得到的结论不一定是正确的，因此，通过归纳推理所得到的结论是或然的，得到的结论需要通过演绎推理进行验证。
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通过归纳推理可以发现新的东西。可惜的是，长期以来，我国基础教育完全忽略了这种形式的逻辑推理，因此，新修订的《义务教育数学课程标准》提出数学的“基本思想”就包含了这方面的内容，并且在关键词“推理能力”的阐述中，既强调了演绎推理、也强调了归纳推理。
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在前面的问题17、18和19 中都举例说明了什么是归纳推理的教学，但无论如何，我国的基础教育、特别是义务教育阶段的数学教育，还缺少归纳推理的教学经验。这既是存在的问题、也是一个机会，这给广大的活跃在教学第一线的中小学教师提供了一个施展才能的舞台。
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通过归纳推理发现结论，通过演绎推理验证结论，这就是整个数学的论证过程。因此，数学的论证是有逻辑的，数学的体系是严谨的。
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我们已经看到，就数学整体而言，结论的正确性依赖于最初的出发点，比如，数学的公理和假设，就像我们在话题8中、以及这个话题中所讨论的那样。那么，逻辑推理是不是也有最初的出发点呢？我们进行逻辑推理所依赖的思维基础是什么呢？
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话题16 逻辑推理的思维起点
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这是一个非常难以回答的问题，现代的学者们给出了许许多多的逻辑形式，已经达到了使人无法记忆的程度，更无法判断这些逻辑形式本身的合理性 。因此在这个话题中，我们还是强调形式逻辑中的三个最古老的原则，批判性地把这三个原则作为数学推理的逻辑起点，作为建立数学命题和判断数学命题的逻辑起点。这三个原则就是：同一律，矛盾律和排中律。
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同一律。是指一个事物与自身同一，表示为A = A。也就是说，一个事物不能同时存在又不存在；或者说，一个事物不能同时是自身又是别的。显然，同一律要求把这个事物与不是这个事物分辨得非常清楚。但事物总是相对的，事物也总是变化的，这样，就历史发展的长河而言，同一律就显得有些僵化了，正如恩格斯（Friedrich Von Engels,1820-1895）在《自然辩证法》中所批评的那样 ：
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旧形而上学意义下的同一律是旧世界观的基本原则：a=a。每一个事物和它自身同一。一切都是永久不变的，太阳系、星体、有机体都是如此。这个命题在每一个场合下都被自然科学一点一点驳倒了，但是在理论中它还继续存在着，而旧事物的拥护者仍然用它来抵抗新事物：一个事物不能同时是它又是别的。… 抽象的同一性，象形而上学的一切范畴一样，对日常应用来说是足够的，在这里所考察的只是很小的范围或很短的时间。
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在上面的述说中，恩格斯强调一切事物、甚至一切规律都不是永恒不变的，要学会辨证地分析问题。恩格斯的说法是有道理的，以几何学为例，最初人们认为欧几里得几何是永恒不变的真理，包括“过直线外一点能作并且只能作一条平行线”这个公理；后来人们发现也可以建立基于公理“有无数条平行线”的几何，这便是罗巴切夫斯基几何；再后来人们发现还可以建立基于公理“没有平行线”的几何，这便是黎曼几何。特别令人们感到惊讶的是，这三种几何都有明确的物理背景 ，那么，到底哪个才是真正的公理呢？正因为如此，后来人们意识到所谓的公理仅仅是一种假设而已。
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但是，数学教育、特别是基础教育阶段的数学教育，在本质上还是讨论确定性的东西，因此必须使用同一律。比如，关于数学的研究对象，我们必须限定：一个元素x是确定的，一个集合A也是确定的。如果元素x属于集合A，那么，这个元素就永远属于集合A；反之，这个元素不属于集合A，那么，这个元素就永远不属于集合A。这就是关于数学研究对象的逻辑基础 。关于数学的计算法则、数学的内部规律也是如此，一种数学的概念和公理体系一旦确定了，那么其中所蕴含的法则和规律就必须是一成不变的，否则，数学的研究将无法进行。
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矛盾律。这是逻辑推理的基本原则：一个命题不能同时为真又为假。现有的资料表明，矛盾律最初是亚里士多德提出的，他在《形而上学》中写道 ：
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但我们明确主张，事物不可能同时存在又不存在，由此我们证明了它是所有原本中最为确实的。有些人由于学养不足认为需要对此加以证明，但是他们不知道哪些应当证明哪些不应当证明，这正是学养不足的表现。
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这里，亚里士多德所说的“事物”并不是指物本身，更主要的是指一个命题。因此，矛盾律更确切地说法是：正命题与否命题不能同时存在。比如，命题“x是有理数”的否命题是“x是无理数”，那么，x就不可能即是有理数又是无理数；同样，一个图形不可能又是三角形又是四边形，因为四边形不是三角形，因此属于“是三角形”的否命题。这样，亚里士多德不仅强调推理形式必须有明确的出发点，并且强调推理逻辑也必须有明确的出发点。人们接受了亚里士多德的建议，把矛盾律作为不证自明的逻辑推理基础。
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众所周之，中文的“矛盾”一词出于中国春秋战国时代的一个寓言 。矛盾律与人们在日常生活中的思维原则是一致的，就像寓言中所述说的那样，当听众中有人提出“矛盾”之后，使得那个既卖矛又卖盾的人无法回答、十分尴尬。由此可见，矛盾律这个思维原则是可以让所有人接受的。
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事实上，数学证明相当广泛地使用了矛盾律，特别是在反证法中就要使用矛盾律。比如，在话题14中证明√2是无理数时，就用到了：
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b不可能又是奇数又是偶数
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这样的判断，而这样判断的逻辑基础就是矛盾律。矛盾律这个原则对于数学推理至关重要，没有这个原则数学将几乎寸步难行。
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排中律。排中律也是针对推理的基本原则：一个命题不是真的就是假的。可以看到，这个原则对命题本身的要求是非常严格的。在日常生活中，排中律不一定是合适的，特别是中国的传统文化，很难接受“非此即彼”的思维模式。事实上，在日常生活中，不能肯定一件事情的时候并不意味着就要否定这件事情，比如，排中律就不适用于下面两个命题：
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这个菜做的很辣。
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完成这样的事情是很花费时间的。
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这是因为：一个菜可能在“辣”与“不辣”之间；一个工作可能在“费时”与“不费时”之间。虽然排中律也是亚里士多德在《形而上学》中提出的，但他提出的时候就犹豫不决 ：
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在对立的陈述之间不允许有任何的居间者，对于一事物必须要么肯定要么否定其某一方面。…… 如果不是为理论而理论的话，在所有对立物之间，应当存在居间者，故一个人可能既以其为真又以其为不真。在存在与不存在之外它也将存在，因此，在生成和消灭之外有另外某种变化。
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由此可见，排中律的要求过于苛刻，在日常生活中严格地使用排中律是不合适的。但是，正如亚里士多德所说的那样，为了理论而理论研究，我们不能不使用排中律。比如，为了数学证明的严谨性，必须使用排中律，我们来说明这个问题。
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可以用符号来描述排中律：令P表示一个数学命题，用Pc 表示这个命题的反命题，那么P与Pc 必有一个成立，即P + Pc = 1。在前几个话题中，我们曾几次使用反证法来证明问题，而反证法所依赖的基本原理就是排中律。回顾话题12和话题14中反证法的论理过程：
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希望证明命题P成立。
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假定反命题Pc成立，如果在这个假设下推导出的结论与某些事实矛盾，即反命题Pc不成立。
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所以，断言命题P成立。
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比如：话题12中希望证明的命题是“不存在最大素数”，假设的反命题是“存在最大素数”；话题14中希望证明的命题是“√2不是有理数”，假设的反命题是“√2是有理数”。因此，整个反证法的逻辑基础就是排中律，也就是说，没有排中律就没有反证法。可以想象，如果在数学证明中不允许使用反证法，其结果将是灾难性的。
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通过上面的论述可以看到，在数学证明的过程中，同一律、矛盾律和排中律都是非常重要的思维原则，或者说，都是非常重要的思维基础。但也应当注意到：在任何情况下都可以是理直气壮地使用矛盾律；在使用同一律的时候，应当注意到条件是否发生了变化；在使用排中律的时候，必须对数学命题本身进行严格审核，否则会出现不可判定的命题 。
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话题17 数学归纳法的论证逻辑
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数学归纳法也是数学证明中经常要用到的方法。在话题7中，我们曾经用数学归纳法论证了自然数集合上加法的合理性，事实上，还可以用类似的方法证明加法的交换律、结合律等定律。虽然在小学数学教学中，很难让学生掌握这样的证明方法，但是，应当创设一些情景，让学生感悟这种依次论证的思想方法。小学教育处于人生的启蒙阶段，学习一些数学知识固然是重要的，但是让学生感悟数学的思想，帮助学生积累思维的和实践的经验或许更重要。
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为了更好地把握数学归纳法的论证逻辑，我们用数学归纳法证明数学的一个重要公式：前n项和公式。即对任何自然数n，证明算式
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1 + 2 + … + n = n (n+1)/2 （A7）
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成立。证明过程是这样的：
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首先，验证当n = 1时（A7）正确，即：1 = 1·(1+1)/2 = 1。
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其次，假设当n = k时（A7）正确，即：1 + 2 + … + k = k (k+1)/2。
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最后，证明当n = k+1时（A7）正确。
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最后步骤的证明过程如下。在假设成立的等式两边分别加上k+1，根据话题9的命题2，等式仍然成立，也就是：
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1 + 2 + …… + k + (k+1) = k (k+1)/2 + (k+1)
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= (k+1) (k/2+1)
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= (k+1) (k+2)/2，
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可以看到，最后一个式子正是在（A7）中用n+1代替n的表达，这就完成了命题的证明。
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可是，这样的证明正确吗？如果正确，其中的道理是什么呢？进一步，如果这样的证明有道理，那么这样的证明形式具有一般性吗？下面，我们回答这些问题。
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首先，把证明形式抽象到一般。令N是一个自然数集，即
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N = {1，2，…，n，… }。
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用P表示所要论证的命题，用P(k) 表示当n = k时的编号命题。这样，需要证明的问题就是：对任意k∈N，P(k) 成立。即证明所有的编号命题
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P(1)，P(2)，…, P(k)，…
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是正确的。事实上，我们无法对上面的每一个命题逐一进行验证，因为无法验证无穷的情况。因此，针对这样一类问题就要用归纳的方法，人们称这种方法为数学归纳法 ，证明形式如下：
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首先，验证k=1时命题P(1) 成立。
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其次，假定k=n时命题P(n) 成立。
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最后，验证k=n+1时命题P(n+1) 成立。
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我们用反证法来论证这样的证明是正确的。假设上述证明方法不正确，那么，必然存在一些自然数，使得编号命题不成立。令m是使得编号命题不成立的最小的自然数 。
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因为在证明形式中验证了P(1) 成立，所以m≧2，即m-1是一个不小于1的自然数，因此编号命题P(m-1) 存在。因为m是使编号命题不成立的最小自然数，那么命题P(m-1) 就必然成立。这就与证明形式矛盾了，因为我们证明了：如果P(m-1) 成立则P(m) 必然成立。这样，通过矛盾律知道最初的假设不成立，再借助排中律就论证了数学归纳法的正确性。
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一般来说，数学归纳法的核心和难点都在于P(n) → P(n+1) 这个过程的验证。但是，对于最初命题P(1) 的验证也是不能忽略的。我们来分析下面的例子。
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令N是一个自然数集，设命题为：对所有的n∈N，算式
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(n + 1) – n = 2
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成立。这个算式显然是错误的，但我们可以尝试，如果忽略了数学归纳法的第一步将会出现什么情况。具体证明如下：
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假设当n = k时算式成立，即
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(k+1) - k = 2
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成立。验证n = k+1时的情况。计算如下：
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(k+2) - (k+1) = {(k+1) + 1} - (k+1)
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= (k+1) – k
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= 2。
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最后一个等式成立是因为假设前提，因此在假设前提下，上面的证明是准确无误的，所以这个奇怪的算式就成立了。可以看到，问题的原因恰恰是因为忽略了论证的第一步，因为第一步：2 – 1 = 2不成立。因此，在用数学归纳法证明问题时，首先验证命题P(1) 是必要的。甚至在许多问题中，还应当从P(1) 具体地推导出P(2)，这不仅可以进一步核实命题的正确性，还可以在推导的过程中推测由P(k) 到P(k+1) 的论证方法。
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话题18 用小数定义有理数和无理数
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人们长期以来习惯于用分数来表示有理数。据记载，最初是荷兰数学家、工程师斯蒂芬（Simon Stevin，1548-1620）开始用小数来表示有理数的，但与现在的形式有所不同，他用
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24 3（1）7（2）5（3）
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来表示有理数24 。直到十八世纪，一个稳定的十进位小数的表达形式才逐渐形成，即把前面的分数表示为24.375，这种表示方法一直沿用至今。
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后来，人们尝试用小数来表示无理数。显然，要用小数表示所有的无理数，首先要用小数表示所有的有理数。正如在前几个话题中谈到的那样，在历史上，人们在很长的一段时间是用分数m/n的形式来表示有理数的，其中m，n ∈ N，n≠0，并且称不能表示为分数形式的数为无理数。
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这样，为了用小数表示有理数，就需要讨论小数与分数之间的关系。并且只需要讨论区间（0,1）中的数，因为其余的数可以通过平移得到。区间（0,1）中的数可以用小数表示为
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B = 0.a1 a2 … ap (A8)
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或者
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C = 0.a1a2 … ap … (A9)
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这两种形式，其中a1,a2,…,ap 是取值从0到9的自然数。人们通常称（A8）所表示的小数B为有限小数，称(A9)所表示的小数C为无限小数。后来又发现，无限小数还可以进一步划分为两个部分：一部分是无限循环小数，一部分是无限不循环小数。
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这样，分数与小数出现了这样的对应：有的分数可以化为有限小数；有的分数虽然不能化为有限小数，但是却能化为无限循环小数。比如
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1/2 = 0.5, 1/3 = 0.333 …, 1/6 = 0.1666 …, 1/7 = 0.142857142857 … (A10)
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等等。那么，这样的表示是不是具有一般性呢？也就是说，是否所有的分数都可以化为有限小数或者无限循环小数呢？反之，是否所有有限小数或者无限循环小数都可以化为分数呢？如果答案是肯定的，那么，分数就可以与有限小数、或者无限循环小数一一对应，这就意味着，可以通过用一类“特殊小数”来定义有理数，进而可以用“特殊小数”以外的小数来定义无理数。如果定义实数是由有理数和无理数组成的，那么，就可以用小数来表示所有的实数，这样，在本质上就完成了数的扩充。因此，判断分数与有限小数或者无限循环小数之间的对应关系是非常重要的。下面，我们来证明这个结论。
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首先证明命题：所有的分数可以化为有限小数或者无限循环小数。证明如下。考虑分数m/n，其中m﹤n。如果这个分数能够化为有限小数，则结论成立。如果不能化为有限小数，那么，在m后面加0（乘以10）除以n，这时必然会有余数，并且这个余数只能取1和n-1之间的整数。由除法运算法则可以知道，有余数后的除法都是加0填位，因此，最多经过n次运算后，某个余数必然还要出现第二次，并且以后都是以周期形式出现，这就形成了循环小数。比如，计算（A10）中所示的比较复杂的1/7：用10除以7，第一个余数为3；用30除以7，第二个余数为2；以后依次余数为6、4、5、1，这就回归到用10除以7的情况，于是周期就出现了。这就证明了命题。
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然后证明相反的命题：有限小数或者无限循环小数可以写成分数的形式。由（A8）式，一个有限小数可以写为
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B = 0.a1 a2 … ap = a1/10 + a2/102 + … + ap/10p，
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这显然可以通过通分得到一个分母为10p 的分数，因此有限小数可以写成分数形式，即命题对于有限小数的情况是正确的。
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下面证明无限循环小数的情况。由（A9）式，一个无限循环小数可以分为两个部分，一部分是前面有限个（可以是0个）不循环项，然后是无限个循环项。不失一般性，我们假定无限循环小数完全是由循环项组成的，循环项有q个元素。这样，由（A9）可以把小数写成
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B = 0.a1 a2 … aq a1 a2 … aq …
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= a1 (1/10 + 1/10q+1 + 1/102q+1 + … ) + … + aq (1/10q + 1/102q + … )
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= β (1 + 1/10q + 1/102q + … )
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其中，β = 0.a1 a2 … aq 。可以看到，上面的括号中是一个等比级数，公比是1/10q。用Sn表示前n项和，即
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Sn = 1 + 1/10q + 1/102q + … + 1/10nq
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= [1 - 1/10q(n+1) ] / (1 - 1/10q )。
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因为公比1/10q ﹤ 1，因此当n → ∞ 时Sn → 1 / (1 - 1/10q )。所以这个循环小数可以表示为
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B = β / (1 - 1/10q )
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= 0.a1 a2 … aq / (1 - 1/10q )
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= a1 a2 … aq / (10q - 1)，
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这显然是一个分数的形式。比如，
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0.777 … = 7/9，
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0.767676 … = 76/99，
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0.764764764 … = 764/999，
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……
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等等。很明显，任何一个无限循环小数都能写成分数的形式，因此，任何一个无限循环小数都是传统定义的有理数。这就证明了相反的命题。
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把上面的正命题与反命题和起来就可以知道：“分数”与“有限小数或者无限循环小数”是等价的。这样，就可以用小数定义有理数：称有限小数或者无限循环小数为有理数。进一步，可以用小数定义无理数：称无限不循环小数为无理数。进而，就可以用小数定义实数：有理数和无理数统称为实数，或者，称所有的整数和小数为实数。
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人们通常用R表示实数的集合。人们直观地认为，数轴上的点对应的数不是整数就是小数，于是就认为实数与数轴上的点是一一对应的 ，进而认为实数就像直线那样是连续不断的，这便实现了“实数的连续性”。有了实数连续性的概念，人们就可以讨论基于函数的各种极限理论了，这样，微积分的确立也就有了根基了。单从数的扩充就可以看到，微积分基础的确立是相当困难的，这个确立在牛顿发明微积分几百年以后才得以实现。
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话题19 乘法的定义
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在问题12中，通过交换律和分配率，把乘法运算由自然数集合N扩充到整数集合Z。但是，为了说明这种扩充的合理性，我们必须证明这种扩充的唯一性，也就是证明：通过这样的扩充方法得到的运算是、并且只能是已经定义了的乘法运算。下面证明这个问题。
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令“·”是一种运算，这种运算满足两个性质和两个定律：对于a ∈ N，b ∈ N，c ∈ N，有
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性质：0·a = 0，1·a = a；
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定律：a·b = b·a，（a + b）·c = a·c + b·c。
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在定律中，人们称前者为交换律，后者为分配律。
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下面说明证明思路。回忆问题12中的论述，首先在自然数集合N上通过加法的简便运算得到了满足两个性质的乘法运算，然后再通过两个定律把乘法运算从自然数集合扩充到整数集合。因此，为了证明扩充的唯一性，只需要证明：在自然数集合N上，上面定义的运算“·”是加法的简便运算，即证明由性质和定律得到的算法的唯一性。
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证明：对于任意a ∈ N，有
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a·2 = 2·a = (1 + 1) ·a = 1·a + 1·a = a + a = 2a，
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a·3 = 3·a = (1 + 2) ·a = 1·a + 2·a = a + 2a = 3a，
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……
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需要注意到，这里2a和3a表示的是自然数序列中的数，比如，如果a = 4，那么2a表示的就是8，3a表示的就是24。下面用数学归纳法论证一般情况。假设对于n ∈ N，
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a·n = n·a = a + a + … + a = na
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成立，其中na ∈ N。那么对于n + 1，可以得到
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a·(n + 1) = (n + 1)·a = n·a + 1·a = na + a = (n + 1)a，
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其中运算结果 (n+1)a 是自然数集合N中的数。比较问题12中乘法运算的表达可以知道：在自然数集合N上，运算“·”是加法的简便运算。也就是说，在自然数集合N上，满足上面两个性质和两个定律的运算只能是乘法运算。这就完成了唯一性的证明。
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通过上面的运算可以看到，a乘以b得到的结果就是b个a，即a × b = ba = ab，因此在许多情况下，人们在进行乘法运算时，经常会省略乘法符号“×”，直接把a × b 写成ab。并且，把这样的表示应用到除法：a ÷ b = a × (1/b) = a/b。
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有了上面的证明，我们就可以放心大胆地在整数集合上使用乘法、以及两个性质和两个定律。由此也可以知道，方法与算理对于运算是同等重要的，正如《义务教育数学课程标准》在核心概念“运算能力”中所强调的那样。
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话题20 除法运算规定0不能为除数
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在所有教科书中都有这样的规定：在除法运算中0不能为除数。为什么会有这样的规定呢？我们在讨论30个问题的时候曾经反复说过，小学数学中的所有规定都有明确的现实背景，那么，这个问题的现实背景是什么呢？显然，要清晰地回答这个问题，就必须回归到除法的定义，因为根据定义的不同回答的方法也是不一样的。
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乘法的逆运算。如果定义除法为乘法的逆运算，回忆问题13的讨论，通过乘法的逆运算定义除法的模式是这样的：
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a ÷ b = y ←→ a = b × y 。
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其中b为除数。
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如果我们假设b = 0，分析上面的乘法算式，可以有两种情况：一种情况是a不为0，那么，无论y为任何数，上面右边的等式都不成立，因此乘法不成立，进而除法不成立；一种情况是a为0，这样，上面右边的等式可以表示为0 = 0 × y，这时无论y是任何数，等式都成立，因此计算结果不唯一，进而除法不成立。综上所述，在除法运算中0不能为除数。
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基于倒数的除法。依然回忆问题13的讨论，可以把命题“除以一个数等于乘以这个数的倒数”用符号表示为
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a ÷ b = a/b = a × (1/b)。
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其中b是给定的数，而（1/b）满足：
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b × (1/b) = 1。
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如果在上面的式子中b = 0，那么，无论（1/b）为任何数上面的等式都不成立，因此除数为0的除法不成立，因此0不能为除数。这也说明了0不存在倒数。
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话题21 除数是分数时的除法运算
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小学数学的教学中，除数是分数时的除法运算是难点之一。许多情况下，学生只是记住了运算的法则，却很难理解其中的道理。在这个话题中，我们借助问题6中的例题尝试性地讨论这个问题，分析其中的道理，问题6中的例题是
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小红家有鹅4只，是鸭子数量的1/3，问有几只鸭子？
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在问题6，我们曾经用比例的方法讨论了这个问题的解法。但是，小学数学教材中设立这个例题的目的并不是为了讲比例关系，而是为了介绍一个法则：除以一个分数等于乘以这个分数的倒数。虽然在问题13以及话题20中，我们讨论了更为一般的法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，但因为分数的情况特殊，因此在小学数学教学中把这个问题作一个专题还是必要的。
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在具体的教学过程中，必须重视两个核心问题：一个问题是为什么要用除法，一个问题是除以一个分数为什么等于乘以这个分数的倒数。
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为什么要用除法。许多教师对这个问题感到困惑，主要是困惑在分数上：对于现实问题，除以分数的含义是什么？回顾问题13中关于除法的讨论，其中特别强调：对于“a是b的y倍”这样的问题应当用除法，运算形式表示为：a ÷ b = y。因为在这个运算形式中，除数b与商y是对称的，因此算式等价于：a ÷ y = b。对应于后一个算式，可以知道：对于“已知a是b的y倍，求b是多少”这样的问题也应当用除法。
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根据上面的讨论，只要把问题6中的例题适当转换，就可以得到应当用除法的问题：
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小红家有4只鹅，是鸭子数量的2倍，问有几只鸭子？
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显然，这个问题应当用除法，即鸭子的数量为：4 ÷ 2 = 2 (只)。同样的道理，原来的例题也应当用除法，鸭子的数量为：4 ÷ 1/3。同时也应当看到，许多教师对这个问题感到困惑是有道理的，因为在人们日常的话语系统中，很少会说“一个数量是另一个数量的1/3倍”，所以这个例题设计的不尽合理。对于这个例题，还是应当把1/3理解为比例关系，就像问题6中所做的那样。
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为什么要乘以倒数。进一步，我们讨论应当如何解释法则：除以一个分数等于乘以这个分数的倒数。对于这个例题而言，就是要解释为什么
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4 ÷ 1/3 = 4 × 3 = 12。 (A11)
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显然，记住这个法则是非常重要的，但是，在教学过程中也应当让学生多多少少感悟其中的道理，那怕这个道理述说的并不严格。我们尝试性地解释这个法则。
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如果把分数理解为整体与等分关系的（参见问题6），那么，可以从1开始来分析上面的算式。比如考虑重量：把一个整体等分为3份，如果1份的重量是1斤 ，问整体的重量是多少？学生自然会知道：整体的重量是3斤。然后把这个想法抽象为算式：
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1 ÷ 1/3 = 1 × 3 = 3。
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同样的道理，可以得到：2 ÷ 1/3 = 2 × 3 = 6，3 ÷ 1/3 = 3 × 3 = 9，… 。这样，就可以通过类比的方法得到算式（A11），进而得到法则。
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如果把除法理解为乘法的逆运算，则可以严格地证明这个法则。由问题13可以得到：
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4 ÷ 1/3 = ? ←→ ? × 1/3 = 4。 （A12）
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在箭头右边的等式两边分别乘以3等式不变，可以得到
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? × 1/3 × 3 = 4 × 3，
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于是可以得到：? = 4 × 3。比较（A12）箭头左边的等式，因为等量的等量相等，于是有：
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4 ÷ 1/3 = 4 × 3 。
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很容易把上面的证明过程推广到一般的情况，即对于自然数n和m有
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n ÷ 1/m = n × m，
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这就证明了法则。有兴趣的读者可以把这个论证方法与问题13中关于一般法则的论述进行比较，从而加深对除法的理解。
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特别是，如果学习了方程，问题就容易解决了。比如，令 a = 4 ÷ 1/3，在等式两边分别乘以1/3得到：a × 1/3 = 4；两边再分别乘以3得到：a = 4 × 3 。
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话题22 数学中的符号表达
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古代代数学的顶峰大概是在古希腊数学家丢番图（Alexandria Diophantus，约公元250年前后）的时代，现有资料表明，是丢番图首先把抽象的符号引入代数学。他甚至给出了相当现在1/x、以及x的3次以上幂的表现形式，这在当时被认为是极度抽象的、甚至是难以想象的。因为当时的人们普遍认为一个数的2次幂是平方、3次幂是立方，都有具体的几何背景，但3次以上幂就没有具体的几何背景了，因此这样表示是没有意义的。
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丢番图还知道一元二次方程有两个根，但不知道如何处理这两个根，于是他规定：如果两个根均为有理数，那么取较大的一个；如果有根为无理数或者虚数，那么这个方程不可解。这样，话题13中所说的毕达哥拉斯学派发现 √2是无理数就是一个特例了，因为 √2是方程x2 = 2 的一个根，当时的人们认为这样的方程是不可解的。
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丢番图最感兴趣的问题是方程的正整数解，他把许多重要结果写在《算术》这本书中。现在，人们称求方程整数解的问题为丢番图问题。但是，丢番图绝对不会想到的是，他的《算术》这本书引发了一个著名的猜想，这就是费马大定理。
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费马大定理。这个定理与勾股定理关系密切。在勾股定理a2 + b2 = c2 中，a、b和c表示直角三角形的三个边长，三个边长可能为整数，比如a = 3、b = 4和 c = 5。法国数学家费马（Pierre Simon de Fermat，1601－1665）把问题推广到一般的n次幂的代数等式，并且猜想：对于一般的情况、即n ≧ 3时，等式
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an + bn = cn
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不存在整数解，也就是说，不存在同时为整数的a、b、c使得上面的等式成立。因此对这样的一类等式，勾股定理（即n = 2的情况）是一个特例。费马是在读丢番图《算术》这本书拉丁版的问题8时想到这个问题的，以定理的形式把这个结论写在这一页的扉页上 ：
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不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个4次幂写成两个4次幂之和；或者，总的来说，不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次幂之和。
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问题是简洁的，结论是清晰的，但证明却是相当困难的。经历了三个多世纪，经过几代数学家的不懈努力，于1993年这个问题终于被英国数学家怀尔斯（Sir Andrew John Wiles，1953-）解决，长达130页的论文发表于1995年。
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第一个有意识地使用字母表示抽象运算的是法国数学家韦达（Francois Viete，1540-1603）。在韦达之前，人们只解决带有数字系数的方程，比如一元二次方程。当时的人们认为像3x2 + 2x = 1和2x2 + 3x = 5这样的两个方程是不一样的，虽然他们知道求解的方法是类似的。后来，韦达用
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ax2 + bx + c = 0
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的形式一般性地表示一元二次方程，其中a、b、c这些字母系数可以表示任何数。因为把方程由数字系数抽象到了字母系数，于是研究的是一类方程的计算方法。借助字母系数，韦达给出了一般的求根公式，这样，对于具体的数字系数，只要代入公式就可以得到解。不仅如此，韦达还借助字母研究了根与系数之间的关系：如果用x1和x2 表示方程的两个根，那么方程的根与系数之间的关系为
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x1 + x2 = -b/a，x1·x2 = c/a。
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这个公式阐明了方程的本质：由系数可以得到根，同时，知道了根可以推算系数。为了纪念韦达，人们把这个公式称为韦达定理。
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韦达在1591年出版的《分析艺术引论》一书中划分了算术与代数的区别：算术以及数字系数的方程是与数打交道，是数字计算；代数是作用于事物的类别或形式上的方法，是类型计算。很显然，如果没有韦达给出的字母系数的表达方法，就不可能有代数学今天的发展。
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最初，韦达用拉丁文的辅音字母表示已知量，元音字母表示未知量。后来，解析几何的创始人法国哲学家、数学家笛卡尔（Rene Descartes，1596-1650）完成了代数符号的改进工作，用拉丁字母的前几个字母a、b、c表示已知量，用后几个字母x、y、z表示未知量，这种表示方法沿用至今。
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在今天，无论是自然科学还是社会科学、甚至包括人文学科，用符号表达概念、关系、法则已经成为一种常识。下面，考虑一个几何学的例子。
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勾股定理。古代中国很早就知道了直角三角形边长之间的关系，人们称这个关系为勾股定理或者商高定理。这些名称大概来源于《周髀算经》 ，因为这本书中记载，当周公问商高：古代伏羲在制定历法时是如何计算太阳高度的，商高回答：
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勾广三，股修四，径隅五。
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商高是用具体数字来回答问题的：如果一个直角三角形两个直角边（勾和股）的长度分别为3和4，那么斜边（径）的长度就是5。虽然商高的回答没有述说一般性的结论，但商高显然知道：对应直角边成比例的两个直角三角形相似，因此，我们可以把商高的述说理解为一般性的结论。《周髀算经》没有对定理进行证明 。
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现在我们知道，这个关系可以用符号表示为
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a2 + b2 = c2，
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其中a和b分别表示两条直角边长，c表示斜边长。可以看到，这样的表达既简洁又确切，从中可以充分体会到利用符号表达公式的意义。
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不用符号表达的弊病。学会用抽象的符号表达一般的数学关系和运算法则，绝不是一件轻而易举的事情。但是，不进行抽象符号表达至少会带来两个弊病：一是很难进行更加深入的研究，二是很难进行知识的传播。古代中国有过许多重要的数学成果，就是因为没有抽象为符号表达，后来这些数学成果没有得到深入，也没有得到传承，比如，元代数学家朱世杰（1249－1314）的工作。朱世杰在1303年左右出版了数学著作《四元玉鉴》，这部著作述说了许多高维的数学问题，比如，书中提出的“四元术”是一种解多元高次联立方程组的方法、提出的“招差术”是一种高次内插法；书还述说了从立体角度思考的数学问题，比如，书中提出的“垛积术”就是一种从立体层面考虑的三维的级数求和方法 。可惜的是，在朱世杰的这部书中，无论是问题的提出、还是结果的描述几乎都是具体的数值，没有抽象成一般性的符号表达，因此，很难让人理解问题的本质和结果的含义，也能难让人揣摩解决问题的思路，因此明清以后几乎就没有人能够理解朱世杰的工作了。
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数学抽象的本质。由此可见，用抽象的符号来表述概念从而形成数学的研究对象，用抽象的符号来表示研究对象之间的关系从而形成命题，对数学是何等重要。那么，到底什么是数学的抽象呢？数学抽象的本质是什么呢？我们还是回顾亚里士多德的论述。在《形而上学》一书中，亚里士多德对抽象的方法阐述到 ：
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数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉感性的东西诸如轻重、软硬、冷热，剩下的只有数量和关系，而各种规定都是针对数量和关系的规定。有时研究位置之间的关系，有时研究可通约性，还研究各种比例等等。…… 数学家把共同原理用于个别情况，…… 等量减等量余量相等，这便是一条对所有量都适用的共同原理。对于数学研究而言，线、角，或者其他的量（的定义），不是作为存在而是作为关系。
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事实正是如此，数学抽象至少要把握两条：一条是去掉现实世界中事物的那些感性的东西，只保留事物的数量特征或者图形特征、以及数量或者图形之间的关系，并且创造符号、建立概念来表达这些特征和关系，比如，创造自然数的符号、并且建立等于、大于这样的概念来表示自然数之间的关系；再比如，抽象出点、线、面、角这样的图形、并且建立属于、之间这样的概念来表示图形之间的关系；另一条是数学的使命不是研究那些抽象出来的概念本身，而是研究概念之间的关系，并且建立运算法则和数学命题来表述这种关系。这样，在本质上，数学只有两种形式上的抽象：一种是数量与数量关系的抽象，一种是图形与图形关系的抽象。
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那么，抽象了的东西是如何存在的呢？显然，抽象了的东西不可能是具体的存在。比如数字3，在这个世界上并不存在一个抽象了的3，而只存在具体的三匹马、或者具体的三头牛。因此，抽象了的符号和概念不是具体的存在，其存在性体现于每一个具体。
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或许可以这样说，抽象了的符号或者概念是一种抽象的存在，存在于人们的大脑之中。比如，我们看到足球、看到乒乓球，可以抽象出圆的概念，但是脱离了足球、脱离了乒乓球，我们仍然有圆的概念，借助这样的概念我们能够在黑板上画出圆来，甚至借助这样的概念我们可以定义圆、可以研究圆的各种性质。显然我们画出来的圆、我们讨论的圆，依赖的是头脑中存在的抽象了的圆，而不是曾经看到过的足球、乒乓球的简单复制，关于这一点，正如明代画家郑板桥（1693-1765）所说的那样：“我画的是胸中之竹，不是眼中之竹。”我们称这样的存在为抽象了的存在。
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话题23 路程模型：绝对时间与相对时间
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在问题18 中讨论了小学数学涉及到的几种模型，这个话题将深入讨论其中的路程模型。讨论的目的想说明：模型的重要性不仅仅在于数学的表达，而更重要的是对现实世界的解释。模型中的每一个量都有其现实意义，而且在许多情况下，现实意义解释的不同会使模型发生质的变化。我们借用路程模型来述说其中的道理。
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路程模型表述的是：距离、速度、时间这三者之间的关系。如果用 x 表示距离，用 v 表示速度，用 t 表示时间，那么，路程模型可以用符号表示为
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x = vt。 （A13）
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时间是绝对的。在上面的表达式中，距离是由速度与时间决定的，是变化的结果；在一般情况下，速度是一个常值（可以是匀速或者平均速度），因为表示变化的速度必须要用加速度；这样，就单纯的物理意义，在路程模型中只有时间是变化的。那么，时间是什么呢？应当如何度量时间的变化呢？
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人们通常感觉时间就像一条长河，这条长河承载了所有发生过的事情，静静地、以同样的速度流淌着。正如思想家、教育家孔子（前551-前479）在江边的感叹：逝者如斯夫，不舍昼夜。因此，人们认为时间是永恒的，时间是绝对的。英国物理学家牛顿（Isaac Newton，1643-1727）的所有研究就是建立在这种绝对时间之上的，他非常强调时间流逝的不变性 ：
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所有运动都可能加速或减速，但绝对时间的流逝并不迁就任何变化。事物的存在顽强地延续维持不变，无论运动是快是慢抑或停止。
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按照牛顿的说法，时间是绝对的，时间流逝（时间度量）本身是不能发生变化的。过去、现在、将是刻画时间最重要的三个概念，这三个概念本身是绝对的：一个事件，无论是发生在同一地点，还是在相距遥远的地方，意义都是一样的。但仔细思考一下，就会发现牛顿的这个说法是有问题的，比如，遥远的天边打雷的时候，既有闪电又有雷声，是应当通过闪电来确定打雷的“现在”呢、还是应当通过雷声来确定打雷的“现在”呢？经验告诉我们，应当通过闪电来确定，因为是先有闪电后有雷声。那么，更加遥远的地方会怎么样呢？比如，在天狼星附近有一个超新星发生了爆炸，我们在地球上能够同时知道这个事件的发生吗？按照牛顿的说法，“现在”这个概念是绝对的，因此，时间绝对的说法就必然要求那个超新星爆炸的信息“即刻”被送达地球，这是可能的吗？信息的载体是光，因此，时间绝对就必然要求光的速度是无穷大。这是可能的吗？
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光速是绝对的。光速绝对的概念是物理学家爱因斯坦（Albert Einstein, 1879-1955）提出的。光速绝对的概念至少有两层含义：光速是有限的；光速是最快的。
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对于地球而言，光速是无穷大的。在日常生活中，在黑暗的房间打开电灯、顿时灯光普照，我们认为光到达的速度是即时的，因此光速是无穷大的；收音机、电视、手机、卫星定位系统等都是通过电磁传递信息的，我们感觉到这种信息传递是即时到达的，因此可以认为电磁的速度是无穷大。英国物理学家、数学家麦克斯韦（James Maxwell,1831-1879）给出了著名的麦克斯韦方程，告诉我们电磁传递的速度与光速是一样的，因此可以推算光速是无穷大的。那么，对于浩瀚无涯的宇宙，光速也是无穷大吗？下面的事实给出了否定的答案。
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意大利科学家伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）被誉为现代物理学、近代科学的奠基人。当伽利略用自己制作的望远镜观察木星、认定木星也有卫星之后，人们发现了一个奇怪的现象，当地球与木星之间距离发生变化时，木卫一进入木星阴影的时间与计算值之间会发生变化：距离远时相差大一些，距离近时相差小一些，时间最多相差22分钟 。关于这个问题的抽象表达可以参见图A1，图中 A 和 B是地球轨道上的两个不同点。
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图A1 在地球轨道不同点观察木卫一的时间差异
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丹麦天文学家勒默尔（Ole Roemer,1644-1710）认为引起这种时间差异的原因是光的速度，也就是说，光的速度是有限的：光穿越地球轨道直径大约需要22分钟。根据这个想法，勒默尔计算出光速为 214000公里/秒。美国实验物理学家迈克尔逊（Albert Michelson,1852-1931）于1931年，也就是在他生命的最后一刻，给出了光速精密的测定：299910公里/秒。现在，人们利用原子钟测光速为每秒 299792.458公里 。无论观察结果还是实验结果均表明：光的速度是有限的。
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那么，光的速度是最快的吗？这个问题似乎是荒谬的，因为在小学数学中就有顺水行舟的问题，解决问题的关键是知道：
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真实速度 = 船的速度 + 水流速度。
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根据同样的道理，如果在飞驰的火车上向前射出一束光，那么射出光的速度就应当比原来的光速快，这不就否定了光速最快的假说吗？可是，爱因斯坦用“思维的实验”告诉我们，这是不可能的 ：光的速度与发光物体的速度无关。后来，这个结论被迈克尔逊的实验验证。
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迈克尔逊发明了一种用以测定微小长度、折射率和光波波长的干涉仪，这种干涉仪在研究光谱方面起着重要的作用，被人们称为迈克耳逊干涉仪。为了验证以太的存在 ，1887年，迈克尔逊与化学家莫雷（Edward Morley,1838-1923年）利用这种干涉仪，作出了著名的迈克耳逊 - 莫雷实验。这个实验不仅否定了以太的存在，并且验证了光的速度与地球自转速度无关：无论是顺着地球自转方向，还是逆着地球自转方法，光的速度都是一样的。光速速绝对是爱因斯坦狭义相对论的基础，为此，迈克尔逊获得1907年度诺贝尔物理学奖，成为美国获得诺贝尔物理学奖的第一个人。
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光的速度确实与其他物体的运动速度有着本质的不同：光的速度与发光物体的运动速度无关。依据这个本质特征，我们可以认为光的速度是绝对的。那么，我们现在需要考虑的问题是：如果光速是绝对的，时间还会是绝对的吗？
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时间是相对的。为了回答这个问题，我们思考一个想象出来的例子。通过下面的讨论可以看到，从思维逻辑的角度考虑，这个想象出来的例子相当于进行了一个实验，这也就是上面曾经提到过的、爱因斯坦所提倡的“思维的实验”。这样的思考是非常重要的，这样的思考正是构建数学模型的现实基础，因为构建模型需要基于现实的想象。如果可能的话，教师应当把这样的思考引入数学教学活动，这对培养学生的想象力是有好处的。
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可以看到，由（A13）给出的路程模型并没有涉及到观察者，因此是一种静态的描述。如果考虑运动者与观测者之间的相对运动，这个模型也是正确的吗？对于这样一类问题，人们通常称运动者与观测者处于不同的惯性系 。可以构想下面的例子。
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图A2 列车与地面看到光行走的路线
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如图A2所示，一个人在飞驰的列车上，一个人在地面上。这样，列车上的人和地面上的人就处在两个不同的惯性系。在列车的天棚设置一个发光源，在列车的地板上设置一个反光镜，从发光源向地板直射一束光，那么，两个惯性系的人看到的光行走路线将是不同的：在列车上看，光是垂直向下然后向上，如图中的（a）所示；在地面上看，光走了一个 V 形，如图中的（b）所示。那么，应当如何解释这两种不同的情况呢？
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在具体讨论之前，我们需要认可物理学中的一个基本公理，这就是：
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宇宙中所有各处的物理规律都是一样的。 （A14）
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这个公理意味着，无论是在哪一个惯性系，所用的物理学公式都应当是一样的。显然，无论是从哲学角度、还是从现实角度，这个公理都是无可挑剔的，否则我们生活的宇宙就太杂乱无章了。
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根据上面的基本公理，惯性系 A 的路程模型与惯性系 B 的路程模型应当是一样的。因此，为了回答这个问题，我们需要建立两个（A13）式，然后分析这两个式子之间的关系。这两个式子一个是为列车上的人建立的，一个是为地面上的人建立的。
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设列车上的人所在的惯性系为 A，光走过的距离为 xA，所用时间为tA；设地面上的人所在的惯性系为 B，光走过的距离为 xB，所用时间为tB。用 c 表示光速，用 v 表示列车速度。显然，在惯性系 A 中的速度应当是光速 c；在惯性系 B 中的速度应当是 c + v，但我们已经讨论了光速与发光物体的速度无关，于是有 c + v = v。这样，根据路程模型可以得到
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列车上：xA = ctA；
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地面上：xB = ctB。
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如果我们仍然坚持时间是绝对的：tA = tB，由上面的两个式子，就必然有：xA = xB，这个结果意味着：无论是在列车上的人、还是在地面上的人，所看到光走过的路线应当是一样的。但是，这样的结果与事实不符，因此，如果认可“光速是绝对的”这个假说就必须扬弃“时间是绝对的”这个假说，进而认为时间是相对的：在不同的惯性系中的时间度量是不同的，速度越快的惯性系时间流逝越慢。在这个假说下，在列车上时间的流逝要比地面上时间的流逝慢。这真是一种匪夷所思的设想，但是，现今为止所有观察的结果和实验结果都支持爱因斯坦的这种假说。
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根据这个假说，爱因斯坦借助荷兰数学家、物理学家洛伦兹（Hendrik Lorentz,1853-1928）所提出的一种惯性系之间的变换公式、即洛伦兹变换，建立了时间 tA 与 tB 之间、路程 xA 与 xB 之间的变换公式，在这个变换公式中引进了著名的洛伦兹因子：γ = (1 - v2/c2)-1/2，其中 c 为光速，v 为两个惯性系之间的相对速度。
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现实意义的重要性。既然洛伦兹变换是洛伦兹最先提出的，那么，洛伦兹为什么没有提出狭义相对论呢？下面的故事说明，数学模型的现实解释是至关重要的。
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洛伦兹在研究麦克斯韦方程时发现，如果用伽利略变换（一种基于时间绝对的变换公式）从一个惯性系变换到另一个惯性系时，会导致不同惯性系中麦克斯韦方程、以及各种电磁效应的表达不同，这有悖于（A14）所表述的物理学的公理，这是不能被允许的。为更好地解释麦克斯韦方程，洛伦兹提出了一种新的变换公式，引进了著名的洛伦兹因子。1904年，洛伦兹正式发表了他的研究成果 。几乎就是在相同的时间，法国数学家庞加莱（Henri Poincare，1854-1912）从数学的角度也研究了类似的问题，在他的文章中第一次提出了“洛伦兹变换”这个词，并讨论了基于洛伦兹变换的变换群的性质。1905年，爱因斯坦把洛伦兹变换用于时空变换，提出了著名的狭义相对论。
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洛伦兹提出了洛伦兹变化、但没有提出狭义相对论的原因在于，洛伦兹没有更好地理解数学模型中变量的物理意义，特别是没有理解时间 t 的物理意义。正如1915年，洛伦兹在评价爱因斯坦的工作时所说的那样 ：
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我没有成功的主要原因是我墨守只有变量t可被看作是真正的时间，我的局部时间t'最多只被认为是一个辅助的数学量。
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其中洛伦兹所说的 t 是上面所说的 tB，t' 是上面所说的tA。即便如此，爱因斯坦仍然实事求是地评价了洛伦兹的贡献 ：
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可以说，没有洛伦兹变换公式也就没有狭义相对论。… 虽然洛伦兹本人从来不认为自己的理论与狭义相对论的发现有密切的关系，而且他一生都不肯放弃绝对空间和绝对时间的时空观念。但是他的方法确实成为狭义相对论的基本数学方法。
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还有一个事实可以进一步说明，在数学模型中理解物理意义、或者说理解现实意义的重要性。“洛伦兹变换”、“相对论”这些名词都是数学家庞加莱提出来的，但庞加莱是从哲学的角度提出的，并没有很好地理解这些词背后的物理意义，因为他始终对爱因斯坦提出的相对论表示怀疑。
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从上面的讨论可以看到，建立、并且解释模型的基础不是数学、也不是哲学，而是对现实故事本身的理解。正如美籍华人物理学家、诺贝尔奖获得者杨振宁（1922-）所说的那样 ：
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洛伦兹懂了相对论的数学，可是没有懂其中的物理学，庞加莱则是懂了相对论的哲学，但也没有懂其中的物理学。
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现在，还是回到现实世界，我们不能不提出这样的问题：在不同的惯性系中时间不同，这是可能的吗？这个结论意味着：时间的度量是由所在惯性系决定的，这是可能的吗？也就是说，同样一个钟表，在惯性系 A 中度量的时间与在惯性系 B 中度量的时间是不同的，钟表的运行速度与所在惯性系有关，这是可能的吗？为什么会这样呢？
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相对时间的可能性。到目前为止，最精准的度量时间的仪器是原子钟。如果时间是相对的，那么同一台原子钟，在不同的惯性系中得到的时间将是不同的。这真是一件不可思议的事情，但实验结果表明，事实确实如此。比如，带电 π 介子的半衰期是一亿分之十七秒，也就是说，在通常情况下，带电 π 介子每隔一亿分之十七秒粒子就要衰变一半；但是，如果把这种粒子加速到光速的 90% ，则半衰期将会增加两倍多，达到一亿分之三十九秒。正是根据这个原理，在科学实验中，人们利用高速的粒子加速器研究各种粒子的特性。这个结果意味着，在更快的惯性系原子钟将会变慢。
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不知道为什么，古代中国先民凭借直觉似乎感悟到：在不同的场合时间的度量是不同的，因为古代中国的几乎所有涉及到上天的故事，其中关于时间的说法是统一的：天上一日，人间数年。根据爱因斯坦狭义相对论，当相对速度 v 非常接近光速 c 时，洛伦玆因子γ可以非常大，这样，相对时间也可以相差非常大。借助现代科技，人们在宇宙射线中发现，氢原子的原子核的速度与光速相差无几，如果按照地球的时间计算，这种质子穿过银河系的时间需要10万年，但按质子所在惯性系的时间，只需要5分钟。可以想象，如果一个人生活在这种质子所在的惯性系中，地球上已经过了10 万年，对于这个人才过了5分钟，这比“天上一日，人间数年”的说法还要浪漫。
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可是，出现这种情况的原因是什么呢？这个原因就是，在不同的惯性系物体的存在形式不同。为此，爱因斯坦在狭义相对论的基础上，给出了著名的质能变换公式
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E = mc2，
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其中 E 表示能量，m 表示质量，c 表示光速。这个质能变换公式告诉我们，任何物质中都蕴含着大量的能量，比如，通过公式可以计算得到：一克物质中蕴含着 9×1013 焦耳的能量，足以把22吨的水从零度加热到沸腾，这个公式也为制造原子弹奠定了理论基础。进一步，这个公式还意味着，随着速度的增加，物体的动能增加，物体的质量也增加，因此钟表就变慢了。或许可以想象，随着速度的增加，人的新陈代谢也就变慢了。
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通过上面的讨论可以看到，一个简单的路程模型，其中蕴含了多么深刻的物理意义。当然，在小学数学的教学中不可能讲述这些内容，只是希望中小学教师能够通过这个例子更加重视模型的现实性，包括总量模型（加法模型），也包括植树模型和工程模型。
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话题24 几何学的由来
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使得图形成为数学研究对象的真正动力，是土地测量等生产实践的需要。几乎所有国家的数学史都认为几何学起源于古埃及，几何学之所以能够在古埃及萌芽并且得以发展，与古埃及人的生活条件有着密切的关系。埃及地处干旱荒芜的非州北部，只有周期出现的尼罗河泛滥才给这片土地带来生机。尼罗河每年6月份开始泛滥，洪水大约维持4个月，于是人们每年10月在土地干涸后开始播种，第二年尼罗河泛滥前收获完毕。当时洪水泛滥之宏伟是难以想象的，古希腊历史学家希罗多德（Herodotus, 前484-前425）曾经到过埃及，他在著作《历史》一书中记载 ：
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尼罗河在泛滥的时候，它不仅泛滥到三角洲上去，而且也泛滥到被认为是属于利比亚和阿拉伯的那些地方上去；它泛滥到距离两岸有两天的路程的地方，有时远些，有时则近些。
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当尼罗河泛滥到地面上来的时候，只有市镇才可以被看到高高地在水面之上并且是干燥的，和爱琴海上的岛屿非常相似。只有这些市镇露在水面之上，而埃及的其他地方则完全是一片水。… 船只实际上就是经过金字塔的近旁的 … 。
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尼罗河泛滥对于古埃及人们的生活以及经济发展影响重大，以至于政府的税收政策也与洪水的泛滥有关。国家规定：根据每年洪水的高度和耕种的土地面积大小征税，关于这一点，希罗多德在《历史》这部书中是这样记载的：
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如果河水冲毁了一个人分得的土地的任何一部分土地，这个人就可以到国王那里去把发生的事情报告他；于是国王便派人前来调查并测量损失地段的面积；今后他的租金就要按照减少后的土地面积来征收了。我想，正是由于有了这样的做法，埃及才第一次有了量地法，而希腊人又从那里学到了它。
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希罗多德是公元前五世纪的人，他关于古希腊人是从古埃及那里学到几何学的论述应当是有道理的。现在通用的英文几何一词geometry源于古希腊语 γεωμετρια，就是土地测量的意思，因为这个词是由 γη（土地) 和 μετρια（测量）复合而成。
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古埃及人发明几何学完全是为了实际的需要，他们创造了一套有效的计算土地面积的方法，包括三角形、长方形、梯形面积的计算方法，还包括计算圆面积的近似公式。金字塔是人类创造的奇迹，金字塔的建造表明古埃及人已经掌握了相当精确的几何学知识。以其中最大的的胡夫（Khufu）金字塔为例，这是一个底为四方形的锥形体，原高146.5米（现在高138米），底边原长233米（现在长227米）。令人吃惊的是 ：四个底边长度的误差仅为1.6厘米，这是底边长度的1/14000；四个底边直角的误差仅为12分，是直角的1/270000。这是一个在今天都是很难把握的精度，而胡夫金字塔却是兴建于公元前2760年，距今近5000年。
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西方哲学家普遍认为哲学是从古希腊的学者泰勒斯（Thales，约前624-前546）开始的，并且认为在那个时代哲学与科学不分，这就意味着科学也是从泰勒斯开始的。泰勒斯生平无考，但很多书中都记载他成功地预言了一次日食，希罗多德在《历史》这部书中对这个事件进行了生动的描述：
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… 战争正在进行时，发生了一件偶然的事件，即白天突然变成了黑夜。米利都人泰勒斯曾经向伊奥尼亚人预言了这个事件，他向他们预言在哪一年会有这样的事件发生，而实际上这话应验了。美地亚人和吕底亚人看到白天变成了黑夜，便停止了战争，而且他们双方都十分盼望达成和平的协议。
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据现代天文学家推测，那次日食是在公元前585年5月28日。于是，依据上述逻辑，哲学和科学产生于公元前六世纪，那正是中国的春秋时代。令人惊讶的是，也正是在那个时代，在中国黄河流域也创造出了灿烂夺目的文化，其代表人物有：老子、孔子、孟子、庄子、墨子、韩非子等等。这是历史的巧合？还是有一定的必然联系？不可得知。
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泰勒斯曾游历埃及，在那里学到了经验几何，从《希腊数学史》中记载的两件事情可以得到很好的说明 ：一件事情是泰勒斯曾经通过人的身高与影长之间的关系推算金字塔的高度，这大概要用到相似三角形的知识；还有一件事情就是泰勒斯曾经用“军帽测河宽”，为了测量河的宽度，一个人戴着军帽压低帽檐使得眼睛正好能看到对岸，然后转过身来测量在平地上能看到的对应点的距离，这便得到了河的宽度，这大概要用到判定直角三角形全等的知识。
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泰勒斯没有停留在经验几何，他在图形描述的基础上开创了几何学的抽象。雅典柏拉图学院的后期的导师普罗克洛斯（Proclus，410-485）在著作《几何学发展概要》中述说，泰勒斯发现了下述几何命题并给于证明：圆的直径将圆平分；等腰三角形的两个底角相等；两直线相交对顶角相等；角边角对应相等的两个三角形全等。虽然泰勒斯的证明还是非常原始的，但是他所述说的命题本身却已经是相当抽象、相当规范了，这些命题依然是当今初中阶段数学教学的重要内容。但是，几何学的真正成为一门学科，还是从欧几里得开始的。
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话题25 欧几里得《几何原本》
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欧几里得的《几何原本》对于几何学、乃至数学的贡献，几乎怎么评价都不过分，直到十九世纪末叶，欧几里得几乎与几何学还是同义词。
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欧几里得的书更准确地应当称为《原本》 ，因为原书的题名为希腊文 Στοιχεία，这是希腊文“定理”一词 Στοιχείου 的复数形式，因此原书直接的意思是“诸定理” ，这本书的拉丁文译本为Elementa，现代西方普遍沿用拉丁文译名，比如英文翻译为 Elements，就是“原本”的意思。
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人们关于欧几里得的生平所知甚少，普罗克洛斯的著作《几何学发展概要》中记载，他是托勒密一世（Soter Ptolemy, 前367-前283）时代的人，现在普遍认为欧几里得大约生于公元前325年，死于公元前265年 。欧几里得早年在雅典学习，后受托勒密一世的邀请来到了亚历山大图书馆。因为欧几里得的活跃时代比亚里士多德大约晚50年左右，他的思想方法应当是受到了亚里士多德学说的影响。据说，欧几里得《原理》的初稿是他在亚历山大城图书馆教书时使用的教材 。
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最初的《原理》包括十三卷，每卷的结构基本是一样的，由定义和命题两部分组成，只是在第一卷给出定义的同时还给出了公理和公设。欧几里得已经把握住数学研究的根本：通过定义给出概念，得到了数学研究的对象；建立公理和公设，构建了数学研究的前提；利用演绎推理验证命题，规范了数学的论证过程。可以看到，欧几里得的《原本》构建了数学公理化体系的雏形，为未来数学、乃至自然科学的发展提供了范例。
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欧几里得《原理》的开篇就给出了23个定义 ，这些定义描述了平面几何研究的基本对象，依次为：点、线、面、角、多边形、三角形、平行线。事实上，通过长期的日常生活和生产实践，人们已经创建了这些术语并且能够用这些术语进行交流，说明人们已经清楚这些术语的含义。但是，要明确给出这些术语的定义却是一件非常困难的事情，这不仅需要把握术语含义的本质，还必须进行高度的抽象概括。现在我们来分析欧几里得给出的定义，关于点、线、面是这样（其中序号是原序号）：
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1. 点是没有部分的。2. 线只有长度没有宽度。5. 面只有长度和宽度。
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进一步，他又定义了直线和平面：
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4. 直线是它上面的点一样的平放着的线。7. 平面是它上面的线一样的平放着的面。
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关于角、平角、直角和垂直是这样定义的:
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8. 平面角是在一平面但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度。
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9. 当包含角的两条直线是一条直线时，这个角叫做平角。
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10. 当一条直线和另一条直线交成的邻角彼此相等时，这些角的每一个叫做直角，而且称其中一条直线垂直于另一条直线。
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还有一个定义是必须提到的，这就是第23个定义也就是最后一个定义，是于关平行线的：
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23. 平行直线是在同一平面内的直线，向两个方向无限延长，在不论哪个方向它们都不相交。
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欧几里得的定义是幼稚的，这至少表现在两个方面：首先，定义中使用了没有定义的术语，比如长度和宽度；其次，定义中使用了“没有部分的”、“只有长度没有宽度”、“一样的平放着”等令人费解的描述。我们称这样的定义为具有物理属性的定义。
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虽然欧几里得的定义是幼稚的，可是，即便是在两千多年以后的、科学技术已经如此发达的今天，我们能够给出比欧几里得的更好的、具有物理属性的定义吗？或许可以这样认为，数学知识的最后确立通常需要两步抽象：第一步抽象是为了创造新的方法，就像欧几里得所作的这样，这样的抽象往往带有物理属性；第二步抽象是为了更好地解释这些方法，就像下一个话题将要讨论的希尔伯特所作的那样，第二步抽象就是要尽量摆脱物理属性。
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欧几里得更重要的工作是给出了公理和公设，正如亚里士多德所希望的那样。在《原理》中，欧几里得给出了五个公理和五个公设。五个公理是：
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1. 等于同量的量彼此相等。
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2. 等量加等量，其和相等。
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3. 等量减等量，其差相等。
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4. 彼此能重合的物体是全等的。
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5. 整体大于部分。
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这五个公理是超出数学的，符合人们生活的经验和思维的常理，这五个公理的表述简洁高雅，体现了数学的美。但是，其中第四条中存在一个隐患，这就是使用了意义不明的“重合”这样的术语，要实现图形的重合就必然要涉及图形的运动，但欧几里得的整个几何体系中都没有涉及到图形的运动。在下一个话题可以看到，希尔伯特修改了这个公理。欧几里得《原理》中的五个公设是：
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1. 由任意一点到任意一点可以作直线。
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2. 一条有限直线可以继续延长。
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3. 以任意点为心及任意的距离可以画圆。
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4. 凡直角都相等。
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5. 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于两个直角，则这两条直线经无限延长后在这一侧相交。
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这五个公设都是关于图形以及图形关系的假设，这些假设也是基于人们的直观经验。或许是因为所涉及的问题过于具体，这五个公设的描述远远没有五个公理那样优雅。
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前三个公设是关于作图的。欧几里得对于几何作图情有独钟，《原理》中的第一个命题就是关于作图的：对于给定线段，可以做边长等于这个线段的等边三角形。很可能欧几里得希望通过作图来说明几何图形的存在性，后来，这三个公设就成为“尺轨作图”的依据 。
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第四个公设是不必要的，因为从定义9可以确认周角为两个平角，如果用360度来刻画周角的，那么由定义10可以知道所有的直角都是90度，因此根据公理1所有的直角相等。
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第五个公设的叙述最为繁杂，从这个繁杂的叙述中可以体会到欧几里得给出这个公设时的犹豫不决。欧几里得没有从正面回答平行线的问题，既没有给出平行线存在的公设、更没有给出平行线唯一存在的公设 ，比如，没有直接给出下面这样的公设：
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同平面内一条直线和另外两条直线相交，若一侧的两个内角和等于两个直角，这两条直线平行。若两个内角和小于两个直角，这两条直线经无限延长后在这一侧相交。
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我们仔细分析《原理》的定义、公理和公设就会发现，欧几里得是非常谨慎的，他希望在有限的空间来研究几何学的问题，比如，在教室这么大的范围、或者在课桌这么大的范围。因此，我们在进行平面几何的教学过程中，一定要尊重欧几里得的初衷，不要把平面几何的概念和定理应用于很大的空间 。因为想像是需要凭借经验的，在欧几里得的那个时代，人们能够经验、能够感知的空间是相当有限的，比如，对于永远延长下去的直线是无法想像的，对于两条不相交的直线更是无法想象的。事实上，当时的人们已经知道地球是圆的，那么，能在地球表面上能划出一条永远延长下去的、欧几里得所定义的直线吗？进一步，能够确立两条永远延长下去并且永远平行下去的直线吗？
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无论如何，欧几里得所创造的几何学使得数学向科学迈出了强有力的一步，从欧几里得开始，作为科学的数学就开始扬帆起航了。
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话题26 几何基本概念的进一步抽象
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人们普遍认可，希尔伯特是上个世纪最伟大的数学家之一。在1900年巴黎召开的世界数学家大会上，希尔伯特做了题为《数学问题》的重要讲演，在讲演中针对未来数学发展提出了的23个问题，现在这些问题的大多数得到了解决，问题的解决过程极大地促进了二十世纪数学的发展。
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与高斯一样，希尔伯特也是哥廷根大学的教授，但比高斯整整晚100年，在这里我们能体会到哥廷根大学学术传统之深远。希尔伯特于1899年出版了他的著作《几何基础》，后来又有多次修改，最后一版是1930年的第七版，而这部著作的初稿就是纪念高斯的讲座笔记。关于几何学的研究对象，希尔伯特认为最初的定义应当是形式化的，我们在话题8中曾经引用过他的解释：
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欧几里得的关于点、线、面的定义在数学上并不重要，它们之所以成为讨论的中心，仅仅是因为公理述说了它们之间的关系。换句话说，无论是称它们为点、线、面，还是称它们为桌子、椅子、啤酒杯，最终推理得到的结论都是一样的。
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这样，希尔伯特就形成了他的形式化公理体系的基本理念。虽然希尔伯特扬弃了欧几里得的借助物理属性的论述方法，但与欧几里得的《原理》一样，希尔伯特《几何基础》开宗明义也是定义，只是这些定义完全是符号化的：
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定义 设想有三组不同的对象：第一组对象叫做点，用A，B，C，… 表示；第二组对象叫做直线，用a，b，c，… 表示；第三组对象叫做平面，用α，β，γ，… 表示。点也叫做直线几何的元素；点和直线叫做平面几何的元素；点、直线和平面叫做空间几何的元素或空间元素。
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为什么最初的定义必须符号化呢？这是因为，凡是具体的定义就一定会出现悖论，也就是说，如果研究对象的定义不摆脱物理属性，就一定会出现悖论。比如，欧几里得几何关于点的定义是具有物理属性的：点是没有部分的那种东西。那么，依据这个定义就无法解释：两条直线相交必然交于一点，因为无法理解两条直线相交于没有部分的东西。为了避免出现这种意义不明的命题，最好的方法就是将研究对象符号化。事实上，只有符号化才能实现最高度的抽象，并且，只有通过对于符号的计算或者推理，才可能真正地消除经验的直觉，才可能得到更为一般的结论。
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如果实现了符号化，那么，几何学的研究对象就是一堆字母了。对于字母如何研究呢？这就要研究那些被定义了的字母之间的关系。在处理了几何学的研究对象之后，希尔伯特就通过公理的形式给出了描述对象之间的关系术语。事实上，要明晰地定义这些术语也是非常困难的。我们引用希尔伯特公理体系中的一部分，从中感悟希尔伯特是如何构建术语来表示研究对象之间关系的 ：
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第一组公理：关联公理。
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（1）对于两点A和B，恒有一直线a，它同A和B这两点的每一点相关联。
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（2）对于两点A和B，至多有一直线，它同A和B这两点的每一点相关联。
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（3）一直线上至少有两点，至少有第三点不在同一直线上。
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（4）对于不在同一直线上的任意三点A，B和C，恒有一平面α，它同A，B和C这三点的每一点相关联。
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（5）对于不在同一直线上的任意三点A，B和C，至多有一平面，它同A，B和C这三点的每一点相关联。
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（6）若直线a上的两点A和B在一平面α上，则a的每一点都在平面α上。
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（7）若两平面α和β有一公共点A，则它们至少还有一公共点B。
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（8）至少有第四点不在同一平面上。
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第二组公理：顺序公理
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（1）若点B在点A和点C之间，则A，B和C是同一直线上的不同点，这时，B也在C和A之间。
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（2）对于两点A和C，直线AC上至少有一点B，使得C在A和B之间。
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（3）一直线上任意三点中，至多有一点在其他两点之间。
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（4）设A，B和C是不在同一直线上的三点：设a是平面ABC的一直线，但不通过A，B和C这三点中的任一点，若直线a通过线段AB的一点，则它必定也通过线段AC的一点，或者线段BC的一点。
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除了上面的两组公理之外，希尔伯特公理体系中还有三组公理：第三组公理（合同公理）的核心是规定了研究对象之间的相等关系，包含了欧几里得几何中所说的全等 。第四组公理（平行公理）的核心是规定了平行线的唯一性。第五组公理（连续公理）的核心是引进了无穷集合的概念。
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这样，经过十九世纪末、二十世纪初包括希尔伯特在内的一批杰出数学家的努力，通过研究对象的符号化、证明方法的形式化、论证逻辑的公理化，现代数学的根基就逐渐建立起来了。但我们也应当看到，这种扬弃现实背景的数学也使数学失去了外在的动力，关于这一点，美籍匈牙利数学家冯·诺伊曼（John von Neumann, 1903-1957）有过清晰地论述 ：
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数学思想来源于经验。… 换句话说，在距离经验本源很远很远的地方，或者在多次“抽象的”近亲繁殖之后，一门数学学科就有退化的危险。
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也正因为如此，现代数学家们更加努力地在现实世界中寻找发展数学的源泉。这也提醒数学教育工作者、特别是义务教育阶段的数学教育工作者，应当采取科学合理的教学方法让学生感悟数学的现实性，从而让学生感悟数学的思想，帮助学生积累数学思维的经验。
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话题27 长度单位的确定
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关于几何学、或者说关于空间的研究，庞加莱曾经说过 ：“如果没有测量空间的工具，我们便不能构造空间。”因此，几何学所研究的空间本身是人为设定的，设定的基础就是度量，度量的基础就是两点间距离，两点间距离是由长度单位决定的。
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几乎所有古老民族，对空间的界定都远不如对时间的界定那样重视。人们最初度量距离的参照物都是人体的外在器官，因为这样的度量是便捷的、也是形象的，甚至现今的人们在日常生活的言谈中仍然广泛使用这样的度量：比如“拃”，即大拇指与中指之间的距离；比如“庹”，即两臂张开之间的距离；比如“步”，即人正常行走的步幅。正如《孔子家语》中所说：“布手知尺，布指知寸”。事实上，现在人们常说的“拃”就是古代中国的“尺”，是成年男人拇指到中指伸展后的距离；还有一个距离单位为“咫”，是成年女子拇指到中指伸展后的距离。人们常说的成语“咫尺之间”意味的是男人的度量和女人的度量，这两种度量之间的差距是不会很大的。
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虽然这样的度量是便捷的，但这样的度量是因人而异的，因此是不确切的，于是人们在这种度量的基础上规定了“尺”的大小。商代的一尺约合现在的17厘米，一丈十尺就是现在的1.70米左右，相当于成年男子的平均身高，据说“丈夫”一词就是由此而来。秦始皇嬴政（前259-前210）统一中国之后，首先做的一件事情就是统一了全中国的度量衡，其中明确规定了“尺”的大小，当时规定的一尺约合现在的23.1厘米。据《史记》中的记载，西楚霸王项羽（前232—前202）身高八尺有余，更有《汉书·项籍传》中记载项羽：“长八尺二寸，力扛鼎，才气过人。”由此可以推算，项羽身高约合现在的1.89米，真是高大魁梧。
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现在，全世界统一使用的长度单位米（meter）源于法国。1790年，法国科学家特别委员会提出建议，定义“米”为巴黎子午线全长的四千万分之一。为了使用方便，1889年第一届国际计量大会决定，把长度单位“米”固化，用一根相当于这个长度的、截面呈X型的铂铱合金棒为“米”的基准，人们称之为“米原器”，这是第一次在全世界范围内确定的长度标准，这个“米原器”现在保存在巴黎国际计量局的地下室中。但是，凡是固化了的东西就必然会因为时间、或者其他种种原因而有所改变，这不利于精确地刻画距离。于是，当人们已经能够很精确地测定时间和光速以后，1983年国际计量大会通过了下述定义：米的长度为光在真空中1/299792458秒所经过的距离。回忆我们曾经讨论过的路程模型：距离 = 速度 × 时间，那么，在对距离“米”的规定中：速度为光速，时间为1秒。因此，正如我们在话题23中所说的那样，距离是由速度和时间定义的，人们称这样定义的距离单位为“光秒”。显然在光秒中，前者为速度、后者为时间。
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虽然这个定义非常精确，但在日常生活中人们还是喜欢使用传统的度量名称或标准，比如在中国，就把传统的“尺”定义为“米”的1/3，把传统的“里”定义为“千米”的1/2，并且称“千米”为公里。在英联邦国家和美国，还是习惯用传统的、源于罗马千步（mille passus）的英里（mile）。英里与米的换算非常复杂：1英里 = 5280 英尺 =1609.344 米。其中的英尺的英文为 foot，是脚的意思，即用成年男子一只脚的长度作距离的单位。由于脚的长度因人而异，16世纪的德国人采用了一个折中的方法，在一个礼拜日，把从教堂里走出来的16个成年男子集中在一起，测量每人左脚的长度、加在一起除以16，定义这个平均脚长为foot，使用至今。
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在现今社会，有两个长度单位具有非常特殊的意义：一个长度单位是“纳米”，为了度量小；一个长度单位是“光年”，为了度量大。
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纳米是一个非常小的长度单位。纳米只有一米的十亿分之一，大约有四个原子的大小。纳米的国际公用名称为nanometer，缩写为nm，其中字头nano来源于希腊语，是侏儒的意思。这个度量单位之所以重要，是因为材料科学发展的需要：一门在上个世纪九十年代发展起来的新兴技术就是纳米技术。科学家们在研究物质的构成时，发现在1-100纳米的尺度下隔离出来的几个、几十个原子或分子，可以显著地表现出许多新的特性，这个发现使得人类第一次能够按照自己的意识直接操纵单个原子或者分子，并且通过各种组合的方法制造出具有特定功能的产品。这种在纳米级单位制造具有特定功能产品的技术，就被称为纳米技术。
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光年是一个非常大的长度单位。光年这个长度单位是指光以每秒30万公里的速度行走1年所通过过的距离。我们知道，光1秒钟能够围绕地球转 7.5 圈，因此，光年这样的距离在地球上是不可想象的。但脱离了地球，表示距离就需要用到光年了。地球处于太阳系，其中恒星太阳拥有太阳系质量的99.87%，凭借着这样的质量，太阳吸引着八颗大行星和二百多颗小行星围绕它旋转，地球是其中的一颗大行星，距离太阳大约为1亿5千万公里。太阳系又是银河系中众多星系中的一个，太阳系距离银河系中心28000光年，而银河系的直径大约为10万光年。银河系外还有众多的河外星系，距离银河系最近的是仙女座星系，距离银河系大约220万光年，仙女座星系的直径是16万光年，比银河系还要大许多。至今为止，人们已经发现了10万多个河外星系。
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话题28 曹冲称象与浮力
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在中国，曹冲称象的故事几乎是妇孺皆知，这是古代中国理解并且有效地利用浮力的生动故事，这个故事发生在后汉三国时期。据《三国志·魏书》记载：“邓哀王冲字仓舒，少聪察歧嶷，生五六岁，智意所及，有若成人之智。时孙权曾致巨象，太祖（曹操）欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理。冲曰：‘置象大船之上，而刻其水痕所置，称物以载之，则校可知矣’。太祖大悦，即施行焉。” 这段描述大概就是曹冲称象故事的依据，其中利用了“等量的等量相等”这个公理。
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关于阿基米德如何发现浮力大小的故事也几乎是人人皆知的。这个故事可能是真的，但这个故事所述说的结论可能是不正确的，我们来分析这个问题。
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阿基米德生在西西里岛的叙拉古，除了访问过古埃及的亚历山大图书馆以外，大部分时间也生活在这里。叙拉古王海尔翁二世（Hieron Ⅱ，前275-前215）打造了一顶纯金的王冠，他怀疑工匠参入了银，于是让阿基米德验证。为此，阿基米德苦思冥想多日，一次他在公共浴池洗澡，看到浴缸溢出的水受到启发，想出了问题的答案。据说当时的阿基米德兴奋地爬出浴缸，赤身裸体跑回家，一路大喊 ：“我发现了！我发现了！”这个故事结尾的描述可能是人们添枝加叶的渲染，但这个故事还是富有哲理的。阿基米德可能是这样想的：如果把王冠放到放满水的容器中，从溢出的水的多少就可以知道王冠的体积；那么，由纯金的比重、或者相同体积纯金的重量，就可以知道纯金王冠的理论重量；然后再称一下打造好的王冠的实际重量，如果重量不一样则说明王冠不是纯金的。可以看到，这个判断过程根本不涉及浮力的问题，至多与“曹冲称象”同出一辙，利用的是“等量的等量相等”这个公理。因此我们可以断定，人们通常认为的这个故事的结论，即阿基米德由此得到浮力原理是不正确的。但有一点是确信无疑的，那就是阿基米德曾经对对浮力进行过深入的研究。
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阿基米德关于浮力的研究成果大部分集中在他的《论浮体》这本著作之中 ，这本著作后来成为流体静力学的经典。其中的命题2是非常重要的：处于静止状态的任何流体的表面都是其中心与地球中心相同的球体表面。这个命题不仅述说了地球是一个球体，并且述说了静态流体表面也是一个球面，这便是人们通常所说的表面张力。这样的述说深刻地刻画了海洋表面的形状，特别是在这个命题的论证过程中阿基米德利用了球面上的最短距离、即大圆的概念。
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人们通常所说的阿基米德原理与其中的命题6有关：如果把一个比流体轻的固体施力沉入流体中，则固体会受到一种浮力作用，这个力的大小等于排开流体重量与固体本身重量的差。后来人们把这个命题简化为：物体在流体中所受浮力的大小，等于物体排开流体的重量。这就是世界上所有国家的物理学教科书中，都要阐述的阿基米德原理。正是基于这个原理，人们在谈论一条船可能承载重量时，使用的术语就是船的排水量。现在世界上最大的航空母舰是美国海军1989年服役的林肯号，舰长332.9米，宽40.8米，吃水11.9米，满载排水量为10.2万吨，甲板面积比三个足球场还要大。而超大型油轮的满载排水量则要超过45万吨。
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话题29 统计学的由来
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我们在问题26中谈到，统计学研究的基础是数据，因此，学习统计学要培养数据分析观念。通过对统计学由来的了解，可以更好地理解其中的含义。
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人们对于数据的理解是逐渐加深的。事实上，在很早以前人们就知道调查的重要性，知道如何调查和记录数据，知道利用数据分析的结果进行判断和决策。比如，史前时代人们用刻痕或者结绳等方法来纪录事情，这显然比算术的起源还要早。
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中国在周朝就设有专门负责调查和记录数据的官员，被称为司书。据《周礼·天官·冢宰》中的记载，国家设立“司书上士二人，中士四人，府二人，史二人，徒八人。”这些官吏的主要工作是负责“邦之六典 … 以周知入出百物 … 以知田野夫家六畜之数。”在《管子·问》这本书中还提到六十五问，这里的“问”是“调查”的意思，因此，六十五问实际上是65个调查科目，其中大部分科目是与管理国家有关的数据，这些调查科目即便是对现今社会的管理也是很有启发的。比如，
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问死事之孤未有田宅者有乎？问少壮而未胜甲兵者几何人？问国之有功大者何官之吏也？问独夫寡妇孤寡疾病者几何人也？问乡之良家其所牧养者几何人矣？问邑之贫人债而食者几何家？人之开田而耕者几何家？士之身耕者几何家？子弟以孝闻於乡里者几何人？余子父母存，不养而出离者几何人？士之有田而不使者几何人？外人之来从而未有田宅者几何家？国子弟之游於外者几何人？贫士之受责於大夫者几何人？外人来游在大夫之家者几何人？男女不整齐，乱乡子弟者有乎？余子之胜甲兵有行伍者几何人？问男女有巧伎，能利备用者几何人？处女操工事者几何人？问一民有几年之食也？问兵车之计几何乘也？士之急难可使者几何人？可以修城郭补守备者几何人？城粟军粮其可以行几何年也？吏之急难可使者几何人？所捕盗贼除人害者几何矣？
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可惜我们已经找不到当时的调查结果了，因此不可能确切地知道当时是如何记录数据和进行数据处理的，但可以想象，其中很可能会涉及到“平均数”或者“众数”的概念。
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在古罗马，第6世王图利乌斯（Tullius，前578-前534）时代就设立了监察官（censors），为了税收和征兵，每5年做一次人口和财产登记。人口调查census一词来源于拉丁语censere，就是税收的意思。在古印度，大约在公元前300左右成书的《印度经典(Arthasastra)》中详细记述了应当如何收集和整理数据，书中还规定了村里会计的职责 ：
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记录哪些家庭纳税，哪些没有纳税；不仅要登记村中四个等级居民的人口总数，还要登记种田人、养牛人、商人、工匠、体力劳动者、奴隶，以及每户拥有的两条腿和四条腿的动物的准确数据。
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从历史的回顾中可以看到，最初的统计学（数据收集和分析）是与管理国家有关的。统计学这个词最初是德文statistieken，由德国统计学家阿亨瓦尔（Achenwall, 1719-1772）创造的，这个词源是由古拉丁文status这个词演变过来的 ，原意是国家、政府。阿亨瓦尔解释他所创造这个词的意思为：“由国家来收集、处理和使用数据。”英文统计statistics一词最早出现在统计学家辛克莱（Sinclair，1754-1835）主编的、于1791-1799年期间出版的21卷《统计报表(Old Statistical Account)》上，这个报表对166个科目进行了调查，内容涉及苏格兰的历史、地理和社会。在第10卷中，辛克莱说到statistics这个词来自德文，并且解释到 ：
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在德国，这个词的意思是以考察国家政治力量或者有关国家事物为目的的调查，而我现在添加的意思是以考察国民的幸福程度以及改善途径为目的的调查。我想一个新的词汇会吸引更多的公众关注就坚决用了这个词，希望它能与我们的语言完美融合。
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正如辛克莱所希望的那样，统计学逐渐扩展到人们日常生活和生产实践的各个方面，人们已经清楚的知道，为了更好地管理或者决策，就要了解管理或者决策的对象，而为了更好地了解对象，除了定性分析以外还应当通过数据进行定量分析。
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为了便于数据分析，需要在不损失信息的前提下，对看起来杂乱无章的数据进行归纳和整理是必要的。现存的文献表明，第一个对大量的统计资料进行系统地、卓有成效地整理的是英国统计学家格朗特（John Graunt，1620-1674）。那是瘟疫大面积在欧洲流行的时代，伦敦的有关机构出版了有关死亡原因的每周报表，格朗特对这些报表进行了认真地整理和分析，于1662年出版了《死亡报表的自然和政治观察》，其中首次揭示了男孩的出生率高于女孩的事实。受格朗特的影响，英国古典政治经济学创始人威廉·配第（William Petty，1623-1687）于1690年出版了《政治算术》，这是第一部利用数量分析进行国情国力比较的著作；英国天文学家哈雷（Edmond Halley，1656-1742）于1693年发布了布雷斯劳人口死亡率表、出版了《人口死亡率下降估计》，第一次利用数据探讨了死亡率与年龄的关系，提出了如何对死亡率进行估计的问题。
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但是，上面所说的数据整理和分析的方法都没有考虑数据的随机性，使用的仍然是确定性的数学方法，人们称这样的统计方法为描述数据分析。
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随着日常生活和生产实践的需要，人们开始认识到必须认真地对待数据的随机性，这发端于十四世纪后的航海保险、人寿保险等商业活动。1384年，在意大利的佛罗伦萨诞生了第一份具有现代意义的保险单，这是承保由法国南部的阿尔兹到意大利比萨的货物运输，保险单上有明确的保险责任，也有明确的保险金额。显然，发生航运事故是一个随机事件，确定保险金额的多少应当与这个随机事件发生可能性的大小有关，而事件发生可能性的大小又与船体结构、航行线路、航行季节等因素有关。人们称随机事件发生可能性的大小为概率，这个概率的确定不能凭借主观臆想，必须考虑上述各种因素、特别是需要通过对以往数据的分析进行推断。
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发行股票是吸引社会资金的有效方法。一般来说，对于需要资金的企业，可以采取两种方法筹措资金：一种方法是银行贷款，一种方法是发行股票。采用后一种方法往往比前一种方法更加稳妥，因为后一种方法吸引了更多的股东参与企业的发展，虽然要利益均摊，但也分散了风险。对应于筹措资金的两种方式，社会上的闲散资金也有两种使用方法：一种方法是银行储蓄，一种方法是风险投资。采用后一种方法往往比前一种方法回报会更大一些，但要承担相应的风险。在各种风险投资的项目中，最为简洁的方法就是购买股票，根据这种需求，就出现了股份有限公司和股票交易市场。世界上第一个股份有限公司是荷兰的东印度公司，成立于1602年。世界上第一个证劵交易所成立于1773年，是在伦敦的约那森咖啡馆，这是伦敦证劵交易所的前身。
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在自由经济市场，股票价格的变化也是随机的。为了便于投资者了解股票价格的变化情况，股票交易市场制定了股票价格指数，统一表示这个变化，比如道·琼斯指数。道·琼斯指数是美国的股票价格指数，是道·琼斯公司的创始人查理斯·道（Charls Dow，1851-1902）于1884年开始编制的，是世界上历史最为悠久的股票指数。道·琼斯指数在本质上是计算部分有代表性的上市企业的股票价格平均数 ，最初选用的是11种运输企业的股票；1897年起选用了20种工业和运输企业的股票；后来代表性股票逐渐扩大到65种，延续至今。
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可以看到，对于保险和股票，人们得到的数据是随机的，并且，人们只能利用那些历史的、随机的数据对将要发生的事情进行推断。可以想象，这样一类随机发生的事情在日常生活和生产实践中是大量存在的，因此，为了分析、研究、解决这样的一类问题，需要建立一种与传统的统计、即与描述数据分析不同的方法，人们称这样的统计方法为推断数据分析。
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我们通过现代统计学使用频繁的回归方程，进一步说明推断数据分析的思维内核。英国遗传学家高尔登（Francis Galton，1822-1911）为研究子女的身高与双亲身高之间的关系，于1885年征得了205对夫妻与他们的938个成年子女的身高。经过对数据的认真分析，高尔登发现，虽然有父母高儿女也高、父母矮儿女也矮的普遍趋势，但是在给定父母身高后，儿女的平均身高却“回归”到全体人的平均身高，他称这个现象为普遍回归定律，于1886年发表在他的论文《遗传结构中的趋中回归》之中。后来，近代统计学的奠基人之一、英国统计学家皮尔逊（Karl Pearson，1857-1936）从统计学的角度证实了这个定律 。如果用x和y分别表示父母和儿女的身高，那么，定律认为：在x给定条件下y的均值趋于一个常数。后来人们把这个给定条件的均值称为回归模型。特别是，当x与y服从二维正态分布时，这个条件均值是一个线性关系：
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y = α + ρx，
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其中 ρ 被称为相关系数。与均值和方差一样，相关系数也是一个很重要的数量指标。
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无论如何，人们已经知道数据是包含着信息的，通过对数据分析能够知道很多事情，正如美籍印度裔统计学家C.R.劳（Rao，1920-）所说的那样 ：统计分析的形式随着时代的推移而变化着，但是“从数据中提取一切信息”或者“归纳和揭示”作为统计分析的目的却一直没有改变。也正如《大美百科全书》对于统计学的定义 ：作为一个研究领域，统计学是关于收集和分析数据的科学和艺术，其目的是为了对一些不确定的事物进行较准确的推断。
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话题30 概率的定义和基于概率模型的估计
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在上一个话题中，涉及到了概率。在这个话题中，我们将从逻辑的角度讨论概率，然后再用一个例子说明：如何利用逻辑结果进行数据分析，从而得到合理的统计学的估计方法。这个分析过程可以更好地理解概率，也可以更好地理解统计学的方法。
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用A表示一个集合，用x表示一个元素。我们在话题16中曾经讨论过，对于纯粹数学而言，元素与集合的隶属关系必须是确定的：如果元素x属于集合A，那么，这个元素就永远属于集合A；这个元素不属于集合A，那么，这个元素就永远不属于集合A。这就说明，元素x要不就属于集合A，要不就不属于集合A，二者不可得兼。但是，如果用集合A表示一个由随机结果组成的集合时，就必须对这个说法进行一些修正，通过下面的讨论可以看到，这个修正并不是本质的。
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称由随机结果组成的集合为随机事件。我们仍然用A表示由随机结果组成的集合，这样，一个集合表示的是一个随机事件。既然是随机事件，那么元素x可能属于集合A、也可能不属于集合A，用p表示随机事件A发生可能性的大小、即用p表示元素x属于集合A的可能性的大小，并且称这个可能性的大小为随机事件发生的概率，表示为
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p = P(x∈A)。
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有时，也把 P(x∈A) 简写P(A)。一般的情况下，人们认为这个概率是事物的一种属性，这个属性不会因为时间或者空间的变化而变化，因此，即便这个概率是未知的，但概率本身是不变的 。
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可以看到，虽然我们修改了元素x与集合A之间隶属关系的同一律，但仍然保留了元素x属于随机事件A概率本身的同一律，所以说并没有进行本质的修改。这样，就可以把概率看作对集合A大小的一种度量。有了度量，传统的数学方法就有了用武之地。
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如果认为一件事件不能发生，则表示为p = 0；一件事件必然发生，则表示为p = 1；因此，在通常情况下我们认定
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0 ≦ p ≦ 1，
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即p越接近0则随机事件发生的可能性越小，越接近1则随机事件发生的可能性越大。
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进一步，用 Ω 表示所有的可能结果所组成的集合，用B表示随机事件A不发生的那些可能结果所组成的集合，即B = Ω – A，那么，由话题11的讨论可以得到：A ∪ B = Ω 和 A ∩ B = φ，其中 φ 表示没有结果的集合，称之为空集。因为 Ω 包含了所有可能结果（当然也包括了φ），可以得到：
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P(x∈Ω) = 1，P(x∈φ) = 0。
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通过这个结果可以得到：
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P(x∈A) = p，P(x∈B) = 1 - p。
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在日常生活和生产实践的交流中，人们可以这样表述概率p：事件发生的可能性为100p%。比如，当概率p = 0.8时则说：事件发生的可能性为80%。
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那么，如何才能知道概率p的大小呢？如果从纯粹数学的角度思考，概率是被定义出来的。最初的概率定义是法国数学家、天文学家拉普拉斯（Laplace, 1749-1827）给出的。拉普拉斯在1814年出版的一本小册子《概率的哲学导论》中写道 ：
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机遇理论的要义是：将同一类的所有事件都化简为一定数目的等可能情况。即化简到这样的程度，我们可以等同地对待所有不确定的存在，并且确定欲求其概率那个事件的有利情况的数目，此数目与所有可能情况之比就是欲求概率的测度。简而言之，概率是一个分数，其分子是有利情况的数目，分母是所有可能情况的数目。
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几乎现在所有教科书中，关于概率的定义都采用了拉普拉斯上文中的最后一句话：概率是一个分数，分子是有利情况的数目，分母是所有可能情况的数目。人们称这样的定义为古典概率。如果用A表示所要求概率的那个事件，用m表示有利情况的数目，用n表示所有可能情况的数目，那么，所定义的概率就是：P(A) = m/n。
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在这里，我们必须注意到拉普拉斯的定义是有条件的，有两个条件是必须成立的，一个条件是：等同地对待所有不确定性结果的存在，因此，拉普拉斯所说的事件是等可能事件；另一个条件是：所有可能情况的数目是有限的，因此，拉普拉斯所说的事件所有可能结果的个数是有限的。比如，考虑掷骰子的问题，那么，上述第一个条件要求骰子必须是均匀的，或者说，必须假定骰子是均匀的，这就保证了每次掷骰子出现1-6这些数字的可能性是相等的。对于第二个条件，要求我们掷骰子的次数是有限的。在这两个假定条件下，如果掷一次骰子，考虑“点数为偶数”这个随机事件的概率，按照拉普拉斯的定义，这个概率是一个分数：分母为所有可能发生情况，共有6种情况；分子为2、4、6中有一个情况发生，共有3种情况。因此，这个概率为3/6 = 1/2。
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下面，借助问题28中的例子来讨论如何利用概率模型得到估计、即如何得到问题28中所表示的最大似然估计。在这个例子中，每次摸球只可能有两个结果之一：红球或者白球。我们用1表示红球，用0表示白球；并且假设摸到红球的概率为p，即P(x=1) = p，那么，P(x=0) = q = 1-p。
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我们把这个问题抽象为一般的问题，进而建立一个模型。考虑一个随机事件只有两个可能结果：成功或者失败。假设成功的概率为p，那么，失败的概率为q =1 -p。可以看到，许多试验或者实验的数据分析都可以归于这类模型，比如，投篮是否投中，考试是否合格，药物试验是否有阳性反应，发射导弹是否命中目标，等等。显然，模型中的概率p是未知的，但我们希望估计这个概率。人们称这样的模型为二项分布模型，或者伯努利模型，后者是为了纪念瑞士数学家伯努利（Jocob Bernoulli，1654-1705），因为是他第一个得到了二项分布。
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还是回到摸球的问题。假如我们有放回地摸球，一共重复n次，得到的样本为x1，…，xn，令
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Y = x1 + … + xn。
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因为每一个xi 的取值只能是0或者1，这样，Y就表示了n次摸球中摸到红球的次数（更一般地，表示n试验中成功的次数），显然在具体摸球之前，不可能知道Y的取值，因此称这样的变量为随机变量。如果用k表示摸到红球的次数，则k可能是0到n中的任何一个数，即
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k ∈ {0，1，…，n}。
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那么，Y = k的概率是多少呢？因为在n次试验中有k次成功（同时有n - k次失败）的所有可能性的组合数是可以计算的，这个组合数恰是二项式 (p+q)n 展开后pkqn-k 项的系数，被称为二项系数，这个系数也可以由杨辉三角形 得到。如果用c(n,k) 表示这个系数，则可以得到递推公式c(n,k) = c(n,k-1)·(n – k + 1) / k。这样，通过逐级计算就可以得到：
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c(n,k) = n (n – 1) … (n – k +1) / k!，
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其中k! 表示所有小于k的自然数（0除外）的乘积，即k! = k (k – 1) … 1。这个结果是意大利数学家卡尔丹（Gerolamo Cardano，1501-1576）得到的，记载在他的著作《机遇的博弈》中，这本书直到他去世后很久的1663年才得以出版。
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通过二项系数就容易得到概率了：概率 = (所有可能的组合数) × (一次概率)，即
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P(Y = k) = c(n,k) pkqn-k， （A15）
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其中k ∈ {0，1，…，n}。虽然在上面式子中的概率p是未知的，但这个式子已经描述了随机变量的取值规律，人们称这样的描述随机变量取值规律的式子为随机变量的分布，特别称上面的式子为二项分布。下面讨论如何利用分布得到概率p的估计。
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首先考虑估计的原则。通过重复摸球，可以得到摸到红球的实验数据k，那么，实验数据k就必然是估计的基础，这也就是我们为什么反复强调数据分析观念的原因。可以建立这样的原则：概率的真值就是使得“Y取值为k”这个事件发生可能性最大的p，这时的k为实验数据。也就是：
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把使得（A15）式达到最大的那个p作为概率的估计。
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人们称这个原则为最大似然原则，这样求出来的估计被称为最大似然估计。这个原则已经成为统计学中最重要的准则之一。高斯在1821年首先提出了这个想法，现代统计学的奠基人之一、英国统计学家费歇（Fisher，1890-1962）于1912年发表文章，进一步明确了这个估计方法，并讨论了这个估计的性质，因此在统计学教科书中把最大似然原则的发明归功于费歇。
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现在针对二项分布进行具体的计算。显然（A15）式中二项系数与求最大值无关，可以不考虑；又因为对数函数是一个单调函数，因此求（A15）式最大值的问题等价于求函数
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g(p) = k ln p + (n-k) ln q
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= k ln p + (n-k) ln (1-p)
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的最大值。利用求导数的方法，函数g(p) 对p求导，并令导函数为0，可以得到
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k/p – (n – k)/(1 – p) = 0。
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通过上面的式子容易得到解为：k/n，这就是概率p的最大似然估计。可以看到，这个计算结果与问题28中的结论是一致的。
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最大似然估计不仅在逻辑上是合理的，并且具有很多好的统计性质，因此，现行中小学数学教材中都介绍了这种估计方法。但是，正如在问题27中所说的那样，对于统计学而言，对结果的判断更多地是侧重好与坏，而不是关注对与错。比如对于摸球的问题，不能说不使用最大似然估计就是错的，只是说，在大多数情况下，最好还是用最大似然估计。事实上，针对一些特殊情况，最大似然估计不一定就是最好的方法，我们来看下面的例子。
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某个同学投篮，估计这个同学投中的概率。根据上面的讨论，如果这个同学投了n次，投中m次，则概率的最大似然估计为 m/n。可是，如果这个同学只投了1次并且投中了，因为1/1 =1，因此估计这个同学投篮命中的概率为1，这实在有些不讲理。事实上，还有一种不同于最大似然估计的方法，估计概率为：(m+1)/(n+2)，那么针对1次投篮问题，得到的概率估计就是：(1+1)/(1+2) = 2/3，可以看到，这个估计还是可以接受的。
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附录2 教学设计
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问题2“如何认识自然数”的相关教学设计
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（马云鹏 东北师范大学教育学院）
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有关教学内容：万以内数的认识。
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课程标准要求：（第一学段）在现实情境中理解万以内数的意义，能认、读、写万以内的数，能用数表示物体的个数或事物的顺序和位置。
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上述要求是第一学段结束时学生应当达到的水平。在具体教学设计中，一般分为20以内数的认识、100以内数的认识、万以内数的认识等几个阶段。因为20以数的认识是学生最先接触到的内容，是学生认识数的概念的开始，因此应当设计直观合理的教学背景，让学生感悟从具体事物抽象到数量、再由数量抽象出数的过程，同时感悟数量之间的多少关系、以及数之间的大小关系。
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教学片段设计：1-5数的认识
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1．从具体情境中认识数
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画面展示：蓝天1轮红日，4朵白云；1位教师带4个学生来到野生动物园；1头大象从左边走来；右边大树旁有2头犀牛休息；3只羚羊、3只长颈鹿从不同的方向进入视野；4只小鸟在飞翔；草丛中5朵鲜花开放。
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让学生观察画面，然后与同桌讨论画面上有哪些人和物，各有多少，并做记录。教师巡视、询问、回答学生提出的问题。
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同桌派代表按由小到大的顺序说出图中的人或物。当学生说“1个太阳、1头大象”时，教师在相应处贴上数字“1”，并告诉学生：一个太阳、一头大象都可以用数“1”来表示。进一步提问：这幅图中还有哪些东西的个数可以用1表示？学生可能回答：有一位老师，一朵蓝花等等，教师也在相应处贴上数字“1”。类似处理其他的数。
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2．认识数的顺序
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教师在计数器上拨上一颗珠，问:“老师拨了几颗珠，应当用什么数表示？”学生回答后，教师在计数器上方标上“1”。然后教师提问：“再拨上一颗，共有几颗？应当用什么数表示？”学生拨完并回答后，教师展示动画并叙述：“1颗添上1颗是2颗。2颗比1颗多，2比1大。”在认识“2大于1”的基础上，重复上面同样的过程，让学生通过计数器上依次认识：3大于2，4大于3，5大于4，从而感悟数的大小顺序。
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让学生将学具卡片“点子图”按从少到多的顺序排列，教师提出：“1的后面是几？”“5的前面是几？”“3在谁的后面又在谁的前面？”这样的问题，让学生从整体上感悟数的大小关系、以及基于大小关系的数的顺序排列。
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教学设计分析：引导学生看图中的物体、关注物体的数量，启发学生说出：“1个太阳、1头大象”；然后贴上抽象符号“1”，启发学生感知：1个太阳、1头大象都可以用数“1”表示。然后重复这样的方法，认识其他的数。这样的教学设计较好地利用了教材中提供的主题图，突出了从具体事物抽象到数量、再由数量抽象出数的过程：一个太阳，一头大象表示的是数量，是与具体事物联系在一起的；而“1”是抽象了的数，既可以表示一个太阳，也可以表示一头大象。
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认识数序的教学环节不仅有助于学生感悟数量和数的意义，可以也让学生感悟数量的多少关系和数的大小关系：数量是一个一个多起来的，数是一个一个大起来的。
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问题3“表示自然数的关键是什么”的相关教学设计
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（孙兴华 长春市树勋小学）
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有关教学内容：数位的认识。
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课程标准要求：（第一学段）能说出各数位的名称，理解各数位上的数字表示的意义；知道用算盘可以表示多位数。（第二学段）在具体情境中，认识万以上的数，了解十进制计数法，会用万、亿为单位表示大数。
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从上面的要求可以知道，小学两个学段的内容都涉及数位。理解数位的核心是理解“十进制计数法”的准则，准确地把握数位的概念不仅对于认识数是重要的，对于数的运算也是非常重要的，这个概念贯穿小学“数与代数”学习的始终。
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教学片断设计：通过计数单位认识数位“万”
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1．拿出一个千位的第纳斯木块：数小正方体的个数
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教师带领学生一起数小正方体的个数，启发学生：“正面最下一行有几个？”学生回答“十”以后，教师总结：“10个个是十”。教师接着启发学生：“正面有几个小正方体？”并引导学生通过列来数：二十、三十、……。学生回答“一百”以后，教师总结：“10个十是百”。然后教师启发学生：“一共有多少小正方体？”并引导学生通过纵向来数：二百、三百、……。学生回答“一千”以后，教师总结：“10个百是千”。
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2．拿出十个千位的第纳斯木块：数小正方体的个数
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教师给出“万”的定义：“这里有十个木块模型，表示有一万个小正方体。”然后问学生：“万是多少个千？”然后逐一数木块模型：二千、三千、……。学生回答“10个一千”以后，教师总结：“10个千是万”。
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教师总结说：“在个、十、百、千的基础上，今天我们又知道了万。我们把个、十、百、千、万叫做计数单位，也叫数位。”然后，教师启发学生回答这些计数单位之间的关系，一定要让学生自己得到答案：数位相依差10倍。最后告诉学生问题的核心：数位依次相差10倍，就是十进制计数法。在教学过程中可以说一些轻松的话题，比如：人们采用十进位制计数法大概是因为人有十个手指头。
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3．拿出零乱的第纳斯木块：数小正方体的个数
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教师启发学生如何用计数单位来数小正方体的个数。学生自然而然地就会把一样单位的第纳斯放在一起，然后数出各个单位的个数。如果学生的摆放是杂乱的，比如，3个百放到一起、4个十放到一起、2个千放到一起，教师要启发学生按照数位的顺序摆放，最后计算出小正方体的个数。
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4．用第纳斯木块表示给出的数
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教师提问：“如何用木块表示2342这个数？”然后引导学生操作，在操作过程中引发学生思考：个位的数是2，千位的数也是2，可以用一样的木块表示吗？
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教学设计分析：在认识数位“万”的同时重新认识“个”、“十”、“百”、“千”这些数位，为的是进一步抽象出数位之间的关系，从而建立数位的概念。利用第纳斯木块作为教学工具，让学生直观感悟“数位依次相差10倍”这个十进位制的核心。进一步，通过零乱第纳斯木块读数、用第纳斯木块表示已知数的过程，让学生把握数与数位之间的关系。在教学过程中，教师一定要牢记：数位与数是不同的。详细讨论参见问题3。
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问题4“如何认识自然数的性质”的相关教学设计
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（孙兴华 长春市树勋小学）
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有关教学内容：数的整除
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课程标准要求：（第二学段）知道2，3，5的倍数的特征，了解公倍数和最小公倍数；在1-100的自然数中，能找出10以内自然数的所有倍数，能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数。了解公因数和最大公因数；在1-100的自然数中，能找出一个自然数的所有因数，能找出两个自然数的公因数和最大公因数。了解自然数、整数、奇数、偶数、质（素）数和合数。
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在上面的要求中提出若干概念：公倍数，最小公倍数；公因数、最大公因数；奇数、偶数；质数、合数。这些概念的本质是自然数之间的整除关系，这是自然数的一个很重要的性质。掌握这些性质对于数的运算也是重要的，与分数通分、甚至与解方程也有密切关联。
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教学片断设计：质数与合数
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1．拼图形直观感悟整除
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把学生分为六个小组，分别分给4、5、9、11、12、24个正方形小卡片。要求学生用小组所分得的所有卡片摆出长方形或正方形，考察能够摆出种多少不同的形状，记录并进行全班交流。教师引导学生学会按规律思考问题，比如，以“行”思考，对于4个小卡片就可以有：一行的长方形、二行的正方形、四行的长方形，共3种情况；并且强调：三行的情况既不能形成正方形、也不能形成长方形。
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2．找规律定义质数与合数
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在同学交流的基础上，教师进一步要求学生对小卡片摆出的结果进行分类。启发学生注意：所有小组至少能摆出2种结果；引导同学得到最基本的分类方法：2种结果和多种结果。引发学生思考，只能摆出2种结果时的形状特征：一行的长方形；全部小卡片为行的长方形、即竖长的长方形；利用直观结果分析这类小卡片数量的数值特征：只能被1和自己整除。进而给出质数和合数的定义：称只能被1和自己整除的大于1的自然数为质数（素数）；称还能被其他数整除的数为合数（合数可以表示为若干质数的乘积）。
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3．选卡片数验证猜想
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让每个小组讨论：希望分出几种结果，猜想要用多少个小卡片。然后选用的小卡片来验证猜想是否正确。也可以第一组限定第二组的结果数、第二组限定第三组的结果数、……，然后每个小组分别猜想需要的小卡片数量，选用小卡片来验证猜想。
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最后，脱离小卡片的背景，教师直接给出一些数，比如12、39、17、28等，让学生直接判断这些数是质数还是合数。也可以让学生自己举出质数与合数的例子。
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教学设计分析：通过正方形的小卡片，让学生直观感受数的整除，特别是通过分类、通过小卡片的排列形状直观感受质数的本质：只能被1和自己整除。进而，在建立了直观的基础上抽象出质数的定义，并且通过活动3的操作，加深对质数与合数的理解。分类是认识概念的有效方法，因为通过分类可以找出研究对象的共性和差异，
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问题5“如何认识负数”的相关教学设计
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（孙兴华 长春市树勋小学）
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有关教学内容：负数的认识
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课程标准要求：（第二学段）在熟悉的生活情境中，了解负数的意义，会用负数表示日常生活中的一些量。
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对于小学生来讲，理解负数是有一定难度的。教学过程一定要把握课程标准的要求，在熟悉的生活情境中了解负数，即采用对应的方法了解负数：负数是相对正数而言的，负数也是对数量的抽象，与对应的正数数量相等、意义相反。
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教学片断设计：买与卖
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1. 用例子引出负数的概念
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这个例子改编于《九章算术》中《方程》篇第八题，原题参见附录1中的话题10。问题是这样提出的，在古代汉朝的时候，有一个人做了三次牲畜买卖，收支情况如下：
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第一次 卖牛收入24钱，卖羊收入25钱，买猪支出39钱，合计收入10钱；
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第二次 卖牛收入36钱，买羊支出45钱，卖猪收入90钱，合计收支相当；
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第三次 买牛支出60钱，卖羊收入30钱，卖猪收入24钱，合计支出6钱。
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分小组讨论，如何用表格记录这个人三次买卖收支情况。小组汇报后，教师引导学生知道：可以有二种记录方法（教师可以课前准备好下面的两种表格），让学生判断哪种记录方法更好一些。其中，好的标准是简洁明了。
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第一种：收支的文字形式
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牛 羊 猪 合计
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第一次 收入24 收入25 支出39 收入10
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第二次 收入36 支出45 收入90 0
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第三次 支出60 收入30 收入24 支出6
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第二种：收支的数字形式
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牛 羊 猪 合计
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第一次 24 25 -39 10
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第二次 36 -45 90 0
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第三次 -60 30 24 -6
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通过上面的两种表示方法让学生感悟：第二种表格是对第一种表格的抽象，如果用自然数表示收入的钱，那么，就用负数表示支出的钱；在自然数前加上“-”表示负数，称“-”为负号。比如，用24表示“收入24钱”，就用 -24表示“支出24钱”。为了与负数对应，有时也把“收入24钱”记为 +24，称“+”为正号、称这样的数为正数。
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2. 举例说明负数的概念
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为了进一步加强对负数的理解，教师引导学生模拟上面的表示方法，举出正数和负数的例子。比如，电梯的上下，气温的高低，方位的正反，等等。在学生的叙述过程中让学生注意：与“收支”的表述一样，“上下”、“高低”、“正反”等表示状态的词语是区别正数和负数的关键，一定要让学生在叙述的过程中把握问题的关键。
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在上面讨论的基础上，教师引导学生得到结论（定义）：负数与正数一一对应，负数是一个与正数“数量相等、意义相反”的数。
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3. 计算数量的游戏
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教师对学生说，让我们为汉朝的那个生意人做一些数值计算。假如三次买卖，牲畜的价格都是一样的，并且假定每只牛、羊、猪的价格之间存在这样的关系：
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牛的价格 ﹥ 羊的价格 ﹥ 猪的价格 ﹥ 1，
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尝试推断每只牛、羊、猪的价格。
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很显然，这样的推断需要计算公约数。从上面个的假设条件和三次售价的公约数容易知道：每一头猪的价格为3钱、每一头羊的价格为5钱；进而可以知道：得到每一头牛的价格为12钱。并且还可以推算出下面的信息：第一次卖了牛2头、羊5只，买了猪13头；第二次卖了牛3头、猪3头，买了羊9只；第三次卖了羊6只、猪8头，买了牛5头。
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如果以卖为正、买为负的话，可以把买卖牲畜的个数用数字形式表示如下：
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买卖的个数 牛 羊 猪
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第一次 2 5 -13
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第二次 3 -9 3
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第三次 -5 6 8
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* 如果以买为正、卖为负的话，可以把买卖牲畜的个数用数字形式表示如下：
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买卖的个数 牛 羊 猪
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第一次 -2 -5 13
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第二次 -3 9 -3
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第三次 5 -6 -8
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加“*”号的表格可以作为选修，因为这个表格与上一个表格正负相反，放在一起教学，有些学生理解起来可能会比较困难。
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教学设计分析：这个教学片断的例子来源于《九章算术》的《方程》篇，原题的目的是列三元一次方程组解决实际问题，上面“计算的游戏”的第一个表格就是那个三元一次方程组的系数。可以看到，在表格的数字中出现了负数，这是全世界至今为止发现的、最早的关于负数的记载，距今2000多年。教学片断的例子虽然对原题做了一定的修改，但例子中所阐述的负数的意义、即分别用正数和负数表示“收入”和“支出”与原题所提倡的方法是一致的。使用这个改编了的例子可以让学生感悟古代的人们为什么要创造负数，同时又可以让学生了解古代中国的智慧与创造。
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进一步，通过教学的第2步让学生举例说明，从例子中的“收”与“支”拓展到“上”与“下”、“高”与“低”、“正”与“反”等表示状态的、区别正数和负数的关键词语，最后引导学生得到结论（定义）：负数与正数一一对应，负数是与正数“数量相等、意义相反”的数。
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最后选学的数字表格可能会使一部分学生理解起来比较困难，但这样的例子能够真正体现负数的本质：正数与负数是相对的。因此，对于接受能力较好的学生可以尝试这样的教学。
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问题6“如何认识分数”的相关教学设计
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（李宁宁 长春市树勋小学）
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有关教学内容：分数的认识
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课程标准要求：（第一学段）能结合具体情境初步认识分数，能读、写分数。会进行同分母分数（分母小于10)的加减运算。（第二学段）进一步认识小数和分数，认识百分数；会进行小数、分数和百分数的转化(不包括将循环小数化为分数 )。会比较小数、分数和百分数的大小并会分别进行简单的小数、分数(不含带分数 )加、减、乘、除运算及混合运算(以两步为主，不超过三步 )。会解决有关小数、分数和百分数的简单的实际问题 。
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可以看到，在小学阶段涉及分数的内容是比较多的，大体要求是：第一学段初步认识分数，第二学段理解应用分数。正如在问题6中所说的那样，分数主要表达自然数之间存在的两种关系：一种关系是整体的等分，一种关系是数量的比例。在初步认识分数的阶段，采用“整体的等分”（即通常所说的平均分）比较合适，在理解应用分数的阶段再逐步引入“数量的比例”。
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在通过“平均分”认识分数的教学过程中，教师必须清晰地把握住下面三个要点：整体为1；对整体1等分；其中1份为分数单位。
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教学片断设计：初步认识分数
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1. 通过平均分引出分数的概念
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学生们准备玩折纸游戏：每个课桌准备4张正方形彩纸，2张长方形彩纸，1张圆形彩纸。在游戏之前，教师要求同桌同学平均分各种彩纸，引导学生回答：每名同学分得多少彩纸？为什么？
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分到2张正方形彩纸，因为4÷2 = 2（张）；
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分到1张长方形彩纸，因为2÷2 = 1（张）。
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对于“分到多少圆形彩纸”的问题，学生可能回答：分到半张圆形彩纸。这时教师需要引导学生讨论：能不能用学过的数来表示半张呢？在学生讨论的过程中，注意发现学生的创造性，比如，学生可能有各种回答：1÷2（张），1:2（张），教师对于类似这样的回答都应当给予肯定，然后给出概念：人们规定用“二分之一张”来表述这个半张，符号表示为“1/2”。
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启发学生思考，生活中还有那些事情可以用1/2表示，尽可能引导学生述说对称的图形，比如，树叶的一半、京剧脸谱的一半、等等，与此同时，引导学生理解一个图中有两个1/2，这是让学生感悟1/2是一个分数单位。
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2. 通过折纸进一步理解分数的概念
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开始折纸活动：用一个长方形彩纸折出三条一样大小的小船。在折小船之前，需要把长方形的彩纸等分为3份，让学生感悟：等分之后每份都是原来长方形的1/3，每个同学手中都有3个1/3。教师可以引发学生思考，如果折了一条小船之后，手中还有几个1/3。当学生回答“两个”之后，教师总结说：我们用2/3来表示两个1/3。
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然后进行折纸活动，比较折叠出的小船是否一样大。
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利用类似的教学方法，用一个正方形折出四个一样大小的纸鹤，需要把正方形彩纸平均分成4份。让学生感悟分数单位1/4，感悟2/4和 3/4是什么意思。
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3. 通过举例定义分数的概念
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让同学们举例，说明生活中有许多等分的例子。比如，有6个同学分月饼，每人得到月饼的1/6。或者提出问题：小华过生日，有6个人为她祝贺，把生日蛋糕平均分为8份，来祝贺的人每人分到蛋糕的1/8，小华分到多少？等等。
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最后，教师总结出分数的定义：一个物体平均分为n分，把其中的1份表示为1/n、读作“n分之1”，把 m（m﹤n）个1份表示为m/n、读作“n分之m”。让每一个学生说出一个分数，并说明这个分数在实际问题中的意义。
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教学设计分析：通过折纸的活动，通过对圆形彩纸1/2、长方形彩纸1/3、正方形彩纸1/4的实际操作，让学生经历了一个从具体到抽象的过程，让学生在具体情境中感悟分数的本质、感悟分数的意义，从而达到初步认识分数的教学目的。通过具有实际背景的操作，可以让学生充分认识到分数是一个数，是一种对数量关系、即整体与部分关系的表达；教师可以把握教学的要点：理解分数的关键在于对整体1的等分，在于对分数的单位的认识。通过让学生举例，可以强化学生对分数的认识。
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问题7“如何认识小数”的相关教学设计
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（李宁宁 长春市树勋小学）
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有关教学内容：小数的认识
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课程标准要求：（第一学段）能结合具体情境初步认识小数，并能读、写小数。结合具体情境能比较两个一位小数的大小。（第二学段）结合具体情境理解小数的意义，会进行小数、分数和百分数的转化 (不包括将循环小数化为分数) ，会比较小数的大小并会分别进行简单的小数、分数 (不含带分数) 加、减、乘、除运算及混合运算 (以两步为主，不超过三步) 。会解决有关小数的简单实际问题。
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可以看到，在小学阶段涉及小数的内容也是比较多的，大体要求是：第一学段初步认识小数，第二学段理解应用小数。在小学阶段，理解小数的重点在于对于十进制的认识，理解小数的难点在于很难给出生活实例。
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教学片断设计：初步认识小数
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1. 通过元、角、分引出小数概念
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学生对人民币的使用已经有了一定的经验，通过货币单位元、角、分的十进制关系让学生直观感悟小数也是一种对数量关系的表达，也是一种建立在“十进制”上的数。
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课前教师布置学生去超市观察或者购买矿泉水、面包等物品，作记录或留下购物小票。在上课时教师首先向学生出示1元、1角和1分的人民币，让学生述说这些货币单位之间的关系：
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1元 = 10角， 1角 = 10分， 1元 = 100分。
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然后让学生根据记录或小票，汇报商品的价格，比如
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矿泉水：1.50元、 面包：2.85元 …
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并让学生通过元、角、分的货币单位说出商品的价格：矿泉水1元5角、面包2元8角5分。
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教师提出问题：这两种表示之间有什么关系？学生的回答可能是多种多样的，但教师最终要启发学生知道关系的本质：超市的价格是以元为单位的。在学生讨论的基础上，教师总结：称1.50、2.85这样的数为小数，称其中的“.”为小数点。因此，小数就是带有小数点的数，小数点前的数位表示的是小数的基本单位，比如，上面讨论的小数的基本单位就是“元”；小数点后的数位比基本数位相差一个“级”，比如，上面讨论的“角”比“元”相差一个“级”，数量之间相差10倍。
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2. 进一步举例认识小数
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分小组讨论：利用各自在超市的记录或小票，模拟超市购物，比如，购买饮料，价格是2.50元，你怎样付钱？然后，教师组织小组派代表汇报讨论的结果，每组说出两种不同的方法，比如
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生1：两个1元和一个5角。
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生2：一个1元和三个5角。
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生3：两个1元和五个1角。
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生4：五个5角。
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生5：交三个1元，找回一个5角。
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生6：交一个10元，找回一个5元、两个1元和一个5角。
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通过购物活动的讨论，不仅让学生对小数有进一步的认识，并且让学生领悟：小数的进位与自然数的进位是一致的，只是需要注意小数点的位置，即注意基本单位。
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引导学生说出日常生活中小数的例子，比如同学的身高、课桌的长度；同学的体重、物体的重量；人一小时行走的距离、汽车一小时的速度；等等。在这样的表述中，教师需要理清基本单位：厘米、米或千米；克或千克。
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如果学生提出关于时间的小数问题，比如，如何用分数表示1小时30分。教师不要轻易否定学生的想法，而是要引导学生思考：为什么不可以用1.30、而要用1.50来表示1小时30分（事实上，是用30除以60得到0.50）。通过时间的例子可以让学生进一步理解小数十进制的意义。
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3. 述说背景理解小数
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教师在黑板上写出一些小数，比如下面四个小数，
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2.70， 0.27， 27.00， 27.27
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让学生分组讨论：如何利用上面的小数想象问题的背景，如何根据背景讲述利用这些小数的故事。在学生汇报的时候，要特别提醒学生注意：小数的基本单位是什么，小数的十进制是如何体现的。
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教学设计分析：与整数相比，学生对小数的接触相对要少一些，这方面的生活经验也不多，因此学习小数的概念要比整数相对困难一些。教学过程中，要利用整数知识的迁移（小数是十进制计数法相反方向的延伸），小数与整数从联系上看，二者很相似，都是十进制。根据课程标准的思想，教学时还应淡化形式上的定义，选择描述性的语言，突出小数的特点。
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为了降低学习的难度，让学生能更好地理解小数的意义，教学时创设学生熟悉并且生动的现实情境，结合购物活动认识小数。对于钱币的认识首先建立直观的感觉，然后逐步抽象到数；从元、角、分的换算到十进制关系，从直观形式转化为基本知识，在此基础上正确认识小数，同时让学生体验小数在现实生活中的价值与作用。
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问题8“什么是数感”的相关教学设计
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（王艳玲 东北师大附小）
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有关教学内容：数的认识
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课程标准要求：“数感”是课程标准中规定的一个核心概念，在课程内容中没有具体要求，只是在第一学段“数学思考”中提到：“在运用数及适当的度量单位描述现实生活中的简单现象，以及对运算结果进行估计的过程中，发展数感。”
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通过上面的表述可以知道，关于“数感”的教学不是通过一堂或者几堂课来实现的，而是要求教师将培养学生“数感”的教学目标贯穿于“数与代数”教学过程的始终，其目的就是让学生感知：数与数量的关系，数与运算结果的关系。针对数与数量的关系，教师可以这样把握“数感”：通过“抽象”从数量中得到了数，通过“数感”把数还原为数量，参见问题8的论述。也就是说，让学生感悟：已经抽象出来的数与现实生活的关系。
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教学片断设计：1000的认识（综合与实践）
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1. 发现生活中的1000
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由于二年级学生的生活经历还不十分丰富，认识1000这个较大的数还是比较困难的，因此可以把1000这个数作为认识大数的开始，可以组织一些有意义的活动让学生了解生活中的数，通过1000感悟生活中的大数。
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把班级的学生分为六个小组，每两个小组承担下面任务之一：
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1. 通过调查说明：1000是一个不大的数；
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2. 通过调查说明：1000是一个不小的数；
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3. 通过调查说明：1000是一个很大的数。
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课前引导每一个小组制订调查计划，并且在课前完成调查。在综合与实践课上，让每一小组介绍调查的结果，并且发表感想。无论是制订计划还是发表感想，教师都应当加强指导。比如，学生可以制订下面的计划、发表相应的感想：
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承担第一项任务的小组，可以计划：数出1000粒小米、大米或者黄豆，发现并没有想象的那么多；测量1000毫米的距离，发现1000毫米并不很长。
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承担第二项任务的小组，可以计划：到超市调查1000元钱可以购买的东西，发现数量比较大、或者东西比较贵重，知道1000元钱不少；测量1000米的距离，发现1000米并不很短。
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承担第三项任务的小组，可以计划：从楼房的高度推测1000米的山有多高，发现1000的高度很高，还可以进一步调查本省高于1000米的山峰有多少；从停车场一辆汽车所占面积推测1000辆汽车所占面积，发现占地面积相当大。
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在学生汇报的基础上，教师的总结是非常重要的，其核心是：同样是1000这个数，用在不同的场合给人的感觉是不一样的，因此在实际生活中，应当把数与数所表达的事情结合起来。
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2. 拓展事例加深培养学生的数感
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在上面讨论的基础上，进一步引发学生脱离1000这个具体的数，思考一些与“数感”有关的实际问题。比如，商场举行让利促销的活动，引发学生思考：
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如果是几千元的产品，合适的让利单位应当是多少？
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如果是几百元的产品，合适的让利单位应当是多少？
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如果是几十元的产品，合适的让利单位应当是多少？
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让学生不仅说出让利的数量单位，还要说出选择这个数量单位的理由。事实上，这样的问题并没有确切答案，主要是判断学生对数的感觉、即“数感”。根据一般人的感觉，对上述问题依次让利单位百元、十元、元是比较合理的。通过这样的讨论，一方面可以培养学生的数感，一方面还可以让学生感悟数学与现实生活是密不可分的。
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教学设计分析：虽然培养学生“数感”的教学应当贯穿第一学段“数与代数”教学的始终，但在适当的时候安排一次“综合与实践”课还是合适的。本次课安排在二年级也是比较合理的。
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所谓“综合与实践”课，并不要求全部在课堂上进行，比如，可以分小组在课前准备，但这个准备一定是有计划的活动，这对学生积累实践活动的经验是非常必要的。
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在课前活动中，给学生分配三项任务，让学生从“少、中、多”这三个不同的背景感悟1000这个数，这是为了更好地培养学生的“数感”，因为人的感觉是依赖背景的，只有“全面”地把握的事物的背景，才能对事物理解深刻。
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最后，脱离1000这个具体的数来体验“数感”，是为了由“具体”感悟过渡到“一般”感悟，虽然例子还是具体的，但述说的事情蕴含了一般。
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问题9“如何解释自然数的加法运算”的相关教学设计
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（刘艳平 东北师大附小）
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有关教学内容：自然数的加法
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课程标准要求：（第一学段）结合具体情境，体会整数四则运算的意义；能口算简单的百以内的加减法；能运用数的运算解决生活中的简单问题，能对结果的实际意义做出解释。
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加法是最基本的运算，是学生最初接触到的运算，因此应当让学生从一开始就感悟运算的本质，而不是仅仅让学生记住运算的规则。学生应当通过“理解（最初是感悟）”来学习数学，而不是通过“记住”来学习数学。在低年级段，让学生感悟的最好办法就是通过实例抽象出一般，这就是对应的方法。
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教学片断设计：加法的意义
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建立背景，让学生先感悟数量的多少、以及对应的数的大小；然后再通过数量的增加达到数量的相等的过程，感悟数的加法、感悟“等号”的意义。具体教学过程可以是这样的。
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1. 听故事比大小
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展示下面的画面，教师讲故事，哥哥和妹妹在果园摘的桃子，左边是妹妹摘的，右边是哥哥摘的。教师提问：“哥哥摘了多少桃子？妹妹摘了多少桃子？”
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学生已经学过了10以内数的认识，能够回答：“哥哥摘了3个桃子，妹妹摘了2个桃子。”于是教师在妹妹处标上2，在哥哥处标上3。
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2 3
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教师进一步提问：“谁摘的桃子多？”
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学生回答：“哥哥摘的多。”
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教师总结说：“3个桃子比2个桃子多。”
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然后，教师放慢语速、带着询问的语气说：“3就比2 … ”
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启发学生异口同声地回答：“3比2大。”
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教师一边复述：“3比2大”、一边在黑板是写出：“3 > 2”。
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教师引导学生读：“3大于2。”
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2. 听故事学加法
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教师继续讲故事，一边演示一边说：“在妹妹的筐里添上1个桃子。现在谁的桃子多？”
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2 3
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启发学生回答：“一样多。”
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教师在妹妹处，在2的后面写上“+1”。一边在妹妹的“2 + 1”与哥哥的“3”之间填写“=”号、一边说：“2个桃子加上1桃子等于3个桃子。2加1等于3。”
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2 + 1 = 3
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作为整理，教师再一次在黑板上书写：2 + 1 = 3。引导学生读这个算式。
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最后，教师启发学生理解“＋”号和“=”号的意义：加号表示在原有的数量上增加；等号表示两边的数量相等。
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教学设计分析：这样的教学采用了对应的方法，可以看到，这样的教学方法有别于传统的、借助定义的教学方法，参见问题9的论述。教学方法主要分为两步：
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首先，呈现哥哥摘桃子的数量和妹妹摘桃子的数量，比较数量的多少、进而比较数的大小，这样的教学一方面复习了已有的知识，一方面又为引出加法做出铺垫；然后在妹妹摘桃子的数量上增加1个桃子，再次引导学生进行比较，通过哥哥和妹妹桃子数量相等，抽象出加法：2 + 1 = 3。
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通过这样的教学，应当让学生感悟加法的两个基本概念。一个是感悟 “加”：加是在原有数量基础上的增加，表示的是两个数量的和；一个是感悟“相等” ：相等是在表述两件事情，这两件事情在数量上是一样的。
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问题11“乘法是加法的简便运算吗”的相关教学设计
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（杨静 东北师大附小）
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有关教学内容：自然数的乘法
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课程标准要求：（第一学段）结合具体情境，体会整数四则运算的意义。
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对于自然数而言，乘法是加法的简便运算，但对于整数就不是了，因此在教学过程中应当注意自然数的要求，参见问题11和问题12的论述。所谓简便运算是指：乘法表示的是相同数的连加。乘法的基本模式可以表示为： 数量 + 数量 = 数量 × 2。称等号右边的第一项为被乘数、第二项为乘数，称乘法运算结果为积。
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虽然在教学中不需要强调“被乘数”和“乘数”的概念，但在最初引入乘法运算的时候，教师需要把握好这两个概念，通过实际问题让学生感悟这两个概念，特别是，在解释乘法运算时不能混淆这两个概念的顺序。
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教学片断设计：乘法的意义
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1. 发现生活中的乘法
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借助下面的图画，教师讲故事。某一个班级根据学生的兴趣，分两个小组活动：一个小组进行体育活动，活动内容是学习轮滑；一个小组进行文艺活动，活动内容是排练合唱。现在请同学们帮助老师数一数，这两个小组各有多少同学。
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教师提出问题：“容易计算的是哪个小组的人数？”
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学生能够回答：“合唱小组。”
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教师进一步提出问题，启发同学思考乘法：“为什么呢？”
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学生的回答可能是五花八门的，比如，排队整齐，看得清楚等等。
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然后，教师要引发学生抽象出问题的本质：每一行的人数相等、或者每一列的人数相等。比如，教师可以启发学生说：“排队整齐就会怎么样啊？”引导学生自己得到结论。
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教师给出下面抽象了的图，解释什么是行的人数相等、列的人数相等。
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对于第一个图，教师引领学生读出列数、并在黑板上书写：
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2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 20
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引导学生认识这个加法的特征：加数都是一样的。启发学生：“一共有几个加数？”当学生回答“10个”以后，教师写出乘法的算式：
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2 × 10 = 20
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并且问学生：“这样计算方便吗？”当学生回答“方便”后，教师总结说：“这样的计算叫做乘法，乘法是加法的简便运算。”在给出定义以后，在第一个算式的基础上给出乘法算式：
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2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2 × 10 = 20
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然后，教师利用第二个图，解释乘法：10 + 10 = 10 × 2 = 20。
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2. 用图形理解乘法
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教师进一步给出图形，让学生画出被乘数（不需要指明这个概念）、写出上面的通过加法得到乘法的算式、计算结果。比如，通过下面两个图形
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分别得到算式：
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5 + 5 + 5 + 5 = 5 × 4 = 20；
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4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 × 5 = 20。
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教师用这样的算式进一步解释乘法的意义。
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然后让学生进行相反的操作，加深对乘法的理解：根据算式画出对应的图片，得到计算结果。比如，给出下面的算式：
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3 × 2， 4 × 3， 6 × 2，7 × 3，
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让学生画出图片，同桌的同学相互检查。
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最后，让学生想象在超市里卖东西，讲述乘法的故事、感悟乘法模型：总价 = 单价 × 个数。
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教学设计分析：这样的教学采用的也是对应的方法，通过对应让学生感悟乘法是加法的简便运算，让学生感悟这样的运算是非常便利的、是人类智慧的结晶。教学流程大体是这样的：
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实际问题：强调排列整齐
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→ 对应图形：强调行列相等
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→ 加法运算：强调加数一样
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→ 乘法运算：强调用被乘数表示加数、用乘数表示加数的个数
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→ 回归实际：感悟乘法模型
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可以看到，这样的教学流程思路是清晰的，学生的感悟过程也是简洁明了的。特别是，最后让学生“想象在超市里购买东西的情景，讲述乘法故事”的教学安排，有利于学生加深对乘法、以及乘法模型的理解，有利于学生感悟数学就在生活之中。
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问题13“为什么说除法是乘法的逆运算”相关教学设计
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（孙兴华 长春市树勋小学）
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有关教学内容：除法的认识
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课程标准要求：（第二学段）在具体运算和解决简单实际问题的过程中，体会加与减、乘与除的互逆关系。
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课程标准要求学生体会乘与除的互逆关系。如问题13中所叙述的那样，可以有两种方法表示乘与除的互逆关系：一种方法是基于运算的，可以用符号表示为
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a ÷ b = y ←→ a = b × y；
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一种方法是基于倒数的，可以用符号表示为
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a ÷ b = a × (1/b)。
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对于后一种表示方法，称1/b为b的倒数，因此，后一种表示方法可以用语言叙述为：“除以一个数等于乘以这个数的倒数”。这种表示方法更多地应用于分数的除法：“除以一个分数等于乘以这个分数的倒数”。因此，在学生最初认识倒数时，更多地是关注分数的倒数。
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教学片断设计：认识倒数
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1. 通过分数认识1
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教师通过媒体演示，把一个月饼分为六份（如上第一个图所示）。教师指着其中的一份、并以回忆的口气询问学生：
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“每份月饼是原来月饼的多少？”
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当学生回答1/6以后，教师在黑板上书写：1×1/6 = 1/6。然后，教师通过媒体演示（如上第二个图所示），把二份月饼合并、继续提问：
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“二份月饼是原来月饼的多少？
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当学生回答2/6以后，教师在黑板上书写：2×1/6 = 2/6。…… 然后，教师通过媒体演示（如上第三个图所示），把六份月饼合并起来、继续提问：
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“六份月饼是原来月饼的多少？”
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这时，学生的回答可能是各式各样的。教师要引导学生理解：六份月饼就等于原来的一个月饼。最后，教师在黑板上书写：6×1/6 = 1。
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2. 通过1认识分数的倒数
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教师组织学生活动。教师提供两组填空题，同桌两名同学分别计算其中一组：
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A：3 × ﹏ = 1，1/4 × ﹏ = 1，12 × ﹏ = 1，1/15 × ﹏ = 1。
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B: 3/4 × 4/3 = ﹏ ， 7/2 × 2/7 = ﹏ ， 5/9 × 9/5 = ﹏ ，7/6 × 6/7 = ﹏ 。
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要求学生填空后，观察算式的特点是什么？同桌讨论后，班级同学交流。通过讨论，希望同学能够感悟：对于任意给定非0自然数或者分数，总存在一个数与给定数的乘积为1，并且，这个数与给定数以分数形式上下颠倒。教师总结：对于数a，称a 与1/a 互为倒数：a × 1/a = 1；如果这个数是分数n/m，则称m/n 与n/m互为倒数：n/m × m/n = 1。最后，教师给出一般结论：如果
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a × b = 1，
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称a和b互为倒数。然后再补充说：因为任何数乘以0到不能为1，所以0没有倒数。
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3. 通过倒数计算除数为分数时的除法
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仍然回到分月饼的媒体演示。如上面第一个图所示：把一个月饼分成六份。教师提出问题：
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“半块月饼是一个月饼的多少？”
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当学生回答1/2以后，教师在黑板上书写“1/2”。然后利用媒体演示，如上第二个图所示：把六份月饼分为相等的两堆（两堆各三份），教师引导学生思考：
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“我们已经知道了1份月饼是整个月饼的1/6，那么，半块月饼有几份呢？”
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当学生回答3份以后，教师在黑板上的“1/2”后面接续写出：
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1/2 ÷ 1/6 = 3
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然后分小组让学生讨论：这个3是如何得到的呢？教师一边巡视小组讨论、一边启发学生思考：除法与乘法有什么关系呢？讨论后每个小组派代表汇报，教师在学生汇报时要把握住两个要点：1/2 × 6 = 3；6是1/6的倒数。于是，教师可以根据学生讨论的情况给出算式：
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1/2 ÷ 1/6 = 1/2 × 6 = 3
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这样，就可以启发学生得到结论：除以一个分数等于乘以这个分数的倒数。这时，教师需要引发学生思考：我们只计算了一个特殊的例子，这个结论是不是对别的问题也是正确的呢？教师进一步用媒体解释一个复杂的问题：
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1/2 ÷ 2/6 = ？
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我们来计算这个问题。教师启发学生思考：
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“2/6是1/6的两份，是整个月饼的多少呢？”
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当学生回答1/3以后，教师通过媒体把月饼分为3个1/3（如上第三个图所示），继续提问：
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“半块月饼是多少个1/3呢？”
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学生的回答可能是五花八门的，教师可以引发学生注意：半块月饼是一个1/3加上半个1/3（如图所示，利用原来的一份是1/6），在黑板上书写：
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1 + 1/2 = 3/2。
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于是，教师一边总结说：“半块月饼有3/2个1/3”，一边在黑板上书写：
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1/2 ÷ 2/6 = 3/2。
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然后启发学生回答：“2/6的倒数是多少？”当学生回答是6/2或者3以后，教师在黑板上写出总结的算式：
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1/2 ÷ 2/6 = 1/2 × 6/2 = 1/2 × 3 = 3/2。
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最后，教师一边指点算式一边引导学生说：“除以一个分数等于乘以这个分数的倒数。”
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教学设计分析：这个片段包含的教学内容比较多，并不要求在一节课内完成，也不要求用连续的几节课完成，只是为了说明如何利用倒数来解释分数的除法。倒数在本质上表述的是两个数之间的关系：互为倒数。虽然可以用倒数来解释、并且计算除法，但是：定义倒数需要乘法、认识倒数关键在于1。因此，教学片断在内容安排上，首先通过分数重新认识1，是为了表示1是一个整体，这就为后来“用倒数计算除数是分数时的除法”的教学打下了伏笔。
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片段讲解倒数的过程是由个别到一般，因此教学过程大量使用媒体是必要的，目的是为了让学生感悟倒数的意义。遵循这样的教学过程至少有两个好处：一是可以感悟通过倒数来计算除法的道理，二是容易解释为什么0没有倒数。
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问题14“为什么混合运算要先乘除后加减”的相关教学设计
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（孙兴华 长春市树勋小学）
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有关教学内容：混合运算
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课程标准要求：（第一学段）认识小括号，能进行简单的整数四则混合运算（两步）。（第二学段）认识中括号，能进行简单的整数四则混合运算（以两步为主，不超过三步）。
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可以看出，不同的学段提出限制运算步骤的要求，这是为了控制不必要的繁杂的运算，反而冲淡了学生对混合运算本身的理解。在本质上，混合运算都可以通过分步运算完成，因此混合运算是分步运算的合并，参见问题14的论述。因此，混合运算应当与分步运算的结果一致，而混合运算对运算次序的要求就是为了达到运算结果的一致。运算次序有两个基本法则：有括号，先计算括号中的算式；没有括号，先计算乘除后计算加减。
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教学片断设计：先乘除后加减
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1. 通过故事理解先乘除后加减
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教师讲故事：星期天小军和小明去超市买东西。小军要买1个书包和3本笔记本，书包每个50元，笔记本每本2元，小军应当交多少钱？小明买了半斤李子，李子4元钱1斤，小明交了5元钱，应当找回多少钱？
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对于这样的问题，教师要引导学生学会从“头”想问题。先考虑小军的问题 ：
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总钱数 = 书包钱 + 笔记本钱
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因为书包钱是50元，三本日记本钱是2 × 3（元），因此可以列出算式
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总钱数 = 50 + 2 × 3 = 50 + 6 = 56（元）
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所以，小军应当交56元钱。通过上面的计算，可以让学生体会到：必须先乘除后加减。
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下面，我们来帮助小明解决问题。小明买李子的钱数是4 ÷ 2 = 2（元），找给小明的钱数应当是小明所交钱数减去小明买李子的钱：
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找钱 = 交钱 - 李子钱
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= 5 - 4 ÷ 2 = 5 – 2 = 3（元）
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所以，应当找回小明3元钱。再次让学生体会到：必须先乘除后加减。
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通过上面的教学活动应当让学生感悟：混合运算都是在讲两个以上的故事，而乘法或者除法都是在完成其中的一个故事。于是，教师总结：在混合运算中先乘除后加减。然后，让学生口算一些习题，这些习题不限于先乘除后加减的问题，比如：
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8 - 3 ＋ 2，8 - 3 × 2， 2 + 6 ÷ 2，2 × 6 ÷ 2，28 - 3 × 2
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等等，让学生通过计算加深“先乘除后加减”的印象。
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2. 讲述先乘除后加减的故事
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老师在黑板上写出一个算式
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30 × 2 - 50
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要求同学们先讲述一个表达这个算式的故事，然后再计算这个算式。教师需要在课前就想好故事，当学生回答有困难是，可以启发学生思考。比如，在春节期间，爷爷和奶奶都给小明30元压岁钱，小明花了50元，春节后小明还剩多少钱？或者，回顾《九章算术》里的问题：一个人买了两头猪、卖了一只羊，猪30钱一头、羊50钱一只，这个人还剩多少钱？
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教学设计分析：一般来说，可以从两个方面解释混合运算中的先乘除后加减，一种解释是因为乘法是加法的简便运算：3 + 2 × 4 = 3 + 2 + 2 + 2 + 2 = 11，但这样的解释对于除法就牵强附会了；还有一种解释是因为混合运算是分步运算的综合。后一个解释是直观的，也是本质的，因此在小学阶段的数学教学中最好采用后一种解释。引导学生学会从“头”想问题是教学的关键，因为其中蕴含了分步计算的思想。最后，让学生自己构建混合运算的故事背景也是重要的，是一种有益的尝试，这不仅有利于学生加深对所学问题的理解，也有利于培养学生的想象力。
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问题15“为什么要学习估算”的相关教学设计
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（岳莹 长春市树勋小学）
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有关教学内容：估算
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课程标准要求：（第一学段）在具体情境中，能选择适当的单位，进行简单的估算。（第二学段）在解决问题的过程中，能选择合适的方法进行估算。
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可以看到，在小学阶段强调估算问题要有实际背景，第一学段强调选择合适的量纲，第二学段强调选择合适的方法，而其中“合适”的标准是基于实际问题的。因此，估算的学习不仅要培养学生学会计算，还要培养学生学会思考和判断。
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教学片断设计：估计上界和下界
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1. 创设情境引入概念
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教师首先需要创设情境，让学生知道什么是上界、什么是下界。在教学中并不需要“上界”“下界”这样的概念，可以使用相关词语，让学生感悟其中的含义。比如
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班级准备举行班会，委派小丽带了5元钱去超市买糖果。水果糖一包10块7角钱，班级有38名同学，小丽最少要买几包？最多能买几包？
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引导学生讨论，注意到：对于许多实际问题的处理是需要制定原则的，而原则的制定又是基于生活常理的。方案一：每个同学都能分到一块水果糖，那么，小丽最少要买4包；方案二：每个同学都能分到两块水果糖，那么，小丽最少要买8包。因为每包水果糖0.70元、7包水果糖4.90元，因此，小丽所带的5元钱最多能买7包。这样，上面的方案二是不可行的。在讨论过程中让学生感悟：所说的“最少”就是下界，“最多”就是上界，下界和上界是由问题的背景确定的。对于买水果糖的问题，下界是4包，上界是7包。
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2. 创设情境学会思考
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教师讲故事，分小组讨论。小丽和妈妈一起去超市买东西。买了两袋面粉，每袋30.4元；买了一块牛肉19.4元。妈妈还想买鱼，大鱼每条25.2元，小鱼每条15.8元。妈妈问小丽：我带了100元钱，还够不够买小鱼？还能不能买大鱼？
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小组的计算方法可能是多样的，本质上是计算下界和上界，但选择思考问题的合适用语是非常重要的，这是学生会不会思考的基础。
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够不够买小鱼的合适用语是：“不超过”或者“至多”。可以这样思考：买一袋面不超过（至多）31元，买两袋面不超过（至多）62元；买牛肉不超过（至多）20元；总共不超过62 + 20 = 82（元）。因此，剩下的钱至少有100–82 = 18（元）。因为 18 ﹥ 15.8，所以妈妈可以买小鱼。
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能不能买大鱼的合适用语是：“不低于”或者“至少”。可以这样思考：买一袋面不低于（至少）30元，买两袋面不低于（至少）60元；买牛肉不低于（至少）19元；总共不低于60 + 19 = 79（元）。因此，剩下的钱最多有100 - 79 = 21（元）。因为 21 < 25.2，所以妈妈不能买大鱼。
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可以看到：前一个问是估计所剩钱的下界，如果下界还能买就自然可以买了；后一个问是估计所剩钱的上界，如果上界都不能买就自然不能买了。估算的要旨是凑整计算，在凑整的时候需要注意的是：估计下界，凑整的数不能低于原来的数，因此合适用语是不超过或者至多，是指原来的数不超过凑整的数；估计上界，凑整的数不能高于原来的数，因此合适的用语是不低于或者至多，是指原来的数不低于凑整的数。
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综上所述，估算的问题不仅是化简计算，思维方法更为重要。这种思维方法是数学的、更是日常生活的，因此，数学的功能之一就是要引导学生会想问题，帮助学生积累思维的经验。
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教学设计分析：一般来说，小学生理解概念是比较困难的，特别是像上界、下界这样的具有逻辑背景的概念，因此，教学设计从学生的生活背景入手，让学生感悟概念的内涵是必要的。特别是，设计的简单、说明的问题深刻。
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在学生初步理解了概念的基础上，教学设计选用了课程标准中买鱼的问题，这个问题对培养学生的思维方法是非常合适的，为了达到教学效果，教师在课前必须把思维过程的每一个细节都考虑清楚，否则在教学过程中，教师很可能会被学生的想法干扰，以至于理不清解决问题的思路。
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问题16“什么是符号意识”的相关教学设计
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（杨宇 长春市第一实验小学）
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有关教学内容：使用符号的意识
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课程标准要求：（第二学段）在具体情境中能用字母表示数。结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示。在课程标准中，符号意识是作为核心概念提出的：能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。
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符号意识主要是指：让小学生学会有意识地使用符号，能够感悟使用符号的意义，能够在适当地使用符号。符号包括两种：一种是关于概念的，一种是关于关系的，参见问题16的论述。自然数就是一种符号，人们用这样的符号表达数量的多少。但“符号意识”中所说的概念符号更为抽象，在小学阶段主要是指：用字母表示数，用字母表示等量关系。
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符号的使用是数学的根本，没有符号表达就没有现代数学，因此帮助学生建立符号意识是非常重要的。此外，无论是从形式上还是从思想上，使用符号都是小学生真正接触“抽象”的开始，因此，教学的素材又应当来源于学生的现实生活。
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教学片断设计：用字母表示数
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1. 创设情境显示规律、感悟为什么使用字母
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教师利用媒体设计情境讲故事：老师这里有一个黑匣子，这个黑匣子会计算，同学们猜一猜这个黑匣子是如何计算的。
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让学生说出一个数，比如4。教师在媒体上把这个数输入黑匣子的一端，于是在黑匣子的另一端输出8。重复这个过程：输入6输出12,；输入7输出14。
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教师启发学生：“同学们猜一下，这个黑匣子是怎么计算的？”当学生回答“把送进去的数扩大2倍”以后，教师进一步启发学生：“你们会用一个算式表示这样的计算吗？”学生的回答可能多种多样。教师归纳学生的想法，写出算式
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输入数 × 2 = 输出数
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同时提示学生：“我们看一看，黑匣子是不是这样计算的。”然后，再利用媒体的黑匣子，引导学生计算一些具体的数来验证这个算式。教师再一次提出问题：“我们能不能用更简单的方法来表示黑匣子的计算呢？”在学生回答的基础上，教师一边启发学生：“如果用字母a表示输入的数，会不会是这样的呢？”一边在黑板上书写
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a -→ 2a
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得到学生的肯定之后，教师总结说：“这就是用字母表示数，这个字母a可以是3、可以是9、也可以是100，不管你说这个数是多少，计算的结果都是这个数的2倍，所以可以用2a表示计算的结果，这就是黑匣子计算的秘密。”然后反问学生：用字母表示数方不方便？
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最后，教师可以引发学生的学习兴趣：“输入一个数、输出一个数，黑匣子规定计算方法，这就是电子计算机的原理。等你们长大后，学会了如何规定计算方法，就会使用计算机了。”
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2. 讲述生活中的例子、感悟如何使用字母
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教师先讲述一个生活中使用字母的例子：一辆汽车一小时行驶60公里，2小时行驶多少公里？5个小时呢？用t表示时间（英语时间是time，这里用了字头），总结出这辆汽车的行驶路程，t小时行走的公里数是：60 t。
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然后分小组讨论，举出一个使用字母表示数量的例子。在讨论过程中教师一定要把握两个要点：一个要点是字母表示的是什么；另一个要点是希望表达的数量是什么。比如，在上面的例子中：字母t表示的是时间；希望表达的数量是行走距离。
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3. 脱离问题背景、感悟抽象了的字母
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用符号表述乘法交换律 。先让学生作一些与交换律有关的数字例子：
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2 × 3 = 6，3 × 2 = 6 → 2 × 3 = 3 × 2，
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7 × 8 = 56， 8 × 7 = 56 → 7 × 8 = 8 × 7，
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教师提出问题：“是不是对所有的数，乘法的两个因子都可以交换呢？”学生的回答很可能是肯定的，既便如此，教师仍然进一步提出问题：“为什么会这样呢？”一般来说，学生回答不了这个问题。于是教师引导学生思考：“我们来回忆一下乘法是什么”，然后用媒体显示下面的图
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启发学生回答“左边的算式是什么”，当学生回答5×4以后，教师在黑板上写出算式；进一步启发学生回答“右边的算式是什么”，当学生回答4×5以后，教师在黑板上写出算式。教师问：“这两个算式是不是相等的？”学生回答相等之后，教师一边在两个式子之间写上等号，一边问学生：“为什么相等啊？”这时，学生的回答可能是多样的，教师要归纳出下面的结论
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行数 × 列数 = 列数 × 行数
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并且总结说：“乘法是加法的简便运算，先算行、还是先算列，结果都是一样的。”教师进一步提问：“如果要用字母表示这个性质，应当如何表示呢？”启发学生用a表示“行”、用b表示“列”，于是可以得到一般表达式
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a × b = b × a
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教师要引导学生知道，还可以用其他的字母来表示这个性质，比如：H × L = L × H，其中H表示的是行、L表示的是列，都是拼音的第一个字母。最后，教师让学生举例说明：像用t表示时间那样，人们已经约定俗成的字母表示方法。比如，用r表示圆的半径，用 π 表示圆周率，于是圆的周长就表示为2πr，等等。
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教学设计分析：正如前面分析的那样：无论是从形式上还是从思想上，使用符号都是小学生真正接触“抽象”的开始，因此，教学的素材又应当来源于学生的现实生活。教学设计由黑匣子引入，对学生既有一些神秘感，又是可以通过卡通片（比如，哆啦A梦）想象得到。特别是，教师最后谈到了电子计算机的原理，可以激发学生的学习兴趣。第二阶段突出了两个要点，让学生感悟如何用符号表示数。第三阶段通过直观启发学生如何用符号表达诸如性质等一般性的规律。这样教学重点突出、层次清楚，有利于学生理解，也有利于启发学生思考。
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问题17“方程的本质是什么”的相关教学设计
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（赵艳辉 东北师大附小）
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有关教学内容：方程的认识
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课程标准要求：（第二学段）结合简单的实际情境了解等量关系，并能用字母表示；能用方程表示简单情境中的等量关系，了解方程的作用。
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从形式看，方程是含有字母的等式；从功能看，列方程是为了求方程的解。因此，所有方程都应当有问题背景：用字母表示希望知道的结果，通过等量关系列方程、解方程，最后得到结果。一般来说，问题背景必须讲述两个故事，这两个故事在数量上相等，参见问题17的论述。
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教学片断设计：方程的初步认识
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1. 通过直观感悟方程
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借助天平，通过天平两边量的相等理解等式。在讲桌上放上：一个天平，几个一样的小积木块（重量均为20克），两个砝码：重量分别为10克和50克。告诉学生砝码的重量，希望利用天平称出小积木块的重量。
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教师演示（或者让学生演示），小积木块的重量比10克重、比50克轻，怎么办呢？教师启发学生：试一下，把两个小积木块放在一起称：把两个小积木块放在天平的一边，把两个砝码放在天平的另一边。小积木块还是轻。于是教师（或者学生）在小积木块的一边再加上一个小积木块，这时天平平衡了。教师启发学生回答小积木块的重量。一般来说，学生能够回答小积木块重20克。
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这时，教师必须追问：为什么是20克呢？学生的回答可能是多种多样的，教师要引导学生把天平的平衡关系抽象出来：
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□ + □ + □ = 10g + 50g
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然后启发学生：“可不可以用字母表示小积木块的重量啊？”得到学生的肯定之后，教师一边说“用字母x表示小积木块的重量”、一边书写：x = 小积木块重量。然后教师说：“现在用字母x代替上面的小方块”，鼓励学生到黑板上来写：
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x + x + x = 10 + 50
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字母可以与数字一样进行计算，得到：
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3x = 60
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教师解释说：这就是方程，方程里的字母x表示要求的量，是一个未知数。然后解释：在方程的两边同时除以3，得到x = 20（克）。最后总结说：我们可以通过解方程，计算出未知数等于多少。
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如果学生对上面的问题理解得很好，教师还可以进一步启发学生思考：“还可以用什么样的办法称出小积木块的重量呢？”引导学生通过天平抽象出下面的方程：
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x + x + 10 = 50
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然后计算。两个未知数相加：2x + 10 = 50；等式的两边同时减去10：2x = 40；等式的两边同时除以2：x = 20。与前一种计算方法得到的结果是一样的。
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2. 通过推理列方程
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教师讲述一个通过思考列方程的故事。比如，过生日那天小丽想：爸爸今年40岁，我年龄的3倍还比爸爸小7岁。同学们能知道小丽的年龄吗？学生的计算方法可能是多样的，也可能会直接得出答案，教师必须帮助学生理清思维过程（不一定必须板书）：
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3 × 小丽的年龄 + 7 = 爸爸的年龄 或者 3 × 小丽的年龄 = 爸爸的年龄 – 7
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然后抽象成方程：3x + 7 = 40，或者 3x = 40 – 7。
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教学设计分析：通过天平两边物体重量相等引入方程，特别是，利用同一个背景，采用不同的方法、建立不同的方程，得到一样的结果，对于初学者直观地理解方程是有好处的。此外，第二部分的教学设计也是必要的，让学生经历从直观到想象的过程，可以帮助学生从感悟走向理解。
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只有通过建立方程，才能使学生真正感悟到“用符号表示数”的意义，因此在教学过程中反复强调未知数 x的含义也是必要的。
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问题18“小学数学中有哪些模型” 的相关教学设计
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（王艳玲 东北师大附小）
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有关教学内容：模型的认识
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课程标准要求：模型思想是作为核心概念提出的：模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。
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与此相关的具体内容：（第一学段）能运用数及数的运算解决生活中的简单问题，并能对结果的实际意义做出解释。（第二学段）在具体情境中，了解常见的数量关系：总价 = 单价×数量、路程 =速度×时间，并能解决简单的实际问题。
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教学片断设计：通过速度初步认识路程模型
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1. 创设情境引发思考，体会路程、速度、时间之间的关系
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在学习之前，学生是对速度、路程、时间这些概念是知道的，但不一定真正理解。事实上，只有通过三者之间的关系，才能真正理解这些概念的含义；反之，只有真正理解了这些概念的含义，才可能准确表达三者之间的关系。可以通过缺失信息的方法来理解概念，本片段的重点是理解速度，并且通过速度来认识路程模型。
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什么是速度。教师给出下面的情境讲故事：早晨，小丽和小强在学校见面，分别询问对方上学所需要的时间。同学们是否能帮他们比一比，谁走得更快些？
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可能会有一部分学生觉得小丽走的快一些，因为花费的时间少；也可能会有一部分学生认为没有办法进行比较，因为不知道谁家远。这时，教师要引发学生思考：如果再知道了什么，就可以知道谁的速度更快一些。然后，让学生举例说明。
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学生举的例子可能是五花八门的，比如，小丽和小强的家离的很近、小丽的家离学校更近、小强的家离学校更近、等等。无论如何，教师要引发学生思考：应当如何判断速度的快慢。引导学生注意：速度的快慢不仅与时间有关，而且与距离有关。让学生感悟：速度 = 距离/时间。
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如何度量速度。学生已经知道，通过距离和时间可以度量速度。教师通过下面的实际例子，希望学生知道如何计算速度。教师利用下面的图，讲述关于速度的故事：左边的图是神舟飞船在轨道上运行，右边的图是自行车运动员在野外练习。由图上看，每个单位的速度都是8千米，那么，神舟飞船和自行车运动员速度是一样的吗？
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让学生回答，应当如何表示速度的单位：米/秒，米/小时；千米/秒，千米/小时。其中，分子表示的是距离单位，分母表示的是时间单位。让学生理解：只有单位一样才能比较速度的快慢。如果学生有较好的理解能力，可以让学生知道，我们所说的时间是一个平均数：物体行驶一段距离之后，是用这段距离除以所用时间得到的。
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让学生询问家长、或者查阅与速度有关的资料，在课堂上讲述与速度有关的故事。在询问或查阅过程中要掌握两个基本要素：交通方式，单位时间的速度、即单位时间的距离。让学生知道：速度 = 距离/时间，反之，距离 = 速度×时间。比如，得到下面的一些图、以及关于速度的说明：
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并且，可以提出相关的问题：
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成人步行10分钟大约行走多少距离？飞机飞行1小时大约飞行距离？声音传播从操场的一边到另一边大约需要时间？从太阳到地球光行走大约需要多少时间？
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2. 通过算式理解模型的变化
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教师可以通过图画等，讲述模型变化的故事。比如，利用下面的图和算式：
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小
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教师可以提出问题：同学们能不能帮助这几位同学解释一下算式的意义？
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教师要引导学生知道路程模型的基本形态：路程 = 速度×时间。可以不讲、但一定要把握：在这个模型中，路程是两个因子的乘积，速度是被乘数，时间是乘数。这是因为，在通常情况下速度是一个不变的量，路程随着时间的变化而变化，参见话题23的论述。
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然后，借助乘法与除法互为逆运算的关系，可以得到模型的变化：速度 = 路程/时间，时间 = 路程/速度。在这个过程中让学生感悟：只有知道其中的两个量，才可能计算第三个量。如果学生理解的比较好，还可以通过具体计算，让学生理解速度单位“千米/时”的意义，比如，120（千米） ÷ 2（时） = 60（千米/时）；60（千米/时）× 3时 = 120千米。
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最后，分小组讨论，每个小组讲述一个与路程模型有关的故事。
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教学设计分析：对于小学生而言，理解“速度”比理解“路程”和“时间”要更困难一些，特别是，速度单位的表达又与以往学习过的单位表达有很大区别：是一个等分的形式，因此从速度入手理解路程模型是有道理的。关于速度的概念，仅仅依靠教师的讲解是不行的，必须通过现实中的例子让学生感悟，而针对速度这个概念，教学设计中利用了三者之间的关系、利用了几种缺失信息的方法，让学生“恍然大悟”，这样的教学可以引发学生思考、引发学生注意、给学生留下较深的印象。事实上，通过这样教学方法，也有助于学生更好地理解三者之间的关系。
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虽然教学内容是对模型的初步认识，但教学设计通过变化的方法让学生感悟：模型是一般的，即模型可以用来解决现实生活中的一类问题，因此模型表达的是一类算式，而不是个案的算式。
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问题21“如何理解点、线、面、体、角”的相关教学设计
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（高俊生 东北师大附小）
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有关教学内容：角的认识
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课程标准要求：（第一学段）结合生活情境认识角，了解直角、锐角和钝角。（第二学段）知道平角与周角，了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系。
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在小学阶段，主要是认识平面上的角，认识基础是点、线、面。虽然在教科书中，角的定义是：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。但这个定义是难以理解的：两条线段组成的图形就不是角吗？角到底是指图形中的那个部分呢？因此，在小学阶段，教学设计不能依据上面的定义，详细讨论参见问题21和话题26的论述。
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在小学低年级，可以不讲述严格定义，但教师在教学过程中，应当把握好下面三个要点：
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1. 角是由一个端点重合的两个线段组成的，称这两个线段为角的两个边；
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2. 角是指两个边所夹的部分，因此，角的大小只与两个边张开的程度有关，与边的长度无关；
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3. 只能通过张开程度的变化（角的大小比较），才能让学生真正感悟角到底是什么。
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教学片断设计：角的初步认识
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1. 创设情境引发思考
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设计一个教具：只有时针、分针，没有时间刻度的“表”。教师拨动分针让学生辨认时间，比如，以12点为基准：12点、12点15分、12点30分、12点45分。凭借生活经验，学生应当可以通过分针与时针之间夹角的大小辨认出时间，因此，可以通过教学活动让学生清晰地感悟到：时间是由分针和时针之间的“夹角”所决定的。特别是对于钝角的情况，即12点45分的情况，教师必须帮助学生思考清楚：夹角的具体含义是什么。于是，教师可以总结说：“我们把分针与时针所夹部分叫做角，把分针和时针叫做角的边。”
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进一步，让学生利用身边的物体说明什么是角。比如，桌面上有四个角，数学教科书上有角，红领巾上有角，等等。让学生感悟角的特征：边是直的，前端是尖的，角的大小与边长无关。
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教师利用角的大小讲解什么是直角、锐角、钝角。然后进入具体操作阶段：发给每一位同学一张长方形的纸，根据教师的要求，让学生动手折出一个角、并说明是什么角。教师再一次总结：“如果两个线段的一个端点重合，我们把两个线段所夹部分叫做角，把这两个线段叫做角的边。”
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2. 通过画图抽象出角
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引导学生理解“角”的有效方法是让学生利用“尺规作图”画出“角”的图，因为几何作图是思维抽象的具体表达。比如，让学生利用铅笔和直尺，在纸上画出如上面图（a）那样角，同桌讨论：图中的什么是角。还可以画出直角、钝角，探讨如何画直角。
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然后可以如图（b）那样，通过画图比较两个角的大小：因为∠2包含∠1，所以∠2大于∠1，从而理解什么是角的大小。对于理解力比较好的学生，还可以演示图（c），启发学生思考：角的大小是由什么决定的？
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教学设计分析：对于小学低年级学生，认识角要比认识线段更困难一些，因为在开始阶段，角的指向并不很明显。因此，通过教具“表”认识“角”是有意义的，只有通过角的大小的变化才能让学生对角的指向有直观感受。特别是，教师由角的具体描述过度到角的一般定义，可以让学生感悟定义的抽象过程。第二阶段的教学，通过学生自己的几何作图认识角、感悟角的大小也是重要的，有利于学生清晰地把握角的概念。
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问题23“如何理解长度、面积、体积”的相关教学设计
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（朱颖 东北师大附小）
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有关教学内容：长度单位、面积单位和体积单位的认识
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课程标准要求：（第一学段）结合生活实际，经历用不同方式测量物体长度的过程，体会建立统一度量单位的重要性。在实践活动中，体会并认识长度单位千米、米、厘米，知道分米、毫米，能进行简单的单位换算，能恰当地选择长度单位。能估测一些物体的长度，并进行测量。（第二学段）探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式，并能解决简单的实际问题。知道面积单位千米2、公顷。探索并掌握圆的面积公式，并能解决简单的实际问题。会用方格子估计不规则图形的面积。通过实例了解体积（包括容积）的意义及度量单位，能进行单位之间的换算。结合具体情境，探索并掌握长方体、正方体、圆柱的体积和表面积以及圆锥体积的计算方法，并能解决简单的实际问题。体验某些实物（如土豆等）体积的测量方法。
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可以看到，在小学阶段，关于长度、面积、体积的内容是相当多的，知识点也是非常多的。因此，与此有关的教学设计是非常重要的，一个有经验的教师应当把握一种相对成熟的教学模式，让学生能够循序渐进地理解什么是度量。长度、面积和体积都是度量，这三种度量对象分别是一维空间、二维空间和三维空间的物体。
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小学阶段、特别是第一学段所说的长度，是对线段的度量。一个物体的长度是客观存在的，但如何对这个长度进行度量却是人为的。因此，在小学阶段就应当让学生清楚地知道：采用不同的度量方法（度量单位），就会有相应的长度的表达方式。度量方法并无对错之分、只有好坏之分：度量精细的方法就好，因为能够更真实地表达客观实际。在长度的度量中，厘米、米是全世界通用的度量单位，关于这个问题的详细讨论参见话题27。
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教学片断设计：厘米的认识
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1. 用各种方法实际测量、理解长度
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教师要求学生度量自己课桌长度。分小组讨论，让学生根据自己设计的度量方法进行度量，引导学生利用身边的“工具”、设计出多样的度量方法。比如，用手的“拃”的大小来度量，用铅笔的长度来进行度量，用教科书的长或者教科书的宽来度量，等等。要求：每个小组的度量方法统一。
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在度量的过程中，启发学生注意，所说的工具就是度量的“单位”，并且要注意度量的“精度”，即：精确到“小数点”后一位，比如，四拃半、五加1/4铅笔长等等。
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让学生汇报度量结果，并且让学生根据汇报结果把课桌的长度“画”在黑板上，要求每位学生画的起点一致。一般来说，学生画出的长度必然会有所差异，于是教师总结说：“我们已经知道了什么是长度，并且知道了如何度量长度：就是用度量单位来表示长度。”进一步，教师提出问题：“但是，每一张课桌的长度都是标准的，可是同学们度量的结果不一样，为什么会出现这种情况呢？”可以让学生回答问题，启发学生知道：因为度量工具不同。
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2. 统一度量单位、理解厘米
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教师启发学生说：“看来我们有必要统一度量工具，统一度量工具就是统一度量单位。现在，全世界统一的度量工具是‘米尺’，上面最小的刻度单位是‘厘米’。” 然后，可以讲述秦始皇统一的度量衡的故事，讲那时的“尺”与现在“厘米”的换算，讲项羽的身高，参见话题27。
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按原有分小组，用米尺度量课桌的长度，精确到厘米。在度量过程中，认识厘米、分米、米之间的换算关系。然后，再次让学生汇报、并且在黑板上画出课桌的长度，与原有长度进行比较。启发学生注意：度量单位越精细、度量结果越准确。
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如果学生有较好的接受能力，最后，可以给学生讲述咫尺之间、英尺、米原器的故事，讲述纳米和光年的故事，参见话题27。
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教学设计分析：教学的核心是让学生感悟到，“厘米”是一种长度单位，认识“厘米”是生活实际的需要；知道基于“厘米”的度量工具是米尺，知道厘米、分米、米之间的换算。因此，教学活动应当从身边的度量开始，比如，这个教学设计的课桌，并且通过比较各种度量工具的度量结果，让学生感悟统一度量工具的必要性。讲述秦始皇统一度量衡等故事，可以让学生留下深刻的印象：古代的人们就已经统一了长度的度量，这是日常生活和生产实践的需要。
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问题24“如何理解平移、旋转、轴对称”相关教学设计
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（岳莹 长春市树勋小学）
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有关教学内容：平移、旋转、轴对称的认识
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课程标准要求：（第一学段）结合实例，感受平移、旋转、轴对称现象。能辨认简单图形平移后的图形。通过观察、操作，初步认识轴对称图形。（第二学段）通过观察、操作等活动，进一步认识轴对称图形及其对称轴，能在方格纸上画出轴对称图形的对称轴；能在方格纸上补全一个简单的轴对称图形。通过观察、操作等，在方格纸上认识图形的平移与旋转，能在方格纸上按水平或垂直方向将简单图形平移，会在方格纸上将简单图形旋转90°。能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小。能从平移、旋转和轴对称的角度欣赏生活中的图案，并运用它们在方格纸上设计简单的图案。
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这次课程改革，在小学阶段“图形与几何”中强调了“平移、旋转和轴对称”的教学内容。这三种形态都属于图形运动，并且是最基本的运动、即刚体运动。刚体运动的核心是：保持两点间距离不变。两点间距离不变就保证了角的大小不变，保证了图形的形状不变，因此，保持两点间距离不变是图形全等的本质，或者说，这三种形态囊括了图形全等。图形全等是平面几何的重要内容。既然是运动，就必然需要运动的参照物，三种运动形态的参照物可以参见问题24的讨论。
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当学生学习了平移、旋转和轴对称的内容之后，安排“综合与实践”的课程是必要的，可以让学生感悟三种运动的共性与差异，从而加深对三种运动的理解，加深对图形刚体运动的理解。在教学的过程之中，引导学生学会记录图形运动的过程是必要的，这是一种数学的基本素养。
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教学片断设计：平移、旋转的综合运用
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1. 在图画变化的过程中感悟图形的运动
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分小组活动，要求学生吧上面左边的图变化为右边的图，并用平移和旋转记录运动的过程。在这个过程中一定要帮助学生积累思维的经验和实践的经验：思维清晰、层次鲜明。比如，首先用符号确定图的坐标，这个坐标可以是一维的、也可以是二维的。
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一维坐标就是对每个小方块标上1个数字，如果以“行”为基准，就是每行4个数字，总体从1到16，而图所占坐标是6、7、10、11。
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二维坐标就是对每个小方块标上2个数字，如果还是以“行”为基准，就是每行4对数字，总体从16对数字，而图所占坐标是 (2,2)、(2,3)、(3,2)、(3,3)。
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上面的两种表示方法无所谓对错，一维的可能对位置“记录”更加简单，二维的可能对位置“表示”更加清楚。无论如何，要让学生感悟到，研究问题的方法是可以自己设计的。每个小组确定一种表示位置的方法。
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在记录运动的过程中，要让学生学会根据需要“定义”记录所使用的术语。并且注意到，可以从不同的角度来看图形的运动，但整个图形运动的标准必须统一，所用术语也必须统一。
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比如，记录运动结果“坐标9”的图形。虽然可以看作是从“坐标10”的图形通过轴对称运动而来的，但在堂课的教学要求：只是通过“平移”和“旋转”这两种运动，因此不可以用轴对称表示图形的运动；那么，只有从“坐标11”的图形通过平移运动而来，可以记为：
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9：11平左2，
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表示“坐标9”的图形是由“坐标11”的图形向左平移了2个坐标得到的。同样的道理，“坐标16”的图形是由“坐标10”的图形通过平移运动和旋转运动而来，可以记为
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16：10平右3、平下1、旋270，
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其中旋转规定是顺时针，因此是270度；如果规定是逆时针，则可以是：旋90。
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记录的规则必须规定的非常仔细，有些可以事先规定，比如记录的程序和形式；有些可以事中规定，比如记录的术语。特别是，要清晰地规定诸如“平左”、“平右”、“平下”、以及“旋”这些术语的确切含义。可以看到，这样的教学对培养学生的实践能力是非常重要的。
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2. 通过记录的逆变化理解图形的运动
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记录是刻画图形运动的最重要的手段，但在初学阶段，学生却很难把握，因此可以通过记录的逆变化加深对记录的理解，进而加深对图形运动的理解。
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小组讨论，如何通过运动的记录把图形还原，即如何把“坐标9”的图还原到“坐标11”、把“坐标16”的图还原到“坐标10”。在这个过程中，让学生感悟什么是图形的运动与逆运动，感悟为什么要把图形的运动过程“记录”得非常仔细。
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教师课前准备一些类似上面左边的原始图，分给每个小组。两个小组结成对子，每个小组设计一个类似上面左边图到右边图的图形运动，记录运动；把运动以后的图和运动记录交给对方，要求对方还原成；把还原结果与原始图比较。在这个过程中，每个小组要学会全员参与、集体讨论、分工负责的工作原则，积累实践的经验。
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最后，全班讨论：根据原始图设计与记录图形运动的流程；根据结果图与运动记录进行图形还原的流程。教师进行总结，并且启发学生想象：我们这次活动的方法，就是人们在互联网上“秘密”输送图形的基本方法。比如，一个人在自己的“博客”上登出一张照片，但只希望让自己的好朋友们看、别人看不了。他就可以把照片分成若干个小方块，把图形运动的结果图在“博客”上登出，并且把运动记录告诉给自己朋友们。于是，朋友们能“看到”原图，而别人只能看到结果图。
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教学设计分析：这是一堂“综合与实践”课的教学设计，因为活动内容较多，可以在一堂课内完成，也可以作为教学活动连续两堂课完成。整个教学设计是为了让学生更好地理解平移和旋转这两个图形运动的基本形态，教学活动具有很强的趣味性，突出了培养学生的基本数学素养，帮助学生积累思维的和实践的活动经验。
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“图形运动”就是大学数学中所说的“图形变换”，因此，在教学设计中强调图形运动的记录是很重要的，因为这就是“变换”，只是没有用抽象的数学符号。事实上，只有通过图形运动的记录才可能让学生感悟到图形运动的本质，特别是，在教学设计中还让学生进行图形运动的逆变化，这对培养学生的逻辑思维能力是一个很好地尝试。在小组活动中明确全员参与、集体讨论、分工负责的工作原则，这有利于学生积累与他人合作的实践经验。
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问题27“三种统计图之间有什么共性和差异”相关教学设计
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（赵艳辉 东北师大附小）
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有关教学内容：条形统计图、扇形统计图、折线统计图的认识
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课程标准要求：（第二学段）认识条形统计图、扇形统计图、折线统计图，能用条形统计图、折线统计图直观且有效地表示数据。能从报纸杂志、电视等媒体中，有意识地获得一些数据信息，并能读懂简单的统计图表。
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在现代社会，利用统计图说明问题已经成为一种常识，利用统计图的目的是为了更加直观地表述数据。课程标准中强调了三种最常见的统计图，虽然用三种统计图都可以表示数据，但功能有所不同：条形统计图更有利于表述数量的多少，扇形统计图更有利于表述数量所占的比例，折线统计图更有利于表述数量的变化。详细讨论参见问题27。因此，在教学过程中应当让学生感悟利用统计图的方便，也应当让学生感悟三种统计图功能上的差异。
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教学片断设计：认识条形统计图
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1. 知道条形统计图的制作规则
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教师收集了30届伦敦奥运会的部分资料：获金牌总数前四国家（美国、中国、英国、俄罗斯）获得奖牌的数量，得到下面的表格。
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中国、美国、俄罗斯获奖牌统计表（伦敦奥运会）
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金牌 银牌 铜牌 总计
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美国 46 29 29 104
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中国 38 27 23 88
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英国 29 17 19 65
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俄罗斯 24 26 32 82
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教师引导学生分6个小组讨论、画条形统计图。教师引发学生思考：这个统计表的数据告诉我们很多信息，现在，同学们能不能用图表示第30届伦敦奥运会中国获奖情况？在这个阶段，学生画出的图可能是各种各样的。
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教师帮助学生理清思路，在黑板上画出横轴与纵轴，启发学生思考：是不是要分出金牌、银牌、铜牌？得到学生的认可之后，教师在横轴上画出三段四个标记，在每段下面表明金、银、铜。再启发学生思考：金牌是多少？根据学生的回答，在纵轴的适当位置标出38。同样的方法，得到27和23。然后横轴与纵轴的标记连线，得到下面的条形统计图。
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然后，让每两个小组分别画出美国、英国、俄罗斯的获奖情况，提醒学生画直方图注意事项：横轴与纵轴刻度比例合理，图形大小适当。比较各小组画出的图，让学生知道如何画直方图。通过图形直观分析各个国家获金牌的情况：美国金牌较多、但银牌铜牌较少；中国比较适度；英国的图形结构与美国相似；俄罗斯银牌较多、但金牌较少。让学生从中领悟使用直方图分析问题的便捷。
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2. 利用条形统计图分析数据
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教师启发学生思考：能不能用一个图，把四个国家获奖牌的情况都放在一起？让学生出主意：如果要放在一起，应当怎么放？对于学生的各种回答，教师要点出问题的要点：分类。可以以奖牌分类，也就是分成：金牌、银牌、铜牌；还可以以国家分类。然后启发学生想象：如果以国家分类，得到的图就是把以前做过的四个图合并在一起。于是尝试以奖牌分类、做直方图，让每一个同学画出下面的图。
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引导学生利用上面的图，预测第31届里约热内卢奥运会的情况。学生的回答可以是多种多样的，对于这样的问题，教师的主要工作是引导学生“论述有据”，也就是说，引导学生能够依据数据回答问题，比如，美国与中国获取金牌数量还可能是前两名，因为英国与俄罗斯的差距比较大；再比如，俄罗斯可能会超过英国，因为俄罗斯的奖牌总量比英国多许多，因此有更大的潜力；等等。最后，教师总结说，同学们的说法都有一定的道理，但只通过一届奥运会的成绩进行预测，可靠性还是不够的，应当利用更多的历史数据，比如连续五年的，这就是下次课我们要讲折线统计图。
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教学设计分析：制作统计图的目的是为了直观地表示数据、直观地分析数据，统计图已经成为现代生活中不可缺少的表达信息的工具。因此，统计图的教学不仅是为了向学生传授数学知识，也是为了培养学生的数学素养。
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教学设计选取了刚刚闭幕的伦敦奥运会的资料，这样的背景现实有趣，能够引发学生的学习兴趣。教学设计的第一步是从统计表到条形统计图，可以让学生切实感受条形统计图的直观性，教师在学生的能够在讨论中归纳总结出画条形统计图的要点，帮助学生理清思路。在这个基础上，启发学生把四个国家的数据归纳到一个条形统计图中，进行数据比较，进一步帮助学生理解统计图的作用。最后，通过预测的故事，引出下一节课要讲述的内容。
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问题29“平均数的意义是什么”相关教学设计
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（刘艳平 东北师大附小）
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有关教学内容：平均数的认识
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课程标准要求：（第二学段）体会平均数的作用，能计算平均数，能用自己的语言解释其实际意义。能解释统计结果，根据结果做出简单的判断和预测，并能进行交流。
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这里所说的“平均数”主要是指统计学意义上的平均数。算术意义上的平均数比较容易理解：平均数 = 总量 ÷ 份数，这是仅仅是除法的一种形式。这种形式来源于乘法模型：总价 = 单价 × 份数，其中的单价就是平均数。虽然在运算形式上看，算数意义上的平均数与统计意义上的平均数是一致的，但前者属于描述统计、后者属于推断统计，差异就在于是否考虑了随机性，详细讨论参见问题29和话题29。统计意义上的平均数的教学设计，必须考虑到抽样、考虑到样本的随机性，即把每个数据都看作为样本、是通过抽样得到的；其核心是样本的独立同分布，也就是说，每次抽样是独立进行的、每次抽样过程在本质上是一样的。
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教学片断设计：估计投篮命中率
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1. 通过样本感悟随机性
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教师讲述小明投篮的故事。小强非常喜欢打篮球，长大了想当一名篮球运动员。小强让体育老师测验自己投篮的命中率，体育老师在一个星期的5天里，每天测验一次，每次定点投篮10次，投中球数的记录如下：第一天3个、第二天4个、第三天3个、第四天6个、第五天4个。如下图所示，教师要求学生用图表示小强投篮的情况，帮助小强计算平均每天投中几个球，并且利用平均数帮助小强估计投篮的命中率。
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因为小强五天一共投中3 + 4 + 3 + 6 + 4 = 20个球，以此平均每天投中20/5 = 4个球。计算模式是：平均数 = 进球数/天数。在计算平均数的过程中，教师应当让学生感悟到：虽然小强每天都投球10次，但进球数却是不确定的；虽然不确定，但进球数相对稳定在平均数附近。这就是对随机性感悟，对统计意义上的平均数的感悟。
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基于这种感悟，就可以估计命中率了：因为每天都投了10个球，于是命中率的估计是：4/10 = 2/5。因为命中率就是概率，因此这样的估计就是用样本频率估计概率。也可以直接估计命中率，因为一共投篮50次、命中20次，因此估计命中率是20/50 = 2/5。
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2. 通过样本感悟平均数
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为了让学生更好地感悟平均数的意义，教师讲述了一个比较复杂的投篮的故事。教师可以利用本地职业篮球队主力投手的资料，比如，这个主力投手近五场球赛投球记录：
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第一场18投8中，3分球5个；第二场15投7中，3分球4个；第三场21投10中，3分球5个，第四场17投9中，3分球7个；第五场18投7中，3分球4个。
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那么，这名运动员每场球的平均进球数是多少呢？得分是多少呢？这位主力投手的投篮命中率大概是多少呢？
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这个故事与小强的故事不同：每场球投球数不同。在一般情况下，观众并不关心一个运动员一场投多少个篮，而只关心投中多少球，得分多少。因此，可以这样计算每场平均进球数：
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(8 + 7 + 10 + 5 + 9 + 7) / 5 = 46 / 5 = 9.1
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大约每场进球9个。
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计算得分就要困难一些了，要用到加权平均，因为要用“权”来区分3分球与2分球。首先把3分球的个数相加：5 + 4 + 5 + 7 + 4 = 25，然后计算每场平均分数：
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[25 × 3 + (46 – 25) × 2] / 5 = (25 × 3 + 21 × 2) / 5 = 117 / 5 = 23.4
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大约每场得23分，确实是一位优秀的主力投手。
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可以看到，这时的平均数已经不是描述统计的平均数了：虽然不能肯定这位运动员每场投进几个球，但可以期望他进球10个左右；虽然不能肯定这位运动员每场得分多少，但可以期望他得20多分。因此，人们通常称这样的平均数为样本均值，用样本均值来估计总体的数学期望。在教学过程中，努力让学生感悟随机性、感悟平均数是一种估计。
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对于理解力比较强的学生，还可以让他们知道如何计算投球的命中率：
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(8 + 7 + 10 + 5 + 9 + 7) / (18 + 15 + 21 + 17 + 18) = 46 / 89 = 0.52
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即分子是所有进球数、分子是所有投球数。这个命中率就是样本频率，是概率的一种估计。
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教学设计分析：通过对数据的分析介绍平均数的概念，符合课程标准在“统计与概率”内容中关于建立“数据分析观念”的要求。因为是推断统计意义上的平均数，因此要强调随机性，而强调随机性的例子必须体现独立的、重复发生的事情。在教学设计中，设计投篮的故事就符合这个要求。设计小强投篮和职业篮球队主力投手的投篮，在相似情境中加深问题的难度，有利于学生感悟随机性、感悟平均数的意义、感悟通过平均数计算命中率进而估计概率的过程。这样的教学设计，统计学意义很明晰，能够引发学生思考，引导学生把握其中的数学思想。
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